微积分BC第1次正课 - 极限与连续

Reading Guide / 阅读说明

这是 AP Calculus BC 的第 1 次正式课。课堂前约十分钟是设备调试、背景调查与资料说明，本笔记不记录；知识内容从 10:41 的 Unit 1 开始。

这份笔记不以 AP 考试为目标，而是保存以后学习 calculus 真正需要的概念脉络：

nearby behavior
-> one-sided limits
-> limit laws and evaluation
-> continuity
-> types of discontinuity

Reading Rule / 读法约定

• 核心术语与可复述句以英文为主，中文解释为辅。
• 课堂类比用来恢复老师的讲解路线，但结论以数学定义为准。
• 例题重点是“为什么选择这个方法”，不是记住选项。
• 3Blue1Brown 只通过现有 Wiki 连接接入；本次没有重读其完整笔记。

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1. One-Sentence Mainline / 一句话主线

A limit describes the value a function approaches near an input; continuity means that this nearby behavior agrees from both sides and also agrees with the actual function value.

极限描述函数在某个输入附近趋向什么；连续则要求左右两侧的趋近结果一致，而且与该点真实函数值一致。

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2. Class Flow / 课堂脉络

1. 用“100 米金条不断减半”解释为什么数学需要 Limits。
2. 从图像区分：left-hand limit、right-hand limit、function value。
3. 观察两类无穷行为：$x\to \pm \infty$ 与 $f(x)\to \pm \infty$。
4. 学习 limit laws 与 composite-function limits。
5. 建立求极限的决策顺序：
   • direct substitution
   • factor and cancel for $0/0$
   • compare leading terms for rational functions at infinity
   • special trigonometric limit
   • Squeeze Theorem
6. 用左右极限和点值定义 continuity。
7. 区分 removable、jump、infinite discontinuity。

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3. Why Limits Exist / 为什么需要极限

课堂先考虑：一根长 $100$ 米的金条，每来一个人就剩下一半。第 $n$ 次后剩余长度是

$$a_n=100{\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$

对每个有限的 $n$，$a_n$ 都不等于 $0$；但当 $n$ 不断增大，它可以任意接近 $0$：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }100{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0.$$

这个等号不是说“某一次切完后真的等于零”，而是说：

The values can be made as close to zero as we want by taking $n$ sufficiently large.

只要让 $n$ 足够大，剩余长度就能比任何预先指定的小量还小。

因此，极限研究的是 approach / 趋近过程，不一定是某个时刻实际取得的值。

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4. Limit vs Function Value / 极限值不等于点值

标准记号是

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L.$$

它问的是：当 $x$ 从 $c$ 附近靠近 $c$ 时，$f(x)$ 靠近什么？

它没有直接问 $f(c)$ 是多少。因此下面三种情况都可能发生：

1. Ordinary point：${\lim }_{x\to c}f(x)=f(c)$。
2. Hole or relocated point：极限存在，但 $f(c)$ 不存在或 $f(c)\ne L$。
3. Mismatch from two sides：左右趋近不同，因此双侧极限不存在。

课堂“去老师家拜访”的类比可以这样保留：

the address people approach = the limit
whether the teacher is actually there = the function value

A limit follows the surrounding graph, not the isolated dot.

求极限要沿着附近图像看趋势，不要只盯该点的实心点。

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5. One-Sided Limits / 左右极限

左极限：

$$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=L_{-}.$$

$x\to c^{-}$ 表示用小于 $c$ 的数靠近 $c$，例如 $c-0.1,c-0.01,c-0.001$。

右极限：

$$\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=L_{+}.$$

$x\to c^{+}$ 表示用大于 $c$ 的数靠近 $c$。

双侧极限存在的充要条件是

$$\boxed{\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L⟺\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=L}$$

如果 $L_{-}\ne L_{+}$，则

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)\text{ does not exist (DNE).}$$

Three questions when reading a graph / 看图时分开问三次

1. From the left, where does the graph go?
2. From the right, where does the graph go?
3. Where is the filled point at x=c?

不要把这三个答案自动当成同一个数。

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6. Infinite Behavior / 无穷行为

Input goes to infinity / 输入走向无穷

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L$$

表示沿图像向右走得越来越远时，函数值趋近 $L$。类似地，$x\to -\infty$ 是向左观察。

例如

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^2}=0.$$

这里的 $y=0$ 描述 horizontal asymptotic behavior。

Output grows without bound / 输出无界增长

$$\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$$

表示 $x$ 从右侧靠近 $c$ 时，$f(x)$ 可以变得任意大。$-\infty$ 同理表示任意大的负值。

关键纠正：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}$$

不是 $+\infty$，因为

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty .$$

左右不一致，所以双侧极限 DNE。

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7. Limit Laws and Composition / 极限运算与复合

如果

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L,\underset{x\to c}{\lim }g(x)=M,$$

并且相关运算有定义，则：

$$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L\pm M,$$ $$\underset{x\to c}{\lim }f(x)g(x)=LM,$$ $$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}(M\ne 0),$$ $$\underset{x\to c}{\lim }[f(x){]}^n=L^n.$$

课堂把它压缩成“只要极限存在，就按正常代数运算”。更精确地说：运算还必须在目标值附近有定义，除法的分母极限不能是零。

Composite limit / 复合极限

如果 $g(x)\to L$，且外层函数 $f$ 在 $L$ 处连续，那么

$$\underset{x\to c}{\lim }f(g(x))=f(L).$$

若 $f$ 在 $L$ 处左右行为不同，还必须追踪 $g(x)$ 是从 $L^{-}$ 还是 $L^{+}$ 靠近。这就是课堂挑战题的核心：

x approaches 2 from the left
-> g(x) approaches 1 from above
-> use the right-hand limit of f at 1

Watch Out: $f(-x)$ is not $-f(x)$

除非已知 $f$ 是 odd function，否则

$$f(-x)\ne -f(x).$$

若 $x\to 5$，则 $-x\to -5$，所以 $f(-x)$ 要寻找 $f$ 在输入 $-5$ 附近的行为。课堂例题因此得到

$$\underset{x\to 5}{\lim }[f(-x)+3g(x)]=4+3(5)=19.$$

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8. Limit Evaluation Decision Map / 求极限方法选择图

Start: substitute the approaching value
|
+-- ordinary finite value
|     -> stop
|
+-- 0/0
|     -> [[Indeterminate Form]]
|     -> factor / rationalize / use a known limit
|
+-- infinity/infinity
|     -> [[Indeterminate Form]]
|     -> for rational functions, compare leading terms
|
+-- bounded function trapped between two functions
|     -> Squeeze Theorem
|
+-- nonzero/0
      -> inspect one-sided signs
      -> +infinity, -infinity, or two-sided DNE

Method 1: Direct substitution / 直接代入

如果函数在目标点连续，直接代入即可：

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x+1}{3x-2}=\frac{3}{1}=3.$$

直接代入不是“低级方法”，而是所有题的第一步诊断。

Method 2: Factor and cancel for $0/0$ / 因式分解约分

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2.$$

这里不是在 $x=1$ 时约掉零；而是在 $x\ne 1$ 但任意接近 $1$ 的邻域中化简表达式。

课堂例题：

$$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x+3}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{(x+3)(x-2)}{x+3}=-5.$$

另一个例子：

$$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^2-2x-15}{x^2-9}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{(x-5)(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{4}{3}.$$

Method 3: Leading-term comparison at infinity / 无穷处比较最高次项

对于 rational function，$x\to \pm \infty$ 时最高次项支配整体行为：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3-x}{4+x+x^2}\sim \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-x}{x^2}=0.$$

常用结论：

Numerator degree vs denominator degree	Limit behavior
lower degree	$0$
equal degree	ratio of leading coefficients
higher degree	usually unbounded; inspect sign and direction

课堂还强调了根式中的计算稳定性，例如

$$\frac{\sqrt{9x^4+\text{lower terms}}}{4x^2+\text{lower terms}}\sim \frac{3x^2}{4x^2}=\frac{3}{4}.$$

注意 $\sqrt{x^2}=|x|$，尤其在 $x\to -\infty$ 时不能直接写成 $x$。

Method 4: The fundamental trigonometric limit / 重要三角极限

$$\boxed{\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1}$$

这等价于在 $u\to 0$ 时 $\sin u\sim u$。例如：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (4x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x}{x}=4.$$

这里必须使用 radians；用 degrees 时结论不成立。

Method 5: Squeeze Theorem / 夹逼定理

如果目标函数被两边夹住：

$$g(x)\le f(x)\le h(x),$$

并且

$$\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\underset{x\to c}{\lim }h(x)=L,$$

那么

$$\boxed{\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L.}$$

课堂例子给出

$$1-\frac{x^2}{4}\le u(x)\le 1+\frac{x^2}{2}.$$

当 $x\to 0$ 时，左右两端都趋近 $1$，所以

$$\underset{x\to 0}{\lim }u(x)=1.$$

If both walls approach the same destination, the trapped function has nowhere else to go.

如果两侧边界都趋向同一个值，被夹在中间的函数也只能趋向该值。

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9. Continuity / 连续性

函数 $f$ 在 $x=c$ 处连续，需要同时满足：

1. $f(c)$ is defined.
2. ${\lim }_{x\to c}f(x)$ exists.
3. ${\lim }_{x\to c}f(x)=f(c)$.

也可以压缩成课堂的“三值相等”：

$$\boxed{\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=f(c)}$$

Piecewise example / 分段函数例题

设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}10-2x-x^2,& x\le 1,\\ 3+4e^{x-1},& x>1.\end{array}$$

在 $x=1$：

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=10-2-1=7,$$ $$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=3+4e^0=7,$$ $$f(1)=7.$$

三者相等，所以 $f$ 在 $x=1$ continuous。

课堂另一题用 continuity 反求参数：左侧值为 $12$，右侧值为 $18+k$，因此

$$12=18+k\Rightarrow k=-6.$$

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10. Three Types of Discontinuity / 三种间断

1. Removable discontinuity / 可去间断

左右极限相同，但该点缺失或放在错误高度：

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L,f(c)\text{ undefined or }f(c)\ne L.$$

只要把 $f(c)$ 重新定义为 $L$，这个 hole 就能补上，因此叫 removable。

2. Jump discontinuity / 跳跃间断

左右极限都是有限值，但不相等：

$$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x).$$

图像从一个高度跳到另一个高度。

3. Infinite discontinuity / 无穷间断

至少一侧函数值趋向 $+\infty$ 或 $-\infty$。通常对应 vertical asymptote。

removable: same destination, wrong or missing point
jump: two finite destinations
infinite: at least one side grows without bound

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11. Fidelity Notes and Corrections / 原稿纠错

Transcript wording	Accurate mathematical version
“$1/0$ 就是无穷”	除以零本身没有定义；在 limit 中必须检查从哪侧靠近及符号，结果可能是 $+\infty$、$-\infty$ 或 DNE。
“${\lim }_{x\to 0}1/x=\infty$”	左极限为 $-\infty$，右极限为 $+\infty$，所以双侧极限 DNE。
“无限属于不存在”	更准确地说：不存在有限极限，但可以用 $f(x)\to \pm \infty$ 描述无界行为。
“加比准则 / spread theory”	正确名称是 夹逼定理 / Squeeze Theorem。
“removal discontinuity”	标准术语是 removable discontinuity。
“找最大”适用于所有无穷极限	本课方法主要适用于 rational functions 的 leading terms；根式、指数、对数等需要分别分析。
复合函数直接把内层极限代入外层	还需要外层函数在目标值处连续；若有跳跃，应追踪内层是从左还是从右靠近。

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12. Deep Phrases / 深句对应表

Trigger	The sentence it should recall / 对应句
Limit	A limit describes nearby behavior, not necessarily the value at the point. / 极限描述点附近的趋势，不一定等于点值。
Left-hand and right-hand limits	A two-sided limit exists only when both sides approach the same value. / 只有左右趋近同一个值，双侧极限才存在。
$0/0$	Zero over zero is a question, not an answer. / $0/0$ 说明直接代入信息不足，不是答案。
Leading term	At infinity, the fastest-growing terms control a rational function. / 在无穷远处，有理函数由增长最快的项主导。
Squeeze Theorem	A trapped function follows two boundaries that share the same limit. / 两侧边界趋向同一点，中间函数只能跟着过去。
Continuity	Nearby behavior and the actual point value agree. / 连续就是附近趋势与真实点值完全接上。
Removable discontinuity	The trend is intact; only the point is missing or misplaced. / 趋势没有断，只是那个点缺失或放错了。

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13. Video Companion / 对照课堂视频

Time	Content	Reading focus
00:00-10:41	设备、基础调查与资料说明	无需回看
10:41-17:42	Unit 1 定位与极限动机	看“金条减半”如何引出 approach
17:42-44:56	图像、左右极限与无穷行为	始终分开看 left / right / point value
44:56-59:49	limit laws 与 composite limits	特别注意 $f(-x)$ 和复合中的方向
59:49-01:30:43	直接代入、$0/0$、$\infty /\infty$	先识别 form，再选择方法
01:30:43-01:44:30	$\sin u/u$ 与 Squeeze Theorem	记整体变量 $u\to 0$，不要只认字母 $x$
01:47:06-02:00:18	continuity 与 discontinuity	用“三值相等”连接图像和代数
02:00:18-结束	总结、作业与答疑	按需回看

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14. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

Formal course branch / 正课分支

• 微积分BC Orientation-考试结构与课程地图 提供整门课程地图；本课正式进入 Unit 1。
• Limits 是本课中心概念页。
• Indeterminate Form 解释为什么 $0/0$ 与 $\infty /\infty$ 需要继续处理。
• L’Hôpital’s Rule 是后续处理部分未定式的工具，但使用前仍要确认条件。
• Derivatives 将在下一阶段把 average rate of change 通过 limit 变成 instantaneous local change。
• 微积分BC第2次正课-极限应用与导数入门 先完成 asymptotes 与 IVT，再正式把 secant slope 的 limit 定义成 derivative。

3Blue1Brown bridge / 视觉直觉分支

• 02 - The Paradox of the Derivative：limit 如何把 secant slope 推向 tangent slope。
• 07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions：从附近趋势、hole 和未定式走向更正式的 limit language。

这两条连接来自现有笔记的 Wiki connection sections；本次未读取其完整正文。

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15. Confusion / Questions

• 能否在图像上分别指出 left-hand limit、right-hand limit 与 function value？
• 看到 $0/0$ 时，能否解释为什么它不是 $0$、$1$ 或 infinity？
• 看到 $x\to \pm \infty$ 的 rational function 时，能否判断由哪些 leading terms 主导？
• 能否用三个条件完整判断某点 continuity？
• 能否只看左右行为区分 removable、jump 与 infinite discontinuity？

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16. After-Class Compression / 看完压缩版

Limit asks where nearby values go.
 
Two-sided limit exists
<=> left-hand limit = right-hand limit.
 
Continuity at c
<=> left limit = right limit = f(c).
 
Evaluation order:
substitute
-> if 0/0, simplify
-> if infinity/infinity rational form, compare leading terms
-> if sin(u)/u with u->0, use the fundamental limit
-> if trapped, use Squeeze Theorem.
 
Discontinuities:
removable = hole or misplaced point
jump = finite side limits disagree
infinite = at least one side is unbounded

17. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• AP Calculus BC
• Limits
• Indeterminate Form
• L’Hôpital’s Rule
• Derivatives
• 02 - The Paradox of the Derivative
• 07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions
• 微积分BC第2次正课-极限应用与导数入门