U-Substitution

Core Sentence / 核心句

U-substitution simplifies an integral by recognizing and reversing a hidden Chain Rule pattern.

中文理解：当 composite inner function 与它的 derivative factor 同时出现时，用 $u$ 代替内层结构，把积分还原为熟悉形式。

Pattern / 结构

If $F^{\prime }=f$, then

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=F(g(x))+C.$$

Set

$$u=g(x),du=g^{\prime }(x)dx,$$

so the integral becomes $\int f(u)du$.

Workflow / 流程

choose repeated inner expression u
-> compute du
-> match remaining factor up to a constant
-> rewrite entirely in u
-> integrate
-> substitute back
-> differentiate to verify

Watch Out / 易错点

• 选 $u$ 的目标是简化，不是固定选择“最复杂的一块”。
• 若缺的只是 nonzero constant factor，可以补偿；若缺的是 variable-dependent factor，不能凭空补。
• 改写后不要混留 $x$ 与 $u$。
• indefinite integral 要加 $+C$。
• differential notation is justified by the Chain Rule, not free fraction algebra.

Source / 出现位置

• 第8课 · 换元法本质
• 第8课 · 复合幂换元
• 第8课 · 高次复合幂
• 第9课 · definite substitution bounds
• 第9课 · improper substitution

Connected Notes / 连接

• Chain Rule
• Antiderivative
• Integrals
• Fundamental Theorem of Calculus
• 微积分BC第8次正课-反导FTC变上限积分与换元
• Improper Integral
• 微积分BC第9次正课-积分方法与反常积分