微积分BC第9次正课 - 积分方法与反常积分

Reading Guide / 阅读说明

本课承接 微积分BC第8次正课-反导FTC变上限积分与换元，完成 Unit 6。第 8 课建立“积分是逆向求导”，第 9 课解决“integrand 不在基本表里时，怎样先改写结构再积分”。

recognize structure
-> rewrite the integrand
-> use a basic antiderivative
-> differentiate to verify
 
unbounded interval or unbounded integrand
-> replace the improper part by a limit
-> decide convergence or divergence

本笔记保留每种方法的识别信号、推导逻辑和代表例题；考试年份、题号、课堂等待、设备故障和分值话术不保留。

Reading Rule / 读法约定

• 先问 integrand 属于哪种 structure，不要一看到积分号就直接硬算。
• 任何代数改写都必须保持 integrand 等价。
• 方法的目标是让新 integral 比原 integral 更简单。
• indefinite integral 最后写 $+C$；definite integral 处理 bounds。
• 出现 $\infty$ 或 vertical asymptote 时，必须先写 limit definition。

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1. One-Sentence Mainline / 一句话主线

Integration techniques expose a familiar derivative pattern hidden by algebra, products, or rational structure; improper integrals add a limit test before a value can be claimed.

积分方法通过代数、乘积和分式结构还原被隐藏的熟悉求导模式；反常积分则要求先通过极限判断，之后才能谈数值。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 补完 definite U-Substitution 与 bounds conversion。
2. 对 improper rational functions 先做 polynomial long division。
3. 对 quadratic denominator 完成平方，匹配 inverse-trig forms。
4. 从 Product Rule 推出 Integration by Parts。
5. 用 LIATE 与 tabular method 选择 $u$、$dv$。
6. 用 Partial Fractions 拆解 proper rational functions。
7. 建立四种方法的 selection map。
8. 用 limit 正式定义 Improper Integral。
9. 分别检查无限区间、whole line 与内部 singularity。

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Part A - Definite U-Substitution / 定积分换元

3. Review: U-Substitution Is Reverse Chain Rule / 换元是逆链式法则

若

$$u=g(x),du=g^{\prime }(x)dx,$$

则

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du.$$

例如：

$$\int x\sin (x^2)dx.$$

令 $u=x^2$，$du=2xdx$：

$$\int x\sin (x^2)dx=\frac{1}{2}\int \sin udu=-\frac{1}{2}\cos u+C.$$

所以

$$\boxed{-\frac{1}{2}\cos (x^2)+C}.$$

4. Two Consistent Ways to Handle Bounds / 两种一致做法

对

$${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)dx,$$

换元后只能选择以下一种完整路线。

Route 1: Change the bounds

若 $u=g(x)$，则

$$x=a\Rightarrow u=g(a),x=b\Rightarrow u=g(b).$$

于是

$${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)dx={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(u)du.$$

全程保持 $u$，无需换回 $x$。

Route 2: Keep the original bounds temporarily

先求 $u$-antiderivative，再换回 $x$，最后使用原来的 $x$-bounds。

The variable and the bounds must belong to the same coordinate system.

积分变量与上下限必须属于同一套变量系统：$du$ 配 $u$-bounds，$dx$ 配 $x$-bounds。

5. Definite-Substitution Examples / 定积分换元例题

Example 1: Rational Log Substitution

$${\int }_1^2\frac{1}{2x+1}dx.$$

令

$$u=2x+1,du=2dx.$$

新 bounds：$x=1\to u=3$，$x=2\to u=5$：

$${\int }_1^2\frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}{\int }_3^5\frac{1}{u}du=\boxed{\frac{1}{2}\ln \frac{5}{3}}.$$

Example 2: Exponential Substitution

$${\int }_0^{4}x{e}^{x^2}dx.$$

$u=x^2$，$du=2xdx$，bounds $0\to 0$、$4\to 16$：

$${\int }_0^{4}x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{16}{e}^{u}du=\boxed{\frac{1}{2}(e^{16}-1)}.$$

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Part B - Rational Integrands / 有理函数的预处理

6. First Compare Polynomial Degrees / 先比较次数

对 rational function

$$\frac{P(x)}{Q(x)},$$

先比较 degrees：

• $\mathrm{deg}P\ge \mathrm{deg}Q$：先 polynomial long division。
• $\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q$ 且 denominator 可因式分解：考虑 Partial Fractions。
• quadratic denominator 不容易分解但可完成平方：考虑 completing the square。

这三个方法不是互斥标签。一个复杂 rational integral 可能先 long division，再对 remainder 使用 partial fractions 或 completing the square。

7. Polynomial Long Division / 多项式长除法

目标是写成

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}Q.$$

$S$ 是 quotient，$R$ 是 remainder。这样 polynomial part 可直接积分，remainder fraction 再单独处理。

Full example

$$\frac{6x^3-19x^2+16x-3}{x-2}=6x^2-7x+2+\frac{1}{x-2}.$$

因此

$$\int \frac{6x^3-19x^2+16x-3}{x-2}dx$$ $$=2x^3-\frac{7}{2}{x}^2+2x+\ln |x-2|+C.$$

可用 multiplication 检查 division：

$$(x-2)(6x^2-7x+2)+1=6x^3-19x^2+16x-3.$$

Missing-term example

$$\frac{x^3+5}{x^2}=x+\frac{5}{x^2}.$$

长除时可写成 $x^3+0x^2+0x+5$，避免 columns 错位。

$$\int \frac{x^3+5}{x^2}dx=\boxed{\frac{x^2}{2}-\frac{5}{x}+C}.$$

Definite example

$$\frac{x^2-x-5}{x+2}=x-3+\frac{1}{x+2}.$$

所以

$${\int }_1^2\frac{x^2-x-5}{x+2}dx={\left[\frac{x^2}{2}-3x+\ln |x+2|\right]}_1^2$$ $$=\boxed{-\frac{3}{2}+\ln \frac{4}{3}}.$$

8. Completing the Square / 凑平方

两个 inverse-trigonometric patterns：

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C,a>0,$$ $$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C.$$

Example 1: Unit Arctangent Pattern

$$x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1.$$

因此

$$\boxed{\int \frac{dx}{x^2+2x+2}=\arctan (x+1)+C}.$$

Example 2: Scaled Arctangent Pattern

$$x^2+8x+52=(x+4{)}^2+36.$$

因此

$$\boxed{\int \frac{dx}{x^2+8x+52}=\frac{1}{6}\arctan \left(\frac{x+4}{6}\right)+C}.$$

完成平方只是 algebraic rewrite；真正积分来自已验证的 inverse-trig derivative pattern。

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Part C - Integration by Parts / 分部积分

9. Formula From the Product Rule / 公式来源

Product Rule：

$$d(uv)=udv+vdu.$$

两边积分并整理：

$$\boxed{\int udv=uv-\int vdu}.$$

Integration by Parts 的目标是：把一个不好积的 product 变成更简单的另一个 integral。

Differentiate the factor that becomes simpler; integrate the factor that stays manageable.

让求导后会简化的因子做 $u$，让容易反导的因子做 $dv$。

10. Choosing u With LIATE / 用 LIATE 选 $u$

课堂口诀“反对幂指三”对应常用 LIATE priority：

1. Logarithmic / logarithm
2. Inverse trigonometric
3. Algebraic / power
4. Trigonometric
5. Exponential

不同教材会交换前两项，口诀不是定理。真正标准是：选择后，$du$ 应更简单，$v=\int dv$ 应可算。

11. Example: Integral of ln x / 对数函数本身

把 $dx$ 看成 $1dx$：

$$u=\ln x,dv=dx,$$ $$du=\frac{1}{x}dx,v=x.$$

所以

$$\int \ln xdx=x\ln x-\int 1dx=\boxed{x\ln x-x+C}.$$

12. Example: x ln x / 幂函数乘对数

取

$$u=\ln x,dv=xdx,$$

则

$$du=\frac{1}{x}dx,v=\frac{x^2}{2}.$$ $$\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x}dx$$ $$=\boxed{\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C}.$$

若反过来让 $u=x\ln x$，$du$ 会变长，new integral 反而更复杂；这就是错误方向的诊断信号。

13. Tabular Form / 表格法

表格法只是 by-parts formula 的 compact bookkeeping：

Differentiate	Integrate
$u$	$dv$
$du/dx$	$v$

读法仍是

$$uv-\int vdu.$$

例如：

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=\boxed{e^x(x-1)+C}.$$

表格不改变数学，只减少符号管理负担。

14. Abstract Function Example / 抽象函数例题

$${\int }_0^{4}x{f}^{\prime }(x)dx={\left[xf(x)\right]}_0^4-{\int }_0^{4}f(x)dx.$$

若 $f(4)=-3$ 且 ${\int }_0^{4}f(x)dx=8$，则

$${\int }_0^{4}x{f}^{\prime }(x)dx=4(-3)-8=\boxed{-20}.$$

不需要知道 $f$ 的 explicit formula；by parts 将 $f^{\prime }$ 积回 $f$，使题目给定信息可用。

15. Product Recognition / 什么时候考虑分部积分

常见信号：

• polynomial $\times$ exponential；
• polynomial $\times$ trigonometric；
• polynomial $\times$ logarithm；
• logarithm 或 inverse-trig function 单独出现；
• abstract product 如 $x{f}^{\prime }(x)$。

“两个简单函数相乘”只是提示，不是充分条件。若 product 已经明显呈现 $f(g(x))g^{\prime }(x)$，U-Substitution 通常更直接。

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Part D - Partial Fractions / 部分分式

16. When Partial Fractions Applies / 使用条件

先确认 rational function 是 proper：

$$\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q.$$

若不是，先 long division。然后 factor denominator。对 distinct linear factors：

$$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}.$$

本课只处理 distinct linear factors；repeated factors 与 irreducible quadratics 需要更完整的 decomposition template。

17. Finding Coefficients / 求系数

将

$$\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$$

通分，得到 identity：

$$2x+3=A(x+2)+B(x+1).$$

代 $x=-1$ 得 $A=1$；代 $x=-2$ 得 $B=1$。因此

$$\boxed{\int \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}dx=\ln |x+1|+\ln |x+2|+C}.$$

可合并为

$$\ln |(x+1)(x+2)|+C.$$

18. Difference-of-Squares Example / 平方差例题

$$\frac{8}{x^2-4}=\frac{8}{(x-2)(x+2)}=\frac{2}{x-2}-\frac{2}{x+2}.$$

所以

$$\int \frac{8}{x^2-4}dx=2\ln |x-2|-2\ln |x+2|+C$$ $$=\boxed{2\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C}.$$

19. Definite Partial-Fraction Example / 定积分例题

$$\frac{5x+8}{(x+1)(x+2)}=\frac{3}{x+1}+\frac{2}{x+2}.$$

因此

$${\int }_0^1\frac{5x+8}{(x+1)(x+2)}dx={\left[3\ln |x+1|+2\ln |x+2|\right]}_0^1$$ $$=3\ln 2+2\ln 3-2\ln 2=\ln 2+\ln 9=\boxed{\ln 18}.$$

算完 decomposition 后仍要完成 antiderivative、bounds substitution 和 logarithm simplification。

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Part E - Technique Selection / 方法选择

20. Integration Method Map / 积分方法地图

Is there an inner function and its derivative factor?
-> U-Substitution
 
Is it a rational function with numerator degree >= denominator degree?
-> Polynomial Long Division first
 
Is there a quadratic denominator close to (x-h)^2+a^2?
-> Complete the Square -> inverse-trig pattern
 
Is it a product where differentiating one factor simplifies it?
-> Integration by Parts
 
Is it a proper rational function with factorable denominator?
-> Partial Fractions
 
None fits?
-> algebraic rewrite, identities, or a later technique may be needed

21. Structure Before Method / 结构优先

同一题可能需要组合方法：

rational but improper
-> long division
-> remaining proper fraction
-> partial fractions or completing square
 
composite product
-> compare u-substitution against integration by parts
-> choose the route that makes the next integral simpler

最稳定的自检仍是：对最终 antiderivative 求导，是否恢复原 integrand。

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Part F - Improper Integrals / 反常积分

22. What Makes an Integral Improper / 何时称为反常

Improper Integral 有两类来源：

1. unbounded interval，例如 $[a,\infty )$；
2. unbounded integrand，例如 finite interval 内有 vertical asymptote。

它不是把 $\infty$ 当作普通 bound。积分值由 limit 定义。

23. Infinite Interval Definition / 无限区间定义

$$\boxed{{\int }_a^{\infty }f(x)dx:=\underset{b\to \infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx}.$$

若 limit 是 finite real number，integral converges；若 limit 不存在或无界，integral diverges。

同理：

$${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx:=\underset{a\to -\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx.$$

Convergence is a property of a limit, not a reward for finding an antiderivative.

收敛是极限的性质，不是“能写出原函数”就自动得到的结果。

24. Two Benchmark Examples / 两个基准例题

Divergent

$${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx=\underset{b\to \infty }{\lim }[\ln x{]}_1^b=\underset{b\to \infty }{\lim }\ln b=\infty .$$

所以 diverges。

Convergent

$${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx=\underset{b\to \infty }{\lim }{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^b=\underset{b\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{b}\right)=\boxed{1}.$$

25. P-Integral Rule / p 型反常积分

$$\boxed{{\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx\text{ converges iff }p>1}.$$

当 $p=1$ 是 logarithmic divergence；当 $p<1$，tail 衰减更慢。这条规则后来连接 p-Series 与 Integral Test。

26. Improper Integral With Substitution / 反常积分与换元

$${\int }_1^{\infty }x{e}^{-x^2}dx.$$

先写 limit，再令 $u=-x^2$：

$${\int }_1^{\infty }x{e}^{-x^2}dx=\underset{b\to \infty }{\lim }{\left[-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}\right]}_1^b$$ $$=\underset{b\to \infty }{\lim }\left(-\frac{1}{2}{e}^{-b^2}+\frac{1}{2}{e}^{-1}\right)=\boxed{\frac{1}{2e}}.$$

这里不是“把 infinity 直接代入”，而是计算 $b\to \infty$ 的 limit。

27. Whole Real Line / 整条实数轴

对任意 finite split point $c$：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{c}f(x)dx+{\int }_c^{\infty }f(x)dx.$$

两边必须分别 converge，整个 integral 才 converge。不能让两个 divergent tails 形式上“抵消”。

这与 Cauchy principal value 不同；普通 improper integral 不接受 $+\infty$ 与 $-\infty$ 的伪抵消。

28. Interior Vertical Asymptote / 区间内部奇点

若 $f$ 在 $c\in (a,b)$ unbounded，则

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx,$$

其中每一部分都必须用 one-sided limit 定义并分别 converge。

例如

$${\int }_{-1}^1\frac{1}{x}dx$$

不能因 odd symmetry 宣称为 $0$。在 $x=0$ 拆开后，两侧分别 diverge，因此 ordinary improper integral diverges。

同样，

$${\int }_0^1\frac{1}{x}dx=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^1\frac{1}{x}dx$$

diverges。

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29. Fidelity Notes / 原稿校正

1. Transcript 中“分布积分”统一校正为 分部积分 / Integration by Parts；“分式拆分”统一使用 Partial Fractions。
2. $\int x\sin (x^2)dx$ 的正确结果是 $-\frac{1}{2}\cos (x^2)+C$，不是额外再乘一个 $1/2$。
3. long-division 首例 quotient 是 $6x^2-7x+2$，不是 transcript 某处出现的 $6x^2-7x-2$。
4. $\int (x^3+5)/x^{2}dx=x^2/2-5/x+C$；原稿末尾分数识别混乱，本笔记已按 differentiation 复核。
5. completing-square 方法名称是 completing the square，不是 transcript 的 “complicating the square”。
6. “两个简单函数相乘就用 by parts”只是初步提示；方法选择取决于 new integral 是否更简单。
7. partial fractions 不是所有 factored denominator 都只写两个常数；本课公式限于 distinct linear factors。
8. improper integral 不能把 $\infty$ 当普通数字代入，必须用 limit。
9. “积得出来就是 converge”需要修正：写出 antiderivative 不够，决定性条件是 defining limit 是否为 finite number。
10. ${\int }_{-1}^1(1/x)dx$ 的 ordinary improper integral diverges，即使 symmetric principal value 是 $0$。

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30. Deep Phrases / 深层表达

Integration techniques do not change the integral; they reveal a form whose antiderivative we already know.

积分方法不会改变积分本身；它们只是把 integrand 改写成我们已经认识的反导形式。

The correct technique is the one that reduces structural complexity.

正确方法的判断标准，是它是否真正降低了结构复杂度。

Integration by parts is the Product Rule read backward.

分部积分就是把乘积求导公式反向阅读。

Partial fractions replace one coupled rational expression with several elementary logarithmic pieces.

部分分式把一个耦合的有理式拆成若干可直接积分的对数型小块。

An improper integral is an ordinary definite integral wrapped inside a limit.

反常积分是在极限中定义的定积分，而不是带着无穷符号的普通代入题。

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31. Video Companion / 视频搭配

08 - Integration and the Fundamental Theorem of Calculus 解释为什么 antiderivative endpoint change 可以计算 accumulated total；本课则专门解决“如何找到 antiderivative”。

07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions 与 improper integrals 相接：finite-bound integral 先计算，再让 artificial bound 逼近 infinity 或 singularity。

观看时可以用这条线同步：

Riemann-sum limit -> definite integral
FTC -> antiderivative endpoint evaluation
integration techniques -> find the antiderivative
improper limit -> decide whether unbounded accumulation exists

3Blue1Brown 连接只来自既有 Knowledge Graph Connections；本次未重新读取完整视频笔记。

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32. Decision Maps / 判断路线

Technique selection

hidden Chain Rule? -> U-Substitution
rational and improper? -> Long Division
quadratic denominator near square + constant? -> Complete the Square
product with one factor simplifying under differentiation? -> Integration by Parts
proper rational with factorable denominator? -> Partial Fractions

Improper integral

infinite bound or unbounded integrand?
-> identify each improper endpoint/singularity
-> split so each piece has one improper side
-> replace each by a one-sided limit
-> compute
-> every piece finite? converge
-> any piece fails? diverge

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33. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

• 微积分BC第8次正课-反导FTC变上限积分与换元 提供 Antiderivative、FTC 与 U-Substitution 基础。
• U-Substitution 逆转 Chain Rule；Integration by Parts 逆转 Product Rule。
• Partial Fractions 将 proper rational function 拆成 elementary logarithmic integrals。
• Improper Integral 连接 Limits 与 Definite Integral。
• p-Series 与 Integral Test 使用 improper-integral convergence 判断 series tail。
• 微积分BC第13次正课-无穷级数判敛 将本课的反常积分推广为 series convergence 工具。
• 07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions 提供 limit language。
• 08 - Integration and the Fundamental Theorem of Calculus 提供 FTC 与 accumulation intuition。

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34. Confusion / Questions

• definite substitution 时，变量与 bounds 是否始终属于同一系统？
• rational function 是否先比较 numerator/denominator degrees？
• long division 的 quotient 与 remainder 能否乘回检查？
• completing square 后能否匹配正确的 arcsine/arctangent form？
• by parts 选择 $u$、$dv$ 后，new integral 是否更简单？
• 能否从 Product Rule 推回 by-parts formula？
• partial fractions 前是否确认 fraction proper 并 factor denominator？
• decomposition coefficients 能否通过 recombination 检查？
• 看到 infinity 时是否先写 limit，而不是直接代入？
• whole-line integral 是否分别检查两个 tails？
• interior singularity 是否拆成两个 one-sided improper integrals？
• 能否解释为什么 ${\int }_{-1}^{1}1/xdx$ 不是 $0$？

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35. After-Class Compression / 看完压缩版

definite u-sub:
change variable -> change bounds
or substitute back -> keep original bounds
never mix systems
 
rational function:
degree numerator >= denominator -> long division
proper + factorable denominator -> partial fractions
quadratic -> complete square -> inverse trig
 
integration by parts:
integral u dv = uv - integral v du
reverse Product Rule
choose u so du simplifies
 
method map:
hidden chain -> u-sub
product -> by parts
improper rational -> division first
proper factored rational -> partial fractions
 
improper integral:
replace infinity/singularity by limit
finite limit -> converge
otherwise -> diverge
split every improper side and test separately
 
p-integral:
integral_1^infinity 1/x^p converges iff p>1

36. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• AP Calculus BC
• 微积分BC第8次正课-反导FTC变上限积分与换元
• Integrals
• Antiderivative
• Definite Integral
• U-Substitution
• Integration by Parts
• Partial Fractions
• Improper Integral
• Chain Rule
• Limits
• p-Series
• Integral Test
• 微积分BC第13次正课-无穷级数判敛
• 07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions
• 08 - Integration and the Fundamental Theorem of Calculus