AP物理C力学第12次正课 - 简谐振动、弹簧、摆与共振

Reading Guide / 阅读说明

上一课只定义了 SHM 的入口；本课完成最后一个知识单元。课堂从弹簧振子的微分方程、图像与能量出发，再迁移到竖直弹簧、单摆、物理摆、扭摆和 forced oscillation。

一句话主线

SHM is recognized by $a=-{\omega }^{2}x$; once that structure is found, its motion, period, phase, and energy all follow from the same sinusoidal model.

1. The Defining Structure / 判定 SHM 的核心

简谐运动不是“任何来回运动”，而必须满足：

$$F_{restoring}=-kx$$

或更一般地：

$$\boxed{a=-{\omega }^{2}x}$$

负号表示 acceleration 始终指向 equilibrium position；系数必须为正的常数。若 $a=-9x$，则 $\omega =3$，进而 $T=2\pi /3$。

2. One Complete Cycle / 一个周期内的状态变化

从 $x=+A$ 静止释放：

Position	Velocity	Acceleration / restoring force
$+A$	$0$	negative maximum
$0$	negative maximum	$0$
$-A$	$0$	positive maximum
$0$	positive maximum	$0$

端点是 turning points：speed 为零、$|a|$ 最大。平衡点处 $a=0$，但 speed 最大；“合力为零”不代表物体停下。

3. Differential Equation and Phase / 微分方程与相位

弹簧振子满足：

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$ $$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$$

通用解写成：

$$\boxed{x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )}$$ $$v(t)=-A\omega \sin (\omega t+\varphi )$$ $$a(t)=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\varphi )=-{\omega }^{2}x(t)$$

$\varphi$ 由 initial position 与 initial velocity 决定。sine 或 cosine 都能描述同一类运动，关键是满足初始条件。

4. Reading SHM Graphs / 读简谐图像

• $v$ 是 $x$ 的 derivative，相差四分之一周期；
• $a=-{\omega }^{2}x$，与 $x$ 完全反相；
• graph amplitude 分别是 $A,A\omega ,A{\omega }^2$；
• 从 graph 读 $T$，再用 $\omega =2\pi /T$；
• 正负号表示 direction，不表示 speed 大小。

详见 Oscillation Graphs。

5. Mass-Spring System / 弹簧振子

$$\boxed{\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$$ $$\boxed{T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}$$

period 与 amplitude 无关，只由 $m,k$ 决定；这是 ideal SHM 的结论。

机械能：

$$E=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2$$ $$v(x)=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2}$$

振幅翻倍时 total energy 变为四倍，不是十倍。

6. Horizontal versus Vertical Spring / 水平与竖直弹簧

竖直弹簧的 static equilibrium extension：

$$k\Delta l_0=mg$$

若把位移 $x$ 从新的 equilibrium position 测量，重力常量项与静态伸长抵消，运动仍满足：

$$m\ddot{x}=-kx$$

因此周期仍为 $2\pi \sqrt{m/k}$。注意 spring force 最大处与 restoring net force 最大处在竖直系统中不一定是同一点。

7. Collision-to-Oscillation Model / 碰撞后进入振动

子弹嵌入木块再压缩弹簧，需要分阶段：

1. short collision：用 Conservation of Linear Momentum 求共同速度；
2. post-collision oscillation：用 Mechanical Energy Conservation 把共同 kinetic energy 转为 spring potential energy；
3. 用总质量决定新的 period。

碰撞阶段 kinetic energy 不守恒，不能把子弹初动能直接等同于最大弹性势能。

8. Simple Pendulum / 单摆

小角近似 $\sin \theta \approx \theta$ 下：

$$\tau =-mgL\sin \theta \approx -mgL\theta$$ $$I\ddot{\theta }=-mgL\theta ,I=m{L}^2$$ $$\boxed{T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}$$

period 与 bob mass 无关；只有 small-angle regime 才近似 SHM。最低点 tangential restoring force 为零，但 radial net force 不为零，因为需要 centripetal acceleration。

9. Physical and Torsional Pendulums / 物理摆与扭摆

刚体质心到 pivot 距离为 $d$：

$$\boxed{T=2\pi \sqrt{\frac{I_{pivot}}{Mgd}}}$$

题目若给 $I_{CM}$，先用 Parallel-Axis Theorem 求 $I_{pivot}$。

扭摆满足 rotational Hooke’s law：

$$\tau =-\kappa \theta$$ $$\boxed{T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa }}}$$

它是 $F=-kx$、$m$ 对应到 $\tau =-\kappa \theta$、$I$ 的转动版本。见 Pendulums。

10. Forced Oscillation and Resonance / 受迫振动与共振

外界周期驱动力提供 driving frequency。稳态响应跟随 driving frequency；当其接近 natural frequency 时，amplitude 达到峰值，这叫 Resonance。

Resonance occurs when the driving frequency approaches the natural frequency, producing a large steady-state amplitude.

共振时变大的是 amplitude，不是 period 达到最大。现实系统中 damping 限制峰值并拓宽 resonance curve。

11. Deep Phrases / 深层表达

• Equilibrium is where the restoring force vanishes, not where the oscillator necessarily stops.
• Phase tells us where in the cycle the oscillator is at $t=0$.
• Gravity shifts a vertical spring’s equilibrium position but does not change its ideal period.
• The small-angle approximation turns pendulum motion into SHM.

12. Error Checklist / 易错清单

• 把所有 periodic motion 都称为 SHM；
• 平衡点写成 $v=0$；
• 忘记 phase constant；
• amplitude 翻倍时能量倍数算错；
• 单摆最低点写 net force 为零；
• physical pendulum 直接代入 $I_{CM}$；
• 把共振解释成 period 最大。

Connected Notes / 连接

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