AP物理C力学第11次正课 - 滚动、天体运动与简谐振动开端

Reading Guide / 阅读说明

这节课先把平动与转动绑在同一物体上，完成无滑/有滑滚动；再用 Universal Gravitation、能量和角动量整理卫星轨道、Kepler’s laws 与 escape speed。末段进入最后单元，定义 oscillation、restoring force 和 SHM。

一句话主线

Rolling couples translation to rotation; orbital motion couples gravitation to energy and angular momentum; SHM begins when a restoring force is proportional to displacement.

1. Rolling without Slipping / 无滑滚动约束

纯滚动满足：

$$\boxed{v_{CM}=R\omega }$$ $$\boxed{a_{CM}=R\alpha }$$

接触点相对地面瞬时速度为零。它是 kinematic constraint，不是额外的 force law。

2. Friction in Rolling / 滚动中的摩擦

摩擦方向由接触点的 slipping tendency 决定，不能机械写成“反对质心速度”。斜面上自由纯滚动时，static friction 通常沿斜面向上，提供使物体转起来所需的 torque。

理想水平面上已建立的匀速纯滚动不需要摩擦：$v_{CM}$ 与 $\omega$ 均保持不变，约束自然维持。

Static friction may be zero, and when nonzero it need not dissipate mechanical energy.

3. Rolling Dynamics / 滚动动力学

斜面向下取正：

$$Mg\sin \theta -f=M{a}_{CM}$$ $$fR=I_{CM}\alpha$$

配合 $a_{CM}=R\alpha$：

$$\boxed{a_{CM}=\frac{g\sin \theta }{1+I_{CM}/(M{R}^2)}}$$

$I/(M{R}^2)$ 越大，更多重力势能进入 rotation，质心加速度越小。不同形状从同高滚下，质量与半径常消去，mass distribution 决定先后。

4. Rolling Energy / 滚动能量

$$\boxed{K=\frac{1}{2}M{v}_{CM}^2+\frac{1}{2}{I}_{CM}{\omega }^2}$$

理想纯滚动的 static friction 接触点无相对位移，因此不产生 thermal-energy loss。下坡可写：

$$Mgh=\frac{1}{2}M{v}_{CM}^2+\frac{1}{2}{I}_{CM}{\omega }^2$$

5. Rolling with Slipping / 有滑滚动

若 $v_{CM}\ne R\omega$，接触点发生相对滑动，kinetic friction 同时改变 $v_{CM}$ 和 $\omega$，直到满足纯滚动条件。

稳定流程：

1. 由接触点相对运动判断 friction direction；
2. 写 $\sum F=M{a}_{CM}$；
3. 写 $\sum \tau =I\alpha$；
4. 用 linear/angular kinematics；
5. 在 transition instant 加入 $v_{CM}=R\omega$。

有滑阶段 $v=R\omega$ 不成立，且 kinetic friction 会增加 thermal energy。

6. Circular Orbits / 圆轨道

万有引力提供 centripetal force：

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$$ $$\boxed{v_{orb}=\sqrt{\frac{GM}{r}}}$$ $$\boxed{T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{r}^3}$$

圆轨道中 $K,U,E,L$ 均 constant：

$$K=\frac{GMm}{2r},U=-\frac{GMm}{r},E=-\frac{GMm}{2r}$$

7. Elliptical Orbits and Kepler’s Laws / 椭圆轨道与开普勒定律

central gravitational force 对中心 torque 为零，所以 angular momentum conserved：

$$L=mr{v}_t=\text{constant}$$

近日点 $r$ 小、speed 大；远日点 $r$ 大、speed 小。机械能守恒，但 $K$ 与 $U$ 分别变化。

Kepler’s second law（equal areas in equal times）的本质：

$$\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}=\text{constant}$$

Kepler’s third law 对椭圆以 semi-major axis $a$ 替代圆轨道半径：

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$$

8. Escape Speed / 逃逸速度

minimum escape condition：物体到无穷远时 speed 恰好降为零，且 $U(\infty )=0$，因此 total mechanical energy 为零。

$$\frac{1}{2}m{v}_{esc}^2-\frac{GMm}{r}=0$$ $$\boxed{v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}=\sqrt{2}{v}_{orb}}$$

它与发射物质量无关；$r$ 是距中心距离。escape speed 不是“克服重力后重力消失”，而是初始能量足以让物体不再返回。

9. Oscillation and SHM / 振动与简谐运动开端

oscillation 是围绕 equilibrium position 的周期性往复运动。平衡位置满足 net force 为零；restoring force 总指向平衡位置。

SHM 是特殊振动：

$$\boxed{F_{restoring}=-kx}$$ $$a=-\frac{k}{m}x=-{\omega }^{2}x$$

基本量：

• amplitude $A$：离平衡位置的最大距离；
• period $T$：完成一次 cycle 的时间；
• frequency $f=1/T$；
• angular frequency $\omega =2\pi f=2\pi /T$。

这里的 angular frequency 不是刚体绕轴的 angular velocity；符号相同，但物理语境不同。完整解将在下一课继续，见 Simple Harmonic Motion。

10. Deep Phrases / 深层表达

• Rolling without slipping is a kinematic constraint linking translation and rotation.
• The direction of friction is determined by the tendency of the contact point to slip.
• Kepler’s equal-area law is angular-momentum conservation in geometric form.
• Escape speed is the speed that makes the total orbital energy exactly zero.
• SHM requires a restoring force proportional and opposite to displacement.

11. Error Checklist / 易错清单

• 所有 rolling 情况都写 $v=R\omega$；
• 看到滚动就必画摩擦力；
• 纯滚动中只算平动动能；
• 把椭圆轨道 speed 当 constant；
• 在 escape-speed 公式中用 altitude 代替 center distance；
• 把 angular frequency 与 angular velocity 当成同一概念。

Connected Notes / 连接

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