AP物理C力学预备课 - 微积分工具

Reading Guide / 阅读说明

这节不是把微积分重新完整讲一遍，而是建立力学会反复调用的两种读法：derivative 读取某一瞬间的变化，integral 累积一段时间内的变化。公式按课件画面校对，转写中模糊的口述符号没有直接照抄。

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• 02 - The Paradox of the Derivative
• 08 - Integration and the Fundamental Theorem of Calculus

一句话主线

A derivative converts a quantity into its instantaneous rate of change; an integral reconstructs accumulated change from a rate.

导数把一个量变成它的瞬时变化率；积分把变化率在区间内累积，恢复总变化。

1. From Average to Instantaneous / 从平均到瞬时

区间 $[t_1,t_2]$ 上的位置平均变化率：

$$v_{\text{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$$

这是 Average Rate of Change，几何上是 Secant Line 的 slope。

当第二个时刻逼近第一个时刻：

$$v(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$$

几何上，secant line 逼近 Tangent Line；物理上，average velocity 逼近 instantaneous velocity。

The derivative is the slope of the tangent line and the instantaneous rate of change.

这两个短语不是竞争定义：前者是 graph interpretation，后者是 quantity interpretation。

2. Derivative Toolkit / 求导工具

Basic rules

$$\frac{d}{dx}c=0,\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$$ $$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x,\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$ $$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$

线性规则：

$$\frac{d}{dx}[af(x)+bg(x)]=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x)$$

Product and chain structure

Product Rule：

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$

Chain Rule：

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$

Core sentence:

The chain rule multiplies rates through nested dependence.

中文理解：如果外层量随中间量变化，而中间量又随时间变化，总变化率就是两层局部变化率相乘。

3. The Motion Derivative Chain / 运动量求导链

$$\boxed{v(t)=\frac{dx}{dt}}$$ $$\boxed{a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}}$$

因此：

position x(t) --differentiate--> velocity v(t)
velocity v(t) --differentiate--> acceleration a(t)

这个关系将在 AP物理C力学第1次正课-位移速度加速度与运动图像 中同时表现为 equations 和 graph slopes。

4. Integral as Accumulation / 积分是累积

把区间分成很多小段，每段变化近似为“rate × small interval”：

$$\Delta x\approx \sum _{i}v(t_i)\Delta t$$

当小段无限变细：

$$\boxed{\Delta x={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt}$$

这就是 Riemann Sum 到 Definite Integral 的过渡。几何上，它是 velocity-time graph 与时间轴之间的 Signed Area。

The integral of a rate gives the accumulated change, not automatically the final value.

所以：

$$x(t)=x(t_0)+{\int }_{t_0}^{t}v(\tau )d\tau$$

必须加 initial position。只知道 velocity 的变化规律，仍不知道物体最初在哪里。

同理：

$$v(t)=v(t_0)+{\int }_{t_0}^{t}a(\tau )d\tau$$

这与 Initial Conditions 直接相连。

5. Antiderivatives and the FTC / 反导与微积分基本定理

若 $F^{\prime }(x)=f(x)$，则 $F$ 是 $f$ 的 Antiderivative：

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

Fundamental Theorem of Calculus 给出：

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$$

常用反导：

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$$ $$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C,\int e^{x}dx=e^x+C$$ $$\int \cos xdx=\sin x+C,\int \sin xdx=-\cos x+C$$

6. Definite vs Indefinite / 定积分与不定积分

Form	Meaning in mechanics
$\int f(x)dx$	一族 antiderivatives，需要 $+C$
${\int }_a^{b}f(x)dx$	在给定区间上的净累积，是一个确定值
${\int }_{t_0}^{t}v(\tau )d\tau$	从 $t_0$ 到 $t$ 的 displacement
${\int }_{t_0}^{t}a(\tau )d\tau$	从 $t_0$ 到 $t$ 的 change in velocity

7. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文抓手
Average rate belongs to an interval; instantaneous rate belongs to a moment.	平均变化率对应区间，瞬时变化率对应时刻。
The tangent slope is the local rate of change.	切线斜率就是局部变化率。
Differentiation reads local change; integration accumulates change.	求导看局部，积分做累积。
Area below the axis contributes negatively to signed area.	横轴下方对带符号面积作负贡献。
Initial conditions select one physical motion from a family of mathematical solutions.	初始条件从一族数学解中选出真实运动。

8. Watch Out / 易错点

• $\Delta$ 是有限差值，$d$ 表示局部微分；不要机械互换。
• derivative 的单位是“纵轴单位 / 横轴单位”。
• integral 的单位是“被积函数单位 × 积分变量单位”。
• graph area 是 signed accumulation；若题目要 total distance，不能简单把负面积抵消。
• indefinite integral 必须有 $+C$；物理中通常用初始条件确定它。

9. Next / 下一步

把工具放进真实物理量：AP物理C力学第1次正课-位移速度加速度与运动图像。