Definite Integral

Core Sentence / 核心句

A definite integral is the refinement limit of finite local contributions over an oriented interval.

中文理解：定积分是在一个有方向的区间内，把有限局部贡献不断细化后得到的极限，因此它表示带符号的精确累积。

For equal-width right-endpoint sums,

\int_{a}^{b} f (x) d x = n \to \infty lim k = 1 \sum n f (a + k \frac{b - a}{n}) \frac{b - a}{n} .

更一般地，sample points 可以不同，只要 partition 的最大宽度趋近 $0$ 且极限存在。

\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f, \int_{a}^{a} f = 0,

\int_{a}^{b} (c f + g) = c \int_{a}^{b} f + \int_{a}^{b} g,

\int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f = \int_{a}^{c} f .

finite Riemann Sum 是 approximation，不是 exact integral。
integral bounds 与 summation index bounds 属于不同层级。
definite integral 不是自动的 geometric area；轴下贡献为负。
reversed bounds 合法，只是 orientation 反转。
$d x$ 指明 integration variable，并承载 small-width intuition；不要脱离 limit definition 随意把它当普通数。