Biot-Savart Law

Core Sentence / 核心句

The Biot-Savart law builds a magnetic field by integrating the vector contributions of current elements.

中文理解：把整条电流路径切成许多 $Id\vec{\ell }$，分别求它们在 field point 的微小磁场，再进行矢量积分。

Law / 定律

$$\boxed{d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{\ell }\times \hat{r}}{r^2}}$$ $$\boxed{\vec{B}=\int d\vec{B}}$$

$\hat{r}$ 从 source element 指向 field point。

Circular Loop / 圆电流

center：

$$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2R}}$$

axis：

$$\boxed{B(x)=\frac{{\mu }_{0}NI{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}}$$

semicircular arc at center：

$$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}I}{4R}}$$

When To Use / 什么时候用

• finite wire；
• circular arc；
• current loop；
• off-symmetry geometry；
• Ampere’s law 无法直接提出 $B$ 时。

Watch Out / 易错点

• $\hat{r}$ 的方向不可反。
• 先用 symmetry 判断 surviving component。
• $d\vec{\ell }\times \hat{r}$ 是 cross product。
• loop-axis field 随 $x$ 变化。
• 对 radial segment at center，$\sin \theta =0$。

Search and Source Mentions / 搜索与出现位置

Mentioned In / 出现位置

• 第12次正课 · law
• 第12次正课 · loop center
• 第12次正课 · loop axis
• 第13次正课 · loop-axis derivation
• 第13次正课 · circle and semicircle results

Connected Notes / 连接

• AP电磁学第12次正课-载流导线力与安培定律
• AP电磁学第13次正课-动生电动势磁通量与法拉第定律
• Ampere’s Law
• Magnetic Fields
• Electric Current
• Integrals
• Vectors
• Symmetry