Exponential Growth

Core Sentence / 核心句

Exponential growth occurs when a quantity’s rate of change is proportional to its current size.

中文理解：一个量越大，它增长得越快，而且“增长速度 ÷ 当前大小”保持不变。

Formula / 公式

$$y^{\prime }=ky$$ $$y(t)=y_0{e}^{kt}$$ $$\frac{y^{\prime }}{y}=k$$

Memory Sentence / 记忆句

Constant relative growth produces an exponential curve.

中文：固定的是相对增长率，不是每次增加的绝对数量。

When To Use / 什么时候用

population growth、continuous compounding、radioactive decay、cooling temperature difference 等系统中，若 rate proportional to current amount，就考虑此模型。

Watch Out / 易错点

• $k>0$ 是 growth，$k<0$ 是 decay。
• 现实种群受资源限制时，长期不一定保持纯指数增长。
• cooling 中按指数衰减的是物体与环境的温差。
• $y^{\prime }=k$ 表示 constant absolute rate；$y^{\prime }=ky$ 才是 constant relative rate。

Search and Source Mentions / 搜索与出现位置

Mentioned In / 出现位置

• Chapter 5 · Why Exponentials Model Nature
  • population, compound growth, and cooling share the structure $y^{\prime }=ky$

Connected Notes / 连接

• 05 - What’s So Special About Euler’s Number e
• Exponential Functions
• Euler’s Number e
• Natural Logarithm
• Derivatives
• Instantaneous Rate of Change