Natural Logarithm

Core Sentence / 核心句

$\ln a$ is the exponent to which $e$ must be raised to produce $a$.

中文理解：$\ln a$ 回答的问题是：“$e$ 的多少次方等于 $a$？”

Formula / 公式

$$e^{\ln a}=a$$ $$a^x=e^{x\ln a}$$ $$\frac{d}{dx}{a}^x=(\ln a)a^x$$

Memory Sentence / 记忆句

The natural logarithm of the base is the proportionality constant in the derivative of that exponential.

中文：底数的自然对数，就是该指数函数“导数相对于自身”的比例常数。

When To Use / 什么时候用

需要在一般底数与 $e$ 之间转换、解指数方程、读取 continuous growth rate 或求 $a^x$ 的导数时使用。

Watch Out / 易错点

• $\ln a$ 只对 $a>0$ 的实数定义。
• $\ln (a+b)\ne \ln a+\ln b$。
• $\ln (a^r)=r\ln a$，这解释了 $\ln 8=3\ln 2$。

Search and Source Mentions / 搜索与出现位置

Mentioned In / 出现位置

• Chapter 6 · Natural-Log Derivative
  • $e^y=x$ gives $e^{y}dy=dx$, so $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$
• Chapter 5 · Natural Logarithm
  • $a^t=e^{(\ln a)t}$ explains the derivative constant
• Chapter 5 · Equivalent Forms
  • base conversion makes continuous growth rates readable

Connected Notes / 连接

• 05 - What’s So Special About Euler’s Number e
• 06 - Implicit Differentiation, What’s Going On Here
• Implicit Differentiation
• Euler’s Number e
• Exponential Functions
• Exponential Growth
• Derivative Formulas
• Chain Rule