Ratio Test

Core Sentence / 核心句

The Ratio Test compares consecutive terms to decide convergence for series with factorials, exponentials, or powers.

中文理解：Ratio Test 看后一项和前一项的比例，特别适合 factorial、指数、高次幂连乘。

Formula / 公式或规则

$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

• $L<1$: converges absolutely
• $L>1$ or $L=\infty$: diverges
• $L=1$: inconclusive

When To Use / 什么时候用

看到 $n!$、$c^n$、power series 的 interval of convergence，先试 Ratio Test。

Watch Out / 易错点

$L=1$ 不能判断，不是 converges。

Search and Source Mentions / 搜索与出现位置

Mentioned In / 出现位置

• 微积分BC第14次正课-Ratio-Test与Taylor-Series · Knowledge Point 2: Ratio Test Example
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• 微积分BC第14次正课-Ratio-Test与Taylor-Series · Knowledge Point 1: Ratio Test Is the Last Convergence Test
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• 微积分BC第14次正课-Ratio-Test与Taylor-Series · Knowledge Point 21: Use Ratio Test First
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• 微积分BC第14次正课-Ratio-Test与Taylor-Series · 1. The Ratio Test is inconclusive when $L=1$.
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• 微积分BC第14次正课-Ratio-Test与Taylor-Series · 微积分BC第14次正课 - Ratio Test 与 Taylor Series
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• 微积分BC第14次正课-Ratio-Test与Taylor-Series · Knowledge Point 3: Choosing Among 7 Tests / 七种方法怎么选
  • | factorials, exponentials, powers | Ratio Test |
• 微积分BC第14次正课-Ratio-Test与Taylor-Series · Knowledge Point 22: Always Check Endpoints
  • Ratio Test 得到的是 open interval，因为：
• 微积分BC第14次正课-Ratio-Test与Taylor-Series · 2. Link to Previous Lecture / 和第13次正课的连接
  • 最后进入 power series，因为 power series 的收敛区间还是要靠 Ratio Test。

Connected Notes / 连接

• 微积分BC第14次正课-Ratio-Test与Taylor-Series
• Absolute Convergence
• Power Series
• Interval of Convergence