微积分BC第14次正课 - Ratio Test 与 Taylor Series

Reading Guide / 阅读说明

这份笔记接在 微积分BC第13次正课-无穷级数判敛 后面。第 13 次课主要整理前 6 种判敛方法；第 14 次课先补最后一种判敛工具 Ratio Test，再进入 Taylor Series / Maclaurin Series / Power Series 的核心框架。

这份笔记继续用：

• English exam/core sentences
• 中文解释和纠错
• Obsidian wiki links
• LaTeX 公式
• “深句对应表”帮助记忆

1. What This Lecture Is About / 这节课在讲什么

这节课分成两大块：

Part A: finish convergence tests
Part B: start Taylor / Maclaurin / Power Series

Part A:

• Ratio Test
• choosing among 7 convergence tests
• Absolute Convergence
• Conditional Convergence
• Alternating Series Error Bound

Part B:

• Taylor Series
• Maclaurin Series
• common Maclaurin expansions
• using series to differentiate and integrate
• Lagrange Error Bound
• Interval of Convergence
• Radius of Convergence

课堂里的核心提醒是：

第十章不是一节课听懂的内容，而是一个长期熟悉 test signals 和 computation patterns 的过程。

中文理解：Unit 10 的难点不是某个公式，而是“看到题目以后能不能快速判断该用哪种工具”。

2. Link to Previous Lecture / 和第13次正课的连接

第 13 次课已经讲了：

• Geometric Series
• nth Term Test for Divergence
• Integral Test
• p-Series
• Comparison Test
• Limit Comparison Test
• Alternating Series Test

第 14 次课补上第 7 种：

• Ratio Test

然后把“是否收敛”进一步细分成：

convergent
  -> absolutely convergent
  -> conditionally convergent
divergent

最后进入 power series，因为 power series 的收敛区间还是要靠 Ratio Test。

3. Class Flow / 课堂脉络

1. 回顾第 13 次课：前 6 种 convergence tests。
2. 讲第 7 种：Ratio Test。
3. 用综合选择题训练“看到级数先选 test”。
4. 引入 Absolute Convergence 和 Conditional Convergence。
5. 讲 Alternating Series Error Bound：交错级数误差由下一项控制。
6. 引入 Taylor Series：把复杂函数写成 power series。
7. 用 $e^x$ about $x=1$ 展示 Taylor 展开。
8. 用 $\frac{1}{(1+x{)}^2}$ 和 $\ln (3-x)$ 练 Taylor polynomial。
9. 讲 Maclaurin Series：Taylor series centered at $0$。
10. 背常用 Maclaurin expansions。
11. 用 series 做求导和积分。
12. 讲 Lagrange Error Bound。
13. 讲 Interval of Convergence 和 Radius of Convergence。

4. Core Ideas / 核心知识块

Knowledge Point 1: Ratio Test Is the Last Convergence Test

Ratio Test 用在：

factorials, exponentials, powers, or no obvious comparison signal

严格说，它判断的是级数：

$$\sum a_n$$

计算：

$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

结论：

$$L<1\Rightarrow \sum a_n\text{ converges absolutely}$$ $$L>1\text{ or }L=\infty \Rightarrow \sum a_n\text{ diverges}$$ $$L=1\Rightarrow \text{inconclusive}$$

中文理解：

• 比值小于 1：后一项相对前一项越来越小得足够快，所以收敛。
• 比值大于 1：后一项没有衰减，甚至变大，所以发散。
• 比值等于 1：这个 test 看不出来，换别的方法。

Core sentence:

If the ratio test gives L = 1, the test is inconclusive.

中文：$L=1$ 不是收敛，也不是发散，是“这个方法没用”。

Knowledge Point 2: Ratio Test Example

例子：

$$\sum \frac{2^n}{n}$$

令：

$$a_n=\frac{2^n}{n}$$

则：

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot \frac{n}{2^n}\right|=2\cdot \frac{n}{n+1}$$

所以：

$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }2\cdot \frac{n}{n+1}=2$$

因为：

$$L=2>1$$

所以：

$$\sum \frac{2^n}{n}\text{ diverges}$$

注意：课堂 transcript 里有一处口算说成 $1/2$，但按标准 Ratio Test 算法应为 $2$，因此该级数发散。这也是为什么使用 Ratio Test 时必须把 $a_{n+1}/a_n$ 的代数运算写清楚。

Knowledge Point 3: Choosing Among 7 Tests / 七种方法怎么选

七种 convergence tests 的信号：

Signal / 题目信号	Test / 方法
$\sum a{r}^n$ or constant ratio	Geometric Series
$\lim a_n\ne 0$	nth Term Test for Divergence
positive, decreasing, integrable function	Integral Test
$\sum 1/n^p$	p-Series
compare to known larger/smaller positive series	Comparison Test
same end behavior as known series	Limit Comparison Test
$(-1{)}^n$ or alternating signs	Alternating Series Test
factorials, exponentials, powers	Ratio Test

Exam thinking:

Do not ask “what is the answer first?”
Ask “what test does this series look like?”

中文理解：AP 题不是让你自由发挥，而是在训练你识别 signal。

Knowledge Point 4: Absolute vs Conditional Convergence

先判断：

$$\sum |a_n|$$

再判断：

$$\sum a_n$$

分类：

Case	Name
$\sum	a_n
$\sum a_n$ converges but $\sum	a_n
$\sum a_n$ diverges	divergent

Core sentence:

Absolute convergence means the series converges even after removing the signs.

中文：绝对收敛说明正负号不是“救命原因”；它本身就收敛得足够强。

Core sentence:

Conditional convergence means the alternating signs are what make the series converge.

中文：条件收敛说明不加正负号就发散，靠 alternating cancellation 才收敛。

Knowledge Point 5: Conditional Convergence Example

Alternating harmonic series:

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$$

原级数：

$$\sum \frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$$

由 Alternating Series Test 收敛。

取绝对值：

$$\sum \left|\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\right|=\sum \frac{1}{n}$$

这是 harmonic series，发散。

所以：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\text{ is conditionally convergent}$$

Knowledge Point 6: Alternating Series Error Bound

对于满足 Alternating Series Test 条件的级数：

$$\sum (-1{)}^n{a}_n$$

如果用前 $n$ 项部分和 $S_n$ 近似真实和 $S$，则：

$$|S-S_n|\le a_{n+1}$$

Core sentence:

In an alternating series, the error is at most the first omitted term.

中文：

交错级数里，加到第几项，误差最多就是下一项的绝对值。

为什么？

因为后面的项一正一负、越来越小。第一项没加的 leftover 会被后面更小的反向项部分抵消，所以误差不会超过第一项漏掉的量。

Knowledge Point 7: Alternating Error Bound Example

如果：

$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}2}{n}$$

用前 $k$ 项 $P_k$ 近似，想让：

$$|S-P_k|<0.03$$

误差由下一项控制：

$$\frac{2}{k+1}<0.03$$

解：

$$k+1>\frac{2}{0.03}=66.666\cdots$$

所以至少要取：

$$k=66$$

具体题目要看不等号和选项，但核心逻辑永远是：

first omitted term <= allowed error

5. Taylor Series / 泰勒级数

Knowledge Point 8: Taylor’s Big Idea

Taylor 的核心想法：

All smooth functions can be represented by power series near a point.

中文理解：复杂函数不好求导/积分；power functions 最好操作。所以 Taylor series 的目的就是把复杂函数变成 polynomial-like expression。

课堂里的中文压缩：

在 Taylor 眼里，所有函数都可以写成幂函数的形式。

Knowledge Point 9: Taylor Formula

若函数在 $x=c$ 附近足够可导，则：

$$f(x)=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime }(c)}{2!}(x-c{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n+\cdots$$

也可以写成：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n$$

关键词：

about x = c

意思是：

centered at c

中文理解：题目说 “Taylor series about $x=1$”，就是把 $c$ 取成 $1$，所有项都围绕 $(x-1)$ 展开。

Knowledge Point 10: Taylor Example - $e^x$ about $x=1$

对于：

$$f(x)=e^x$$

在：

$$x=1$$

处展开。

因为：

$$f^{(n)}(x)=e^x$$

所以：

$$f^{(n)}(1)=e$$

因此：

$$e^x=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1{)}^2+\cdots +\frac{e}{n!}(x-1{)}^n+\cdots$$

中文理解：$e^x$ 的所有阶导数都是自己，所以每个 coefficient 都是 $e$ 除以 factorial。

Knowledge Point 11: Coefficient Questions / 系数题

例子：

$$f(x)=\frac{1}{(1+x{)}^2}$$

问 Taylor series about $x=0$ 中 $x^2$ 的 coefficient。

因为 centered at $0$：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots$$

所以 $x^2$ 的 coefficient 是：

$$\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}$$

计算：

$$f(x)=(1+x{)}^{-2}$$ $$f^{\prime }(x)=-2(1+x{)}^{-3}$$ $$f^{\prime \prime }(x)=6(1+x{)}^{-4}$$

所以：

$$f^{\prime \prime }(0)=6$$

因此：

$$\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}=\frac{6}{2}=3$$

答案：

$$3$$

Knowledge Point 12: Taylor Polynomial Degree

题目说：

third degree Taylor polynomial

意思是写到：

$$(x-c{)}^3$$

不是“写三项”。

例子：

$$f(x)=\ln (3-x)$$

about $x=2$，third degree Taylor polynomial。

令 $y=x-2$，则：

$$\ln (3-x)=\ln (1-y)$$

所以：

$$\ln (3-x)=-(x-2)-\frac{1}{2}(x-2{)}^2-\frac{1}{3}(x-2{)}^3+\cdots$$

third degree polynomial:

$$P_3(x)=-(x-2)-\frac{1}{2}(x-2{)}^2-\frac{1}{3}(x-2{)}^3$$

6. Maclaurin Series / 麦克劳林级数

Knowledge Point 13: Maclaurin Is Taylor Centered at 0

Maclaurin Series 是特殊的 Taylor Series：

$$c=0$$

所以：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}{x}^3+\cdots$$

Core sentence:

A Maclaurin series is a Taylor series about x = 0.

中文：看到 Maclaurin，就默认 centered at $0$。

Knowledge Point 14: Common Maclaurin Series

这些必须熟：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$ $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots ,|x|<1$$ $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots ,|x|<1$$

Knowledge Point 15: Substitution in Maclaurin Series

如果知道：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

那么：

$$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

因为把所有 $x$ 换成 $-x$。

同理：

$$e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots$$

Core sentence:

If the input changes, replace every x in the known series by that input.

中文：不是重新推一遍，而是把标准展开里的 $x$ 整体替换。

Knowledge Point 16: Even and Odd Cancellation

课堂例子：

$$\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$$

展开：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$ $$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$

相加后，odd powers 消掉：

$$\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

中文理解：一正一负相加，奇次项抵消，偶次项保留。

Knowledge Point 17: Series Can Be Differentiated and Integrated

核心：

The power series is equal to the function on its interval of convergence.

所以在收敛区间内，可以逐项求导/积分：

$$\frac{d}{dx}\sum a_n{x}^n=\sum n{a}_n{x}^{n-1}$$ $$\int \sum a_n{x}^{n}dx=\sum \frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}+C$$

中文理解：Taylor/Maclaurin 的真正用途不是“好看”，而是把不会直接积分的函数换成可以逐项积分的 power series。

例子：

$$\sin (x^2)=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\cdots$$

因此：

$$\int \sin (x^2)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^7}{7\cdot 3!}+\frac{x^{11}}{11\cdot 5!}-\cdots +C$$

7. Lagrange Error Bound / 拉格朗日误差

Knowledge Point 18: Taylor Polynomial Has Error

如果只用 $n$ 阶 Taylor polynomial：

$$P_n(x)$$

近似：

$$f(x)$$

那么误差：

$$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$$

Lagrange Error Bound 给出：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c{)}^{n+1}$$

其中 $z$ 在 $x$ 和 $c$ 之间。

如果：

$$|f^{(n+1)}(z)|\le M$$

则：

$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-c{|}^{n+1}$$

Core sentence:

The Lagrange error bound uses the next derivative and the next power.

中文：写到 $n$ 阶，误差看 $n+1$ 阶。

Knowledge Point 19: Lagrange Error Routine

做题流程：

1. 确认 polynomial 是几阶：$P_3$ means third degree, so error uses 4th derivative。
2. 找 center $c$：题目说 about $x=c$。
3. 找 evaluation point $x$：题目写 $f(1)-P_3(1)$，则 $x=1$。
4. 找 derivative bound $M$：题目通常给 $|f^{(n+1)}(x)|\le M$。
5. 代入：

$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-c{|}^{n+1}$$

中文理解：这类题信息很多，但每句话都在给 $n,c,x,M$ 其中之一。

8. Interval and Radius of Convergence / 收敛区间与半径

Knowledge Point 20: Power Series Depends on x

Power Series 长这样：

$$\sum a_n(x-c{)}^n$$

它是否收敛取决于 $x$。

所以我们要找：

• Interval of Convergence：哪些 $x$ 让级数收敛
• Radius of Convergence：离 center 多远还能收敛

Knowledge Point 21: Use Ratio Test First

对 power series 先用 Ratio Test。

例子：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-3{)}^{2n}}{n}$$

令：

$$a_n=\frac{(x-3{)}^{2n}}{n}$$

计算：

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(x-3{)}^{2n+2}}{n+1}\cdot \frac{n}{(x-3{)}^{2n}}\right|$$ $$=|x-3{|}^2\cdot \frac{n}{n+1}$$

所以：

$$L=|x-3{|}^2$$

Ratio Test 要求：

$$|x-3{|}^2<1$$

所以：

$$|x-3|<1$$

得到初步区间：

$$2<x<4$$

Knowledge Point 22: Always Check Endpoints

Ratio Test 得到的是 open interval，因为：

at endpoints, L = 1, and Ratio Test is inconclusive

所以必须把 endpoints 代回 original series。

上例：

当 $x=2$：

$$\sum \frac{(2-3{)}^{2n}}{n}=\sum \frac{1}{n}$$

发散。

当 $x=4$：

$$\sum \frac{(4-3{)}^{2n}}{n}=\sum \frac{1}{n}$$

发散。

所以：

$$\text{interval of convergence}=(2,4)$$

半径：

$$R=1$$

Core sentence:

Use Ratio Test for the open interval, then test endpoints separately.

中文：收敛区间题最容易漏的就是 endpoint check。

9. Deep Phrases / 深句对应表

Phrase / 句子	What it should trigger / 看到它要想到什么
Ratio Test is computation-heavy.	不要靠看，写 $a_{n+1}/a_n$ 算。
L = 1 is inconclusive.	比值法失效，不是收敛也不是发散。
Absolute convergence removes the signs.	取绝对值后仍收敛，就是绝对收敛。
Conditional convergence is saved by signs.	原级数靠正负抵消收敛，绝对值后发散。
The error is at most the first omitted term.	交错级数加到第 $n$ 项，误差最多是第 $n+1$ 项。
Taylor turns functions into power series.	复杂函数变成幂函数，方便求导积分。
about $x=c$ means centered at $c$.	Taylor 展开中心是 $c$，所有项围绕 $x-c$。
Maclaurin means about $x=0$.	Maclaurin 是 $c=0$ 的 Taylor。
degree is not the same as number of terms.	third degree 写到 $x^3$，three nonzero terms 是写三个非零项。
Lagrange error uses the next derivative.	$P_n$ 的误差看 $f^{(n+1)}$。
Always check endpoints.	Ratio Test 只给开区间，端点单独代回原级数。

10. Exam Language / 关键句中英对照

1. The Ratio Test is inconclusive when $L=1$.

English:

If the limit in the Ratio Test equals 1, the test is inconclusive.

中文：

如果比值法的极限等于 1，这个方法无法判断收敛或发散。

2. A series is absolutely convergent if the absolute-value series converges.

English:

A series is absolutely convergent if the series of absolute values converges.

中文：

如果取绝对值后的级数收敛，则原级数绝对收敛。

3. A conditionally convergent series converges only because of sign cancellation.

English:

A series is conditionally convergent if it converges but does not converge absolutely.

中文：

如果原级数收敛，但取绝对值后发散，则它条件收敛。

4. The alternating series error is bounded by the next term.

English:

For an alternating series satisfying the conditions, the error is at most the absolute value of the first omitted term.

中文：

满足条件的交错级数，用前 n 项近似时，误差最多是第 n+1 项的绝对值。

5. A Maclaurin series is a Taylor series centered at zero.

English:

A Maclaurin series is a Taylor series centered at x equals zero.

中文：

麦克劳林级数就是以 x=0 为中心的泰勒级数。

6. The interval of convergence requires endpoint testing.

English:

After using the Ratio Test to find the open interval, test the endpoints separately.

中文：

用比值法得到开区间后，必须把端点代回原级数单独判断。

11. Decision Maps / 做题选择图

Convergence Test Map

Does a_n fail to approach 0?
  -> nth Term Test: diverges
 
Does it look geometric?
  -> Geometric Series
 
Does it look like 1/n^p?
  -> p-Series
 
Positive decreasing function and integrable?
  -> Integral Test
 
Looks like known positive series?
  -> Comparison / Limit Comparison
 
Alternating signs?
  -> Alternating Series Test
 
Factorials / exponentials / powers / power series?
  -> Ratio Test

Absolute vs Conditional Map

Check sum |a_n|
  converges -> absolutely convergent
  diverges -> check original sum a_n
      converges -> conditionally convergent
      diverges -> divergent

Taylor / Maclaurin Map

Need Taylor polynomial?
  identify center c
  compute f(c), f'(c), f''(c), ...
  plug into Taylor formula
 
Need Maclaurin?
  set c = 0
  use known expansions if possible
 
Need coefficient?
  locate matching power
  coefficient = derivative value / factorial
 
Need interval of convergence?
  Ratio Test
  solve open interval
  test endpoints

12. Confusion / Questions

1. 为什么 Ratio Test 的 $L=1$ 不能判断？
2. 为什么 Ratio Test 常常适合 factorial 和 exponential？
3. absolute convergence 为什么一定能推出 original convergence？
4. conditionally convergent 和 alternating series convergent 有什么区别？
5. Alternating Series Error Bound 为什么是下一项，而不是剩下所有项的和？
6. Taylor series 的 “about $x=c$” 到底改变了什么？
7. third degree 和 three nonzero terms 为什么不是一回事？
8. Maclaurin 常用展开式哪些必须背？
9. 为什么 series 可以逐项求导/积分？
10. Lagrange error bound 里的 $z$ 为什么通常不用求？
11. 为什么 interval of convergence 一定要 check endpoints？
12. radius of convergence 和 interval of convergence 有什么关系？

13. After Class Summary / 看完压缩版

这节课完成了 AP Calculus BC Unit 10 最核心的两个板块。

第一块是无穷级数判敛的收尾：

• Ratio Test 是第七种 convergence test。
• $L<1$ 收敛，$L>1$ 发散，$L=1$ inconclusive。
• Absolute Convergence 看 $\sum |a_n|$。
• Conditional Convergence 是原级数收敛但绝对值级数发散。
• Alternating Series Error Bound 说误差最多是 first omitted term。

第二块是 Taylor / Maclaurin：

• Taylor Series 把函数变成 centered power series。
• Maclaurin Series 是 centered at $0$ 的 Taylor。
• 常用展开式包括 $e^x,\sin x,\cos x,\frac{1}{1-x},\frac{1}{1+x}$。
• 展开式可以逐项求导和积分。
• Lagrange Error Bound 控制 Taylor polynomial 的误差。
• Interval of Convergence 用 Ratio Test 先找 open interval，再 check endpoints。

一句话总结：

Series tests decide whether infinite sums behave; Taylor series turns functions into infinite sums.

中文：

判敛法解决“无穷和靠不靠谱”；Taylor 解决“函数能不能写成无穷和”。

14. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

• 微积分BC第13次正课-无穷级数判敛 gives the first six convergence tests; this note completes the test list with Ratio Test and then moves into power series.
• 03 - Derivative Formulas through Geometry explains why derivative formulas work; this note uses derivatives repeatedly to build Taylor Series coefficients.
• Power Rule supports term-by-term differentiation and integration of power series.
• Integrals connects to using Maclaurin series to integrate functions such as $\sin (x^2)$ that do not have elementary antiderivatives.
• Limits appears in every convergence test and in the definition of interval of convergence.
• Alternating Series Test connects directly to Alternating Series Error Bound.
• p-Series and harmonic series are used to check endpoint convergence.
• AP电磁学第1次正课-电荷库仑定律与电场 is not directly about series, but later AP Physics C uses Taylor approximations and power-series thinking for small-quantity approximations.

15. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• 微积分BC第13次正课-无穷级数判敛
• Infinite Sequence and Series
• Ratio Test
• Absolute Convergence
• Conditional Convergence
• Alternating Series Test
• Alternating Series Error Bound
• Taylor Series
• Taylor Polynomial
• 11 - Taylor Series
• Maclaurin Series
• Power Series
• Lagrange Error Bound
• Interval of Convergence
• Radius of Convergence
• Power Rule
• Integrals
• Limits
• p-Series
• Geometric Series
• 03 - Derivative Formulas through Geometry
• AP Calculus BC