AP物理C力学第4次正课 - 连接体阻力与圆周运动入门

Reading Guide / 阅读说明

这节课继续“死磕” Newton’s Second Law。前半把系统法用于绳、滑轮和斜面；中段把速度相关阻力写成 differential equation；末段把直线动力学迁移到圆周运动。

一句话主线

The model changes, but the method does not: define the system, write the force law, impose the constraint, and solve for the motion.

1. System versus Constituent Parts / 整体与组成部分

System Boundary 决定哪些力算 internal、哪些力算 external。对整体求共同运动，对局部求内力。

理想连接模型通常包含：

• massless string: 同一段绳的 tension 相同；
• inextensible string: 绳长约束给出 acceleration relation；
• massless, frictionless pulley: 只改变绳方向，不改变同一根理想绳的 tension。

这些是模型假设，不是所有现实绳轮系统的事实。

2. Connected-Body Workflow / 连接体流程

1. 给每个物体选与运动匹配的正方向；
2. 分别画 FBD；
3. 写每个物体的 $\sum F=ma$；
4. 写 string-length constraint；
5. 需要时先对整个系统消去 internal tensions；
6. 再隔离单体求 tension。

简单 Atwood machine（$m_2>m_1$）中：

$$m_{2}g-T=m_{2}a,T-m_{1}g=m_{1}a$$

相加得：

$$\boxed{a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2}}$$

3. Inclined Planes / 斜面

沿斜面与垂直斜面选轴：

$$m{g}_{\parallel }=mg\sin \theta ,m{g}_{\perp }=mg\cos \theta$$

若垂直斜面无加速度，$N=mg\cos \theta$。摩擦方向必须由 relative sliding/tendency 判断：

• 物体向下滑，摩擦沿斜面向上；
• 物体被推上斜面，摩擦仍沿斜面向下。

因此同一斜面上“上行减速”和“下行加速”的 acceleration magnitude 通常不同。

4. Speed-Dependent Resistance / 速度相关阻力

流体阻力方向与相对流体速度相反。常用理想模型：

$${\vec{F}}_r=-b\vec{v}$$

或高速情形近似：

$${\vec{F}}_r=-c|\vec{v}|\vec{v}$$

负号表达 direction。选 downward positive，线性阻力下落满足：

$$m\frac{dv}{dt}=mg-bv$$

这是 Differential Equations：force depends on the unknown velocity itself。

5. Terminal Velocity / 终端速度

当阻力增至与重力平衡：

$$\frac{dv}{dt}=0$$

线性模型：

$$\boxed{v_t=\frac{mg}{b}}$$

若从静止释放：

$$\boxed{v(t)=v_t\left(1-e^{-bt/m}\right)}$$ $$a(t)=g{e}^{-bt/m}$$

速度从 0 渐近 $v_t$，加速度从 $g$ 渐近 0。平方阻力模型则给出：

$$v_t=\sqrt{\frac{mg}{c}}$$

Terminal velocity means zero acceleration, not zero velocity.

见 Resistive Force and Terminal Velocity 与 Exponential Functions。

6. Angular Language / 圆周运动的角量

弧度定义：

$$\theta =\frac{s}{r}$$

角速度与线速度：

$$\omega =\frac{d\theta }{dt},\boxed{v=r\omega }$$

匀速圆周运动中：

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$$

7. Centripetal Acceleration / 向心加速度

即使 speed 恒定，velocity direction 改变，所以仍有 acceleration：

$$\boxed{a_r=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r}$$

方向永远指向圆心。径向动力学写成：

$$\boxed{\sum F_r=m\frac{v^2}{r}}$$

Centripetal force is not an additional force; it is the name for the net radial force supplied by real interactions.

因此 FBD 中只画 tension、friction、normal、gravity 等真实力，再把它们的径向分量相加。详见 Circular Motion。

8. Deep Phrases / 深层表达

• A constraint links motions that would otherwise require separate equations.
  • 绳长约束不是力，而是连接各物体运动的几何关系。
• Terminal speed is a dynamic equilibrium between driving and resistive forces.
  • 物体仍在运动，只是合力和加速度归零。
• Uniform circular motion has constant speed but changing velocity.
  • velocity 是矢量，方向变化就意味着加速度。

9. Error Checklist / 易错清单

• 默认所有 pulley 两侧 tension 都相等，却没有检查是否为同一根理想绳；
• 在斜面 FBD 上把 $mg\sin \theta$ 与完整 $mg$ 同时画出；
• 把 terminal velocity 解释成最终停止；
• 在 FBD 中额外画一根“centripetal force”；
• 把 $v^2/r$ 当作只适用于 constant speed；它是瞬时 radial acceleration 分量。

Connected Notes / 连接

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