AP物理C力学第5次正课 - 圆周运动万有引力与质心

Reading Guide / 阅读说明

这节课先把 Circular Motion 用在锥摆、转弯和竖直圆周，再由圆周所需的径向合力过渡到 Universal Gravitation；随后用质心把多物体系统压缩为一个整体运动对象，最后开启 work-energy 单元。

一句话主线

Circular motion asks which real forces supply the radial net force; gravitation and center of mass then extend that same system view from one object to many.

1. Conical Pendulum / 锥摆

摆线与竖直方向夹角为 $\theta$，圆周半径为 $r$：

$$T\cos \theta =mg$$ $$T\sin \theta =m\frac{v^2}{r}$$

两式相除：

$$\tan \theta =\frac{v^2}{rg}$$

若绳长为 $L$，则 $r=L\sin \theta$。同一个 tension 同时提供竖直平衡和水平向心分量。

2. Flat Turn / 水平转弯

汽车在水平路面转弯时，通常由 static friction 提供径向合力：

$$f_s=m\frac{v^2}{r}$$

在临界打滑处：

$${\mu }_{s}mg=m\frac{v_{\max }^2}{r}$$ $$\boxed{v_{\max }=\sqrt{{\mu }_{s}gr}}$$

质量消去，说明理想模型下临界速度与车重无关。

3. Frictionless Banked Turn / 无摩擦倾斜弯道

normal force 的竖直分量平衡重力，水平分量提供向心力：

$$N\cos \theta =mg,N\sin \theta =m\frac{v^2}{r}$$ $$\boxed{\tan \theta =\frac{v^2}{rg}}$$

这给出 zero-friction design speed。对于固定 $r,\theta$，理想无摩擦条件下只有这个速度能保持圆轨道；不是笼统的“最小速度”。

4. Vertical Circle / 竖直圆周

始终先选 radial inward positive，再写：

$$\sum F_r=m\frac{v^2}{r}$$

内侧圆周的典型位置：

• bottom: $N-mg=m{v}^2/r$；
• top: $N+mg=m{v}^2/r$；
• side: 重力通常含 radial 与 tangential 角色，必须按所选轴分解。

顶部恰好保持接触时 $N=0$：

$$\boxed{v_{\text{top,min}}=\sqrt{gr}}$$

径向合力瞬时垂直于速度，因此径向分量本身不改变 speed；速度大小的改变来自 tangential force component。

Hill and valley apparent weight

凸起顶部：

$$mg-N=m\frac{v^2}{r}$$

凹谷底部：

$$N-mg=m\frac{v^2}{r}$$

所以山顶 scale reading 变小，谷底变大。

5. Universal Gravitation / 万有引力

两点质量之间：

$$\boxed{F_g=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}}$$

$r$ 是 center-to-center distance。球对称天体外部可等效为质量集中在中心：

$$\boxed{g(r)=\frac{GM}{r^2}}$$

质量是物体的惯性/引力属性；weight 是所处引力场中的力 $W=mg$，会随位置变化。

6. Shell Theorem / 壳层定理

对 spherically symmetric mass distribution：

• uniform spherical shell 外部等效为中心点质量；
• shell 内部引力场为零；
• uniform solid sphere 内部只有半径 $r$ 内的 enclosed mass 贡献净场。

均匀实心球内：

$$M_{\text{enc}}=M\frac{r^3}{R^3}$$ $$g(r)=\frac{G{M}_{\text{enc}}}{r^2}=\frac{GM}{R^3}r$$

因此 $g$ 从中心线性增至表面，随后在外部按 $1/r^2$ 下降。

7. Center of Mass / 质心

离散系统：

$$\boxed{{\vec{r}}_{\text{CM}}=\frac{{\sum }_i{m}_i{\vec{r}}_i}{{\sum }_i{m}_i}}$$

连续分布：

$$\boxed{{\vec{r}}_{\text{CM}}=\frac{1}{M}\int \vec{r}dm}$$

根据几何选取：

$$dm=\lambda ,dl,dm=\sigma ,dA,dm=\rho ,dV$$

对两个质量，质心把连线按反质量比分割：

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}$$

质心更靠近大质量；均匀对称物体的质心在对称中心或轴上。详见 Center of Mass。

8. From Dynamics to Energy / 从力进入能量

Unit 2 主要问：哪些 forces 产生 acceleration？

Unit 3 改问：这些 interactions 如何转移或储存 energy？

课程先列出：

• kinetic energy；
• gravitational potential energy；
• elastic potential energy；
• thermal/internal energy。

下一课会把 force 沿 displacement 的累积定义为 Work，再建立 Work-Energy Theorem 与 Mechanical Energy Conservation。

9. Deep Phrases / 深层表达

• The inward direction changes from point to point, so the radial equation must be rebuilt at each position.
• A centripetal requirement is an equation for the net radial force, not a new interaction.
• The center of mass is a mass-weighted position, not necessarily a point occupied by material.
• Inside a uniform solid sphere, enclosed mass grows faster than the inverse-square denominator shrinks.

10. Error Checklist / 易错清单

• 圆周题始终固定用纸面某方向作 radial positive；
• 顶点把 $mg$ 与 $N$ 错写成相减；
• 计算 surface altitude 时把 $h$ 直接代成 $r$，忘记 $r=R+h$；
• 把 shell theorem 套给非球对称分布；
• 连续体质心积分时忘记先写 $dm$。

Connected Notes / 连接

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