AP物理C力学第6次正课 - 功功率势能与机械能守恒

Reading Guide / 阅读说明

动力学从瞬时 force 求 acceleration；能量法把 force 沿一段 displacement 的影响累积起来。整节课的真正中心不是背公式，而是先选 System Boundary，再判断 energy 是在系统内部转换，还是穿过边界传递。

一句话主线

Work transfers energy across a system boundary, while conservative interactions store recoverable energy as potential energy.

1. Work as Energy Transfer / 功是能量传递

恒力作用下：

$$\boxed{W=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}=F\Delta r\cos \theta }$$

• $W>0$: force component supports the displacement；
• $W<0$: force component opposes the displacement；
• $W=0$: force is perpendicular to displacement or there is no displacement。

功属于 force-object interaction over a displacement，不是物体“拥有”的状态量。

总功可以逐力相加，也可以由 net force 直接计算：

$$W_{\text{net}}=\sum _i{W}_i$$

2. Variable Force / 变力做功

一维：

$$\boxed{W={\int }_{x_i}^{x_f}{F}_x(x)dx}$$

多维：

$$W={\int }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}$$

所以 $F_x$-$x$ graph 下的 signed area 是 work，连接 Integrals 与 Signed Area。

弹簧力 $F_s=-kx$ 的功：

$$\boxed{W_s=-\frac{1}{2}k(x_f^2-x_i^2)}$$

3. Power / 功率

平均功率：

$$P_{\text{avg}}=\frac{W}{\Delta t}=\frac{\Delta E}{\Delta t}$$

瞬时功率：

$$\boxed{P=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v}}$$

power 衡量能量传递速度，不是总能量大小。见 Power。

4. Kinetic Energy and the Work-Energy Theorem / 动能与功能定理

$$K=\frac{1}{2}m{v}^2$$

对单个质点或质量不变物体：

$$\boxed{W_{\text{net}}=\Delta K}$$

推导来自：

$$W_{\text{net}}=\int F_x,dx=\int madx=\int mvdv$$ $$=\frac{1}{2}m{v}_f^2-\frac{1}{2}m{v}_i^2$$

这就是 Work-Energy Theorem：net work 改变 kinetic energy。

5. Conservative Forces and Potential Energy / 保守力与势能

conservative force 的 work：

• path independent；
• closed-loop work is zero；
• 可定义 potential energy。

$$\boxed{W_{\text{cons}}=-\Delta U}$$

一维关系：

$$\boxed{F_x=-\frac{dU}{dx}}$$

近地面重力势能：

$$U_g=mgy$$

零点可任意选，但 $\Delta U$ 的物理预测不变。

6. Universal Gravitational Potential Energy / 万有引力势能

把 $U(\infty )=0$：

$$\boxed{U_g(r)=-\frac{GMm}{r}}$$

所有有限 $r$ 的两体引力势能都为负，表示要把束缚系统分离到无穷远必须输入能量。

多物体系统应对每一对质量求和：

$$U_g=-G\sum _{i<j}\frac{m_i{m}_j}{r_{ij}}$$

每一对只计一次。

7. Elastic Potential Energy / 弹性势能

$$\boxed{U_s=\frac{1}{2}k{x}^2}$$

因此：

$$\Delta U_s=\frac{1}{2}k(x_f^2-x_i^2)$$

不要误写成 $\frac{1}{2}k(\Delta x{)}^2$。势能取决于 initial/final deformation 的平方差。

8. Mechanical Energy Conservation / 机械能守恒

定义：

$$E_{\text{mech}}=K+U$$

若选定系统后，没有未计入的 nonconservative energy transfer 穿过边界，内部相关作用可由 potential energy 表示，则：

$$\boxed{K_i+U_i=K_f+U_f}$$

这不是说“任何情况下机械能都守恒”，而是说系统边界与能量项选择完整时，总能量守恒；mechanical energy 可能转为 thermal/internal energy。

滑动摩擦的常见记账：

$$\Delta E_{\text{th}}=f_k{d}_{\text{relative}}$$

于是可写：

$$K_i+U_i+W_{\text{ext}}=K_f+U_f+\Delta E_{\text{th}}$$

具体符号取决于你如何定义 system 与 transfer term，不能同时把同一摩擦效应算两次。

9. Potential-Energy Curves / 势能曲线

给定 total energy $E$：

$$K(x)=E-U(x)\ge 0$$

• allowed region: $U(x)\le E$；
• turning point: $U(x)=E$，瞬时 $v=0$；
• force direction/magnitude: $F_x=-dU/dx$；
• stable equilibrium: local minimum of $U$；
• unstable equilibrium: local maximum of $U$。

注意 turning point 不必是 equilibrium：若 $dU/dx\ne 0$，物体会立即反向加速。见 Potential Energy Curves。

10. Energy Bar Charts / 能量条形图

先圈定系统，再列初末状态：

1. choose zero levels；
2. identify $K,U_g,U_s,E_{th}$；
3. mark external transfer；
4. ensure the total bookkeeping balances。

图表不是答案装饰，而是防止漏项和重复记账。

11. Deep Phrases / 深层表达

• Work is the accumulation of the force component along the displacement.
• Potential energy belongs to a system of interacting objects, not to one isolated object.
• Conservation of energy is universal; conservation of mechanical energy is conditional.
• The slope of a potential-energy curve gives the negative force.

12. Error Checklist / 易错清单

• 用 total force magnitude 乘 displacement，忘记 dot product；
• 把 $F$-$t$ graph 面积当 work；
• 把 normal force 一律判定为 zero work；
• 机械能方程中重复加入 friction work 与 thermal energy；
• 势能曲线 turning point 与 equilibrium 混为一谈。

Connected Notes / 连接

• Previous: AP物理C力学第5次正课-圆周运动万有引力与质心
• Next: AP物理C力学第7次正课-能量综合势能曲线与动量入门
• Concepts: Work / Power / Work-Energy Theorem / Conservative Forces and Potential Energy / Mechanical Energy Conservation / Potential Energy Curves