AP物理C力学第8次正课 - 冲量、动量守恒与碰撞

Reading Guide / 阅读说明

上一课用 $\vec{p}=m\vec{v}$ 打开 Unit 4；这节课把“力改变动量”沿时间累积成 Impulse，再从系统外冲量为零推出 Conservation of Linear Momentum。后半将它用于粘连、爆炸、二维斜碰、质心运动和弹性/非弹性碰撞。

一句话主线

Impulse changes momentum; if the net external impulse on a chosen system is zero, internal interactions can redistribute momentum but cannot change its total.

1. Momentum Change and Average Force / 动量变化与平均力

$$\Delta \vec{p}={\vec{p}}_f-{\vec{p}}_i=m{\vec{v}}_f-m{\vec{v}}_i$$

方向必须先统一。若小球反弹，${\vec{v}}_i$ 与 ${\vec{v}}_f$ 异号，因此 $|\Delta p|$ 是两个 speed contribution 的和，而不是差。

$${\vec{F}}_{\text{avg}}=\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$

在 $p$-$t$ graph 中，secant slope 是 average net force，tangent slope 是 instantaneous net force。

2. Impulse and the Impulse-Momentum Theorem / 冲量定理

$$\boxed{\vec{J}={\int }_{t_i}^{t_f}{\vec{F}}_{\text{net}},dt=\Delta \vec{p}}$$

恒力时 $\vec{J}=\vec{F}\Delta t$。在 $F$-$t$ graph 中，signed area 是 impulse；等面积矩形的高度就是 average force。

The area under a force-time graph is impulse, and impulse equals the change in momentum.

同样的 $\Delta p$ 若分摊到更长碰撞时间，average force 更小，这解释了缓冲垫、安全气囊和屈膝落地。

3. Variable Mass Warning / 变质量系统

更一般地：

$$\sum {\vec{F}}_{\text{ext}}=\frac{d\vec{p}}{dt}=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{v}\frac{dm}{dt}$$

不能在 $m$ 变化时无条件写成 $m\vec{a}$；同时必须明确质量进出系统时速度相对于哪个 frame 定义。

4. Conservation of Linear Momentum / 线动量守恒

对指定系统：

$$\Delta {\vec{P}}_{\text{system}}={\vec{J}}_{\text{ext}}$$

若研究时间内：

$${\vec{J}}_{\text{ext}}=0$$

则：

$$\boxed{{\vec{P}}_i={\vec{P}}_f}$$

真正条件是 external impulse negligible，不是“系统里没有力”。碰撞内力很大，但由第三定律成对交换动量，不改变系统总动量。

5. One-Dimensional Models / 一维模型

一般形式：

$$m_1{v}_{1i}+m_2{v}_{2i}=m_1{v}_{1f}+m_2{v}_{2f}$$

完全非弹性、碰后粘在一起：

$$\boxed{v_f=\frac{m_1{v}_{1i}+m_2{v}_{2i}}{m_1+m_2}}$$

若系统初始静止后分离：

$$m_1{\vec{v}}_{1f}+m_2{\vec{v}}_{2f}=0$$

两者动量等大反向，speed 与质量成反比。

Every velocity in one momentum equation must be measured in the same inertial reference frame.

6. Two-Dimensional Collision / 二维斜碰

动量守恒是 vector equation，因此分别列分量：

$$\sum p_{x,i}=\sum p_{x,f},\sum p_{y,i}=\sum p_{y,f}$$

若初始 $y$ 方向总动量为零，碰后各物体的 $y$ momentum components 必须互相抵消。不要把二维动量大小直接代入一维标量方程。

7. Center-of-Mass Motion / 质心运动

$${\vec{v}}_{CM}=\frac{\sum m_i{\vec{v}}_i}{M}=\frac{\vec{P}}{M}$$ $$\boxed{\sum {\vec{F}}_{ext}=M{\vec{a}}_{CM}}$$

若 external force 为零，质心保持匀速，即使系统内部发生投掷、接住、爆炸或碰撞。单个物体的动量可变，系统质心运动不变。

8. Elastic and Inelastic Collisions / 弹性与非弹性碰撞

• elastic collision：momentum 与 kinetic energy 都守恒；
• inelastic collision：momentum 守恒，但 kinetic energy 减少并转为内能、声能或形变能；
• perfectly inelastic collision：碰后粘连，在给定初态下 kinetic-energy loss 最大。

一维弹性碰撞还满足：

$$\boxed{v_{1i}-v_{2i}=v_{2f}-v_{1f}}$$

即 speed of approach = speed of separation。等质量一维弹性碰撞交换速度。

9. Problem-Solving Order / 解题顺序

1. define the system and collision interval；
2. test external impulse；
3. choose axes and one inertial frame；
4. conserve momentum by component；
5. only if elastic, add kinetic-energy conservation；
6. check signs, units, and whether objects stick or separate。

10. Deep Phrases / 深层表达

• Internal forces redistribute momentum; external impulse changes total momentum.
• Momentum conservation is a system statement, not an individual-object statement.
• Kinetic energy may be transformed even when momentum is conserved.
• The center of mass moves as if the system’s total mass were concentrated there and acted on by the net external force.

11. Error Checklist / 易错清单

• 反弹时只减 speed magnitudes；
• 把 $F$-$t$ slope 当 impulse；
• 不同 reference frames 的 velocity 混在一个方程；
• 看到碰撞就默认 kinetic energy 守恒；
• 对单个物体宣称 momentum conserved，却忽略另一物体的 impulse。

Connected Notes / 连接

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