AP物理C力学第9次正课 - 转动运动学、力矩与转动惯量

Reading Guide / 阅读说明

课堂先用“人在无摩擦板上行走”复查同一参考系，再进入 rotation。核心方法是把平动量逐一映射为转动量，而不是另背一套散乱公式。

一句话主线

Rotation mirrors translation: angular position, angular velocity, angular acceleration, torque, and rotational inertia play parallel roles to $x,v,a,F,$ and $m$.

1. Rigid Body and Rotation / 刚体模型

刚体在理想模型中形状和各点间距离不变。translation 中物体上任意连线保持平行；rotation 中物体绕 axis 改变 orientation。

角量依赖 reference line 和转轴：同一物体换 axis，angular description 与 rotational inertia 都可能改变。

2. Angular Kinematics / 转动运动学

$$\Delta \theta ={\theta }_f-{\theta }_i,\omega =\frac{d\theta }{dt},\alpha =\frac{d\omega }{dt}$$

课堂约定 counterclockwise positive、clockwise negative。$\omega$ 与 $\alpha$ 同号时 angular speed 增大，异号时减小；不能只看 $\alpha$ 正负。

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$$

3. Constant Angular Acceleration / 匀角加速度

与匀加速直线运动逐项对应：

$${\omega }_f={\omega }_i+\alpha t$$ $$\Delta \theta ={\omega }_{i}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$$ $${\omega }_f^2=omeg{a}_i^2+2\alpha \Delta \theta$$ $$\Delta \theta =\frac{{\omega }_i+{\omega }_f}{2}t$$

这些只在 $\alpha$ constant 时成立；一般情形回到 derivative/integral definitions。

4. Angular and Linear Quantities / 角量与线量

$$s=r\theta ,v_t=r\omega ,a_t=r\alpha ,a_r=r{\omega }^2=\frac{v_t^2}{r}$$

同一刚体上的各点有相同 $\theta ,\omega ,\alpha$，但离轴越远，$v_t$ 与 $a_t$ 越大。

5. Torque / 力矩

$$\boxed{\vec{\tau }=\vec{r}\times \vec{F}}$$

大小：

$$\tau =rF\sin \varphi =F\ell$$

$\ell$ 是 axis 到 force line of action 的 perpendicular distance。穿过转轴的作用线有 $\ell =0$，故 torque 为零，即使 force 本身不为零。

Torque measures the turning effect of a force about a chosen axis.

6. Translational and Rotational Equilibrium / 平动与转动平衡

完整静力平衡必须同时满足：

$$\sum \vec{F}=0,\sum \tau =0$$

前者保证 ${\vec{a}}_{CM}=0$，后者保证 $\alpha =0$。合力为零不保证合力矩为零，反之亦然。

选 pivot 的技巧：把未知支点力的作用点选为转轴，使其 moment arm 为零，从 torque equation 中消去，再用 force balance 求剩余分量。

7. Rotational Inertia / 转动惯量

转动惯量描述质量相对转轴的分布：

$$\boxed{I=\sum _i{m}_i{r}_i^2}$$

连续体：

$$\boxed{I=\int r^2,dm}$$

它对应平动中的 mass，但不仅取决于总质量，还取决于 axis 与 mass distribution。质量离轴越远，$I$ 越大。

对线密度 $\lambda$：$dm=\lambda ,dx$。均匀细杆绕端点：

$$I={\int }_0^L{x}^2\frac{M}{L},dx=\frac{1}{3}M{L}^2$$

非均匀分布必须保留 $\lambda (x)$ 在积分内。

8. Parallel-Axis Theorem / 平行轴定理

若新轴与过质心轴平行，相距 $d$：

$$\boxed{I=I_{CM}+M{d}^2}$$

对一组平行轴，过质心的轴给出最小 rotational inertia。

9. Deep Phrases / 深层表达

• The same angular velocity does not imply the same tangential speed.
• A force can be nonzero yet produce zero torque about a particular axis.
• Rotational inertia depends on both mass distribution and axis choice.
• Static equilibrium requires both translational and rotational equilibrium.

10. Error Checklist / 易错清单

• degrees 未换 radians 就代入 $s=r\theta$；
• 把 $\alpha >0$ 直接解释为转得更快；
• moment arm 取成到作用点的距离，而非到作用线的垂距；
• 忘记 torque 的正负方向；
• 查表中的 $I$ 与题目 axis 不一致。

Connected Notes / 连接

• Previous: AP物理C力学第8次正课-冲量动量守恒与碰撞
• Next: AP物理C力学第10次正课-转动能量角动量与守恒
• Concepts: Rotational Kinematics / Torque / Rotational Equilibrium / Rotational Inertia / Parallel-Axis Theorem