Linear Approximation

Core Sentence / 核心句

Linear approximation uses the tangent line at a known point as the best first-order model for nearby function values.

中文理解：在已知点附近，用函数的切线代替曲线，得到最好的局部一阶近似。

Formula / 公式

$$L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a).$$

For $x$ near $a$:

$$f(x)\approx L(x).$$

Meaning / 含义

$$\text{new output}\approx \text{known output}+\text{local slope}\times \text{input change}.$$

When To Use / 什么时候用

已知 $f(a)$、$f^{\prime }(a)$，要求 nearby $f(x)$ 的 estimate、differential approximation 或 tangent-line model。

Watch Out / 易错点

• target input 越远离 $a$，误差通常越不可控。
• approximation 不是自动的 exact bound。
• $f^{\prime }(a)$ 必须在 base point $a$ 计算。
• 若要证明全区间 bound，通常需要 Mean Value Theorem 或更强信息。

Search and Source Mentions / 搜索与出现位置

Mentioned In / 出现位置

• 微积分BC第5次正课 · Linear Approximation
  • tangent slope turns a small input change into a first-order output estimate

Connected Notes / 连接

• 微积分BC第5次正课-相关变化率线性近似与中值定理
• Tangent Line
• Derivatives
• Tiny Nudges
• Mean Value Theorem
• 12 - The Other Way to Visualize Derivatives