微积分BC第10次正课 - 累积函数与微分方程

Reading Guide / 阅读说明

本课从 微积分BC第9次正课-积分方法与反常积分 之后继续。开头用 accumulation function 把 FTC、单调性和凹凸性串成综合题，随后正式进入 Differential Equations：不只追求显式公式，而是学习怎样读出、近似并求解一条变化规律。

accumulated total G(x)
-> G'(x) reveals the incoming rate f(x)
-> G''(x) reveals how that rate changes
 
change law dy/dx = F(x,y)
-> verify / visualize / approximate / solve
-> interpret the resulting model

1. One-Sentence Mainline / 一句话主线

Calculus moves in both directions: an integral accumulates a rate into a total, while a differential equation starts from a rate law and asks what trajectories can obey it.

微积分可以双向工作：积分把变化率累积成总量；微分方程则从变化率规律出发，寻找符合它的函数轨迹。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 用 $G(x)={\int }_1^{x}f(t)dt$ 复习函数值、导数与二阶导数。
2. 认识 differential equation 与 solution verification。
3. 从局部斜率建立 Slope Fields，并画 through an initial point 的 solution curve。
4. 把 Linear Approximation 重复多次，得到 Euler Method。
5. 用 Separation of Variables 求 separable equations，并由初始条件选定常数与分支。
6. 认识 exponential growth/decay 与 Logistic Growth。

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Part A - Accumulation Function Synthesis

3. One Function, Three Levels of Information

若

$$G(x)={\int }_1^{x}f(t)dt,$$

那么先区分三个层次：

$$G(x)=\text{从 }1\text{ 到 }x\text{ 的 signed accumulation},$$ $$G^{\prime }(x)=f(x),$$ $$G^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x).$$

因此：

问题	真正要看什么
$G(c)$	从 $1$ 到 $c$ 的 signed area
$G$ increasing/decreasing	$G^{\prime }=f$ 的正负
$G$ local max/min	$f$ 是否换号
$G$ concave up/down	$G^{\prime \prime }=f^{\prime }$ 的正负，即 $f$ 自身升降
$G$ inflection point	$f^{\prime }$ 是否换号，即 $f$ 是否在此有 local extremum

Do not answer a question about $G$ by staring at the height of $f$ alone; first translate the requested feature into the correct derivative level.

题目问 $G$ 时，不能只看 $f$ 的高度；先把问题翻译成 $G^{\prime }$ 或 $G^{\prime \prime }$，再读图。

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Part B - What a Differential Equation Gives You

4. A Rule for Change, Not Yet the Function

微分方程通常写成

$$\frac{dy}{dx}=F(x,y).$$

它告诉我们：曲线经过 $(x,y)$ 时，切线斜率必须等于 $F(x,y)$。它未必直接给出 $y=f(x)$。

同一个微分方程通常有一族 solutions；Initial Conditions 如 $y(x_0)=y_0$ 才选出其中一条。

5. Tool 1: Verify a Proposed Solution

若题目声称 $y=g(x)$ 是 solution：

1. 求 $g^{\prime }(x)$。
2. 把 $y=g(x)$ 代入 differential equation 的右侧。
3. 检查两边是否恒等。
4. 若有 initial condition，再检查指定点。

Verification is substitution after differentiation, not visual similarity.

验证解的核心是“求导后代回恒等”，不是看图像像不像。

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Part C - Slope Fields

6. A Slope Field Is a Map of Local Instructions

对每个 point $(x,y)$，计算 $F(x,y)$，画一小段具有该 slope 的线。所有小线段组成 Slope Fields。

它像一张“局部方向地图”：每一小段不等于整条 solution，但 solution curve 必须在经过该点时顺着这个方向。

7. Three Recognition Methods

Method 1: Substitute strategic points

挑斜率场中特征明显的点，代入候选 $F(x,y)$：

• horizontal segment $RightarrowF(x,y)=0$；
• positive/negative steepness 可排除符号不对的选项；
• 不必把每个格点都算完。

Method 2: Find zero-slope lines

例如

$$\frac{dy}{dx}=(x-1)(y+1).$$

当 $x=1$ 或 $y=-1$ 时，整条直线上的斜率都是 $0$。因此 slope field 中应出现一条竖直的 horizontal-segment band 和一条水平的 horizontal-segment band。

Method 3: Detect dependence

• 若 $F=F(x)$：同一竖直列的 slopes 相同。
• 若 $F=F(y)$：同一水平行的 slopes 相同。
• 若同时依赖 $x,y$：通常行列都会变化。

8. Sketching a Solution Curve

已知 curve 经过 $(x_0,y_0)$：

1. 从 initial point 起笔。
2. 保持曲线 tangent to nearby segments。
3. 平滑连接，不逐格画折线。
4. 不要让曲线穿越时违背局部 slope。

Slope field 给 qualitative trajectory，不承诺精确函数值。

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Part D - Euler’s Method

9. Repeated Local Linearization

Euler Method 是反复使用 tangent-line approximation：

$$y_{n+1}=y_n+hF(x_n,y_n),x_{n+1}=x_n+h.$$

其中 $h$ 是 step size。每一步的逻辑都是：

$$\text{new value}\approx \text{old value}+\text{current slope}\times \text{step}.$$

Classroom table example

从 $x=1$ 到 $x=2$，$h=0.5$，若

$$f(1)=4,f^{\prime }(1)=0.2,f^{\prime }(1.5)=0.5,$$

则

$$f(1.5)\approx 4+0.2(0.5)=4.1,$$ $$f(2)\approx 4.1+0.5(0.5)=\boxed{4.35}.$$

Accuracy idea

较小 step 往往更准确，因为每段曲线更接近自己的 tangent line；但误差会逐步传递，所以“步数多”不是 exact 的保证。

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Part E - Separation of Variables

10. The Four-Step Pattern

若能写成

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y),$$

则使用 Separation of Variables：

1. 把所有 $y$ 与 $dy$ 放一侧，$x$ 与 $dx$ 放另一侧。
2. 两边积分。
3. 用 initial condition 求 $C$。
4. 解出 $y$，并用初值选择正确 branch/domain。

Example 1: logarithmic separation

$$\frac{dy}{dx}=(y-2)(x^2+1),y(0)=5.$$

分离并积分：

$$\frac{dy}{y-2}=(x^2+1)dx,$$ $$\ln |y-2|=\frac{x^3}{3}+x+C.$$

代入 $y(0)=5$：$C=\ln 3$。由于初值给出 $y-2>0$，选正 branch：

$$\boxed{y=2+3e^{x^3/3+x}}.$$

这里的绝对值不是可以随意删掉，而是由 initial condition 决定符号。

Example 2: choose the square-root branch

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x+1}{y},y(0)=-2.$$ $$ydy=(x+1)dx,$$ $$\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+x+C.$$

由初值求得 $C=2$，所以

$$y^2=x^2+2x+4.$$

初值为负，故

$$\boxed{y=-\sqrt{x^2+2x+4}}.$$

An initial condition does more than find $C$; it can select a branch of the solution.

初始条件不仅用来求积分常数，还可能决定正负分支。

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Part F - Growth Models

11. Exponential Growth and Decay

若 rate proportional to the current amount：

$$\frac{dy}{dt}=ky,$$

则

$$y=y_0{e}^{kt}.$$

• $k>0$：growth；
• $k<0$：decay。

课堂例中 $y(0)=120$、$y^{\prime }(0)=24$：

$$24=k(120)\Rightarrow k=\frac{1}{5},$$

所以

$$\boxed{y=120e^{t/5}}.$$

12. Logistic Growth Adds a Capacity Limit

$$\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right).$$

$K$ 是 carrying capacity：

• $0<P<K$ 时增长；
• $P$ 接近 $K$ 时，$1-P/K$ 接近 $0$，增长变慢；
• $P=K/2$ 时 growth rate 最大，solution curve 在此换 concavity；
• 长期趋势通常为 ${\lim }_{t\to \infty }P(t)=K$。

若写成 $kP(K-P)$，carrying capacity 仍是 $K$；前面的常数只改变时间尺度。

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13. Decision Map / 方法选择

Given a proposed y(x)?
  -> differentiate and substitute to verify
 
Given a slope field?
  -> test points / zero-slope lines / x-or-y dependence
 
Need a numerical value from an initial point?
  -> Euler Method
 
Can dy/dx be factored into x-part times y-part?
  -> Separation of Variables
 
Rate proportional to amount?
  -> Exponential model
 
Rate proportional to amount and remaining capacity?
  -> Logistic model

14. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文记忆
A differential equation specifies a local rule for change.	微分方程先规定每一点如何变化。
A slope field turns the differential equation into a visible direction map.	斜率场把变化规律变成可见的方向地图。
Euler’s method repeatedly follows the current tangent line.	欧拉法不断沿当前切线走一小步。
Separate variables before integrating.	先把 $x$ 与 $y$ 分家，再两边积分。
The initial condition selects the relevant solution.	初始条件从解族中选出真正那条解。
Logistic growth is self-limiting growth.	Logistic 是受承载力限制的增长。

15. Video Companion / 搭配视频

• 看 01 - Differential Equations, a Tourist’s Guide 时，把 vector field 的“每一点给一个变化方向”对应到本课 slope field。
• 视频强调 analytic formula 不是唯一理解方式；本课的 slope field 与 Euler method 正好分别给 qualitative 与 numerical understanding。
• 当视频出现初始状态时，对应本课的 Initial Conditions：law 相同，起点不同，trajectory 可以不同。

16. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

• 微积分BC第9次正课-积分方法与反常积分 提供本课 separation 中所需的 antiderivative 技能。
• Fundamental Theorem of Calculus 解释 $G^{\prime }(x)=f(x)$，也是本课从 accumulation 转向 rate law 的桥。
• Linear Approximation 是 Euler Method 的单步版本。
• Vector Field 与 Slope Fields 都把局部变化规律几何化。
• Differential Equations 连接到 RC Circuits 和 Electromagnetic Damping：物理定律也常先给 rate law，再求系统演化。
• 下一课 微积分BC第11次正课-积分应用与截面体积 先收束 Logistic model，再转向积分应用。

17. Confusion / Questions

1. 为什么 slope field 中通过同一点的 solution 方向不能随意选？
2. Euler method 的误差为什么可能逐步累积？
3. 分离变量时除以 $h(y)$ 会不会丢掉 equilibrium solution？
4. 为什么 initial condition 能决定平方根的正负 branch？
5. Logistic curve 为什么在 $P=K/2$ 处增长最快？

18. After-Class Compression / 看完压缩版

G = accumulated total, G' = incoming rate, G'' = change of rate.
 
Differential equations:
verify -> slope field -> Euler approximation -> separation.
 
Exponential: y' = ky.
Logistic: P' = kP(1-P/K), maximum growth at K/2, limit K.

19. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• 微积分BC第9次正课-积分方法与反常积分
• 微积分BC第11次正课-积分应用与截面体积
• Differential Equations
• Slope Fields
• Euler Method
• Separation of Variables
• Logistic Growth
• Initial Conditions
• Linear Approximation
• Vector Field
• Fundamental Theorem of Calculus
• 01 - Differential Equations, a Tourist’s Guide
• RC Circuits
• Electromagnetic Damping