微积分BC第5次正课 - 相关变化率、线性近似与中值定理

Reading Guide / 阅读说明

本课直接承接 微积分BC第4次正课-反函数高阶导数与运动应用 最后的 related-rates preview，完成 Unit 4，再开启 Unit 5：

related rates
  relation -> differentiate with respect to time -> substitute
  cone / angle / ladder / multiple variables
 
linear approximation
  tangent line -> nearby function estimate
 
L'Hopital's Rule
  identify indeterminate form -> differentiate numerator and denominator
 
Mean Value Theorem
  continuity + differentiability
  -> some tangent slope equals the secant slope

本笔记以课堂 transcript 为主线，删除考试频率、选项统计与课堂管理话术；涉及 geometry、limit 和 theorem hypotheses 的地方均重新验算。

Reading Rule / 读法约定

• related rates 永远先问“哪些 quantities 正在变化”。
• linear approximation 先找 base point，再看目标是否足够 nearby。
• L’Hôpital’s Rule 必须先确认 indeterminate form，不可见 ratio 就直接上下求导。
• theorem 不只记结论，还必须记 hypotheses。
• 3Blue1Brown 只读取相关笔记的 Wiki connection sections，没有重读完整正文。

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1. One-Sentence Mainline / 一句话主线

Derivatives connect changing quantities through time, approximate nearby values through tangent lines, resolve eligible indeterminate ratios through derivative comparison, and guarantee tangent behavior through theorem hypotheses.

导数可以用共同时间连接多个变化量，用切线近似附近函数值，用导数比处理符合条件的未定式，并在定理前提成立时保证某种切线行为必然出现。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 回顾 related rates 的三步。
2. 从已给关系的水面面积题开始。
3. 用 similar triangles 消去圆锥中的多余变量。
4. 用 trigonometric relation 处理 camera angle 与 ladder angle。
5. 处理 multiple-variable related rates。
6. 用 Tangent Line 引出 Linear Approximation。
7. 从切线方程写出 $L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$。
8. 用 L’Hôpital’s Rule 回到 indeterminate limits。
9. 反复应用 L’Hôpital，并比较 logarithm、power、exponential growth。
10. 用 Mean Value Theorem 开启 Unit 5。
11. 对比 Mean Value Theorem 与 Intermediate Value Theorem。

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Part A - Related Rates / 相关变化率

3. What Related Rates Really Does / 相关变化率到底连接什么

若多个量共享同一个 time input：

$$x=x(t),y=y(t),$$

则

$$\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}$$

分别描述它们的 instantaneous time rates。

Related Rates 用一个始终成立的 constraint 把这些 rates 连接起来。

Do not relate the rates first; relate the quantities first, then differentiate the relationship with respect to time.

不要先拼变化率；先连接原始变量，再对时间求导。

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4. The Reliable Routine / 稳定三步法

Step 1: Write an always-true relation / 写始终成立的关系

只保留题目需要连接的 variables。若关系中有多余变量，先用 geometry 或 algebra 消去。

Step 2: Differentiate with respect to time / 对时间求导

每个 changing quantity 都是 time 的函数：

$$\frac{d}{dt}(x^n)=n{x}^{n-1}\frac{dx}{dt}.$$

这就是 Chain Rule。

Step 3: Substitute the instant / 最后代入瞬时值

先求导，再代入：

$$x=x_0,y=y_0,\frac{dx}{dt}=r.$$

最后解目标 rate，并保留 sign 与 units。

identify quantities and rates
-> write one always-true relation
-> eliminate unnecessary variables
-> differentiate with respect to t
-> substitute the instant
-> solve and interpret sign/units

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5. Surface-Area Example / 水面面积题

半球形容器内水面的 area 与 depth 满足

$$A=12\pi h-\pi h^2.$$

当

$$h=3,\frac{dh}{dt}=-\frac{1}{2},$$

求 $\frac{dA}{dt}$。

对时间求导：

$$\frac{dA}{dt}=12\pi \frac{dh}{dt}-2\pi h\frac{dh}{dt}.$$

代值：

$$\frac{dA}{dt}=12\pi \left(-\frac{1}{2}\right)-2\pi (3)\left(-\frac{1}{2}\right)=-6\pi +3\pi .$$

所以

$$\boxed{\frac{dA}{dt}=-3\pi }.$$

负号表示 water-surface area 正在减小；若题目只问 decreasing speed 的 magnitude，则回答 $3\pi$。

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6. Cone Example I / 圆锥题一

大圆锥 radius 为 $5$、height 为 $10$。水形成相似小圆锥，水面 radius 为 $x$、depth 为 $y$。

已知

$$\frac{dV}{dt}=9,y=6.$$

求 $\frac{dy}{dt}$。

Find the quantity relation / 找变量关系

圆锥体积：

$$V=\frac{1}{3}\pi x^{2}y.$$

但目标是连接 $V$ 与 $y$，所以必须消去 $x$。由 similar triangles：

$$\frac{x}{y}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},x=\frac{y}{2}.$$

代回：

$$V=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{y}{2}\right)}^{2}y=\frac{\pi }{12}{y}^3.$$

Differentiate and substitute / 求导代值

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi }{4}{y}^2\frac{dy}{dt}.$$ $$9=\frac{\pi }{4}(6{)}^2\frac{dy}{dt}=9\pi \frac{dy}{dt}.$$

所以

$$\boxed{\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\pi }}.$$

Core lesson / 核心

难点不是求导，而是把 $V=\frac{1}{3}\pi x^{2}y$ 改写成只含 $V$ 和 $y$ 的关系。

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7. Cone Example II / 圆锥题二

大圆锥 radius 为 $4$、height 为 $12$。水深为 $h$、水面 radius 为 $r$。

$$\frac{dV}{dt}=6,h=5.$$

由 similar triangles：

$$\frac{r}{h}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},r=\frac{h}{3}.$$

体积：

$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{h}{3}\right)}^{2}h=\frac{\pi }{27}{h}^3.$$

求导：

$$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi }{9}{h}^2\frac{dh}{dt}.$$

代值：

$$6=\frac{\pi }{9}(25)\frac{dh}{dt}.$$

所以

$$\boxed{\frac{dh}{dt}=\frac{54}{25\pi }\approx 0.688}.$$

单位是 length per time，而不是 volume per time。

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8. Geometry Rule: Eliminate Extra Variables / 几何题先消元

若目标是连接

$$\frac{dV}{dt}\text{and}\frac{dh}{dt},$$

但 equation 中还有 $r$，有两种可能：

1. $r$ 与 $h$ 存在永久 relation，可以先消去 $r$；
2. 题目同时给出 $dr/dt$，则保留多变量并用 Product Rule。

不要把“某一瞬间 $r=r_0$”误当成永远成立的 relation。瞬时值只能在求导后代入。

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9. Camera-Angle Example / 相机追踪气球

camera 与 balloon 垂直投影点的水平距离固定为 $200$ m。气球高度为 $x$，elevation angle 为 $\theta$。

已知

$$\frac{dx}{dt}=10\text{ m/s},x=150\text{ m}.$$

Relation

$$\tan \theta =\frac{x}{200}.$$

Differentiate

$${\sec }^2\theta \frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{200}\frac{dx}{dt}.$$

当 $x=150$ 时，三角形边长为 $150$、$200$、$250$，所以

$$\cos \theta =\frac{200}{250}=\frac{4}{5},{\sec }^2\theta ={\left(\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{25}{16}.$$

因此

$$\frac{25}{16}\frac{d\theta }{dt}=\frac{10}{200}=\frac{1}{20}.$$ $$\boxed{\frac{d\theta }{dt}=\frac{4}{125}\text{ rad/s}}.$$

angle rate 使用 radians per time。

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10. Ladder-Angle Example / 梯子角度

长度 $15$ ft 的 ladder 靠墙。竖直高度为 $x$，底端到墙距离为 $y$，与地面夹角为 $\theta$。

梯子向下滑：

$$\frac{dx}{dt}=-2\text{ ft/s}.$$

当

$$y=9,$$

求 $\frac{d\theta }{dt}$。

选择一个永远成立、且只连接 $\theta$ 与 $x$ 的 relation：

$$\sin \theta =\frac{x}{15}.$$

求导：

$$\cos \theta \frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{15}\frac{dx}{dt}.$$

在该瞬间：

$$\cos \theta =\frac{y}{15}=\frac{9}{15}.$$

所以

$$\frac{9}{15}\frac{d\theta }{dt}=\frac{1}{15}(-2),$$ $$\boxed{\frac{d\theta }{dt}=-\frac{2}{9}\text{ rad/s}}.$$

负号表示 acute angle 正在减小。

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11. Multiple-Variable Related Rates / 多变量相关变化率

设

$$w=x^{2}y.$$

已知

$$\frac{dx}{dt}=-1,\frac{dy}{dt}=4,x=6,y=20.$$

因为 $x$ 与 $y$ 都变化，使用 Product Rule：

$$\frac{dw}{dt}=2x\frac{dx}{dt}y+x^2\frac{dy}{dt}.$$

代入：

$$\frac{dw}{dt}=2(6)(-1)(20)+(6{)}^2(4)=-240+144.$$ $$\boxed{\frac{dw}{dt}=-96}.$$

当每个 quantity 和 rate 都给齐时，不必强行消元；直接对完整 relation 求导。

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12. Related-Rates Language Triggers / 文字触发词

Phrase	Mathematical translation
increasing at a rate of $r$	derivative $=+r$
decreasing at a rate of $r$	derivative $=-r$
how fast is the level rising?	find $dh/dt$
how fast is the angle changing?	find $d\theta /dt$
water flows in at $q$ cubic units/min	$dV/dt=q$
at the instant when $h=h_0$	substitute $h_0$ after differentiating

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Part B - Linear Approximation / 线性近似

13. Why a Tangent Line Can Approximate / 为什么切线能近似

在 $x=a$ 附近，differentiable function 看起来越来越像 tangent line：

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a).$$

定义

$$\boxed{L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}.$$

这就是 Linear Approximation，也是 tangent-line approximation。

Start from the known value, then add slope times the small input change.

从已知函数值出发，加上局部斜率乘输入改变量。

known output f(a)
+ local output change f'(a)(x-a)
= nearby estimate L(x)

近似通常在 $x$ 接近 $a$ 时更可靠。

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14. Build the Tangent First / 先写切线

设

$$f(2)=-8$$

且 curve slope 为

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{y}.$$

在 $(2,-8)$：

$$f^{\prime }(2)=\frac{3(2{)}^2}{-8}=-\frac{3}{2}.$$

切线：

$$L(x)=-8-\frac{3}{2}(x-2)=-\frac{3}{2}x-5.$$

用它近似 $f(1.8)$：

$$f(1.8)\approx L(1.8)=-\frac{3}{2}(1.8)-5=\boxed{-7.7}.$$

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15. Direct Linearization Formula / 直接使用公式

若

$$f(1)=15,f^{\prime }(1)=8,$$

则

$$L(x)=15+8(x-1)=8x+7.$$

所以

$$f(1.4)\approx 15+8(1.4-1)=15+3.2=\boxed{18.2}.$$

无需先求 $b$；公式本身就是 point-slope form 的重排。

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16. Approximation Versus a Rigorous Bound / 近似与严格界

课堂有一题给出

$$f(0)=-5,f^{\prime }(x)\le 3,$$

并讨论 $f(2)$ 的最大可能值。

若只使用 linear approximation：

$$f(2)\approx f(0)+f^{\prime }(0)(2-0),$$

这只是 local estimate，不足以单独证明整个区间上的严格 upper bound。

若 $f$ 在 $[0,2]$ continuous、在 $(0,2)$ differentiable，应该使用本课后半的 Mean Value Theorem：

$$f(2)-f(0)=f^{\prime }(c)(2-0)$$

for some $c\in (0,2)$。因为 $f^{\prime }(c)\le 3$：

$$f(2)+5\le 6,$$

所以

$$\boxed{f(2)\le 1}.$$

这是 exact bound，不是 approximation。这个区分对 UBC 后续 calculus 很重要。

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Part C - L’Hopital’s Rule / 洛必达法则

17. The Gate: Indeterminate Form / 使用前先过门槛

L’Hôpital’s Rule 适用于满足 theorem hypotheses 的 indeterminate ratios，课堂重点是：

$$\frac{0}{0}\text{or}\frac{\infty }{\infty }.$$

在适当条件下：

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Mandatory first step / 必须先做

先直接代入或判断趋势：

ordinary finite value -> stop and use it
0/nonzero -> limit is 0
nonzero/0 -> analyze divergence or one-sided behavior
0/0 or infinity/infinity -> L'Hopital may apply

Indeterminate means the form does not decide the answer; it does not mean the limit does not exist.

未定式表示当前形式信息不足，不表示极限不存在。

上下分别求导，不使用 Quotient Rule。

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18. Basic L’Hopital Examples / 基础例题

Example 1

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}.$$

代入得到 $0/0$，所以

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{1}=\boxed{1}.$$

Example 2: Repeat if needed / 可以反复使用

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}.$$

第一次：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{2x},$$

仍是 $0/0$。第二次：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{2}=\boxed{\frac{1}{2}}.$$

每次求导后都要重新检查新 ratio，而不是无条件继续。

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19. Difference-Quotient Example / 导数定义式

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (\frac{\pi }{3}+h)-\sin (\frac{\pi }{3})}{h}.$$

这是 derivative definition，也可在确认 $0/0$ 后使用 L’Hôpital。对 $h$ 求导：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\cos \left(\frac{\pi }{3}+h\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\boxed{\frac{1}{2}}.$$

$\sin (\pi /3)$ 对 $h$ 是 constant，derivative 为 $0$。

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20. Abstract Repeated L’Hopital / 抽象反复求导

考虑

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{(x-2{)}^2},$$

且

$$f(2)=0,f^{\prime }(2)=0,f^{\prime \prime }(2)=5.$$

第一次：

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{2(x-2)},$$

仍为 $0/0$。

第二次：

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2}=\boxed{\frac{5}{2}}.$$

停止条件是新 ratio 已经可以求值。

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21. Growth Comparison at Infinity / 无穷远增长比较

Logarithm versus power

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^{99}}.$$

L’Hôpital 一次：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1/x}{99x^{98}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{99x^{99}}=0.$$

Exponential versus logarithm

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{\ln x}.$$

L’Hôpital：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{1/x}=\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^x=\infty .$$

Power versus exponential

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^{99}}{e^x}.$$

反复使用 99 次后，numerator 成为 $99!$，denominator 仍是 $e^x$：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{99!}{e^x}=0.$$

因此对 $x\to \infty$ 的正向增长：

$$\boxed{\text{exponential}\gg \text{power}\gg \text{logarithm}}.$$

bounded trigonometric functions 不属于同一种“无限增长”层级。

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22. L’Hopital Watch Outs / 洛必达易错点

• 未确认 $0/0$ 或 $\infty /\infty$ 就直接使用。
• 把 numerator/denominator 的 derivative 写成 Quotient Rule。
• 求导一次后忘记保留 limit notation。
• 新 ratio 已可求值却继续求导。
• 新 ratio 仍是 indeterminate form 却过早停止。
• 用 L’Hôpital 循环证明其所依赖的 derivative formula。
• 忘记 one-sided、domain 和 denominator nonzero-nearby 等 theorem conditions。

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Part D - Mean Value Theorem / 中值定理

23. Mean Value Theorem Statement / 中值定理

若 $f$：

1. continuous on the closed interval $[a,b]$；
2. differentiable on the open interval $(a,b)$；

则至少存在一个

$$c\in (a,b)$$

使得

$$\boxed{f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}.$$

右边是 secant slope / average rate of change；左边是 tangent slope / instantaneous rate of change。

Some instantaneous rate inside the interval equals the average rate over the whole interval.

区间内至少有一个瞬时变化率，等于整个区间的平均变化率。

MVT 保证存在，不保证这个 $c$ 唯一。

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24. Geometric Meaning / 几何意义

连接 endpoints $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 得到 secant line。

只要 curve 在 closed interval 上不断裂、在 interior 没有 corner/cusp/vertical tangent，就至少存在一处 tangent line 与该 secant line 平行。

continuous on [a,b]
+ differentiable on (a,b)
-> at least one interior tangent
   parallel to endpoint secant

前提不是附加装饰，而是 theorem 能否调用的 gate。

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25. MVT Example: Find the Guaranteed Slope / 求保证的导数值

设

$$f(x)=2x^3-4x^2+1$$

on $[1,3]$。

$$f(1)=2-4+1=-1,$$ $$f(3)=54-36+1=19.$$

secant slope：

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{19-(-1)}{2}=\boxed{10}.$$

MVT 保证至少有 $c\in (1,3)$ 满足

$$f^{\prime }(c)=10.$$

题目若只问 guaranteed derivative value，无需再解 $c$。

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26. MVT Example: Solve for the Point / 反求 $c$

已知

$$f(1)=9,f(3)=11,$$

且

$$f^{\prime }(x)=\frac{3x^2-6}{x^2}.$$

MVT average slope：

$$\frac{11-9}{3-1}=1.$$

所以求解

$$\frac{3c^2-6}{c^2}=1.$$ $$3c^2-6=c^2,$$ $$2c^2=6,$$ $$c^2=3.$$

因为 $c\in (1,3)$：

$$\boxed{c=\sqrt{3}}.$$

负根不在 interval 内，必须排除。

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27. MVT Versus IVT / 中值定理与介值定理

Intermediate Value Theorem 与 Mean Value Theorem 都是 existence theorems，但保证的对象不同。

Theorem	Hypotheses	Guarantees
IVT	continuous on $[a,b]$	intermediate output value $f(c)$ exists
MVT	continuous on $[a,b]$, differentiable on $(a,b)$	derivative value $f^{\prime }(c)$ equals secant slope

IVT language

若 $L$ 位于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，则存在 $c\in [a,b]$ 使

$$f(c)=L.$$

MVT language

存在 $c\in (a,b)$ 使

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

question asks for an attained function value?
-> think IVT
 
question asks for a derivative matching average change?
-> think MVT

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28. Why Differentiability Matters / 为什么 MVT 必须可导

仅 continuous 不足以调用 MVT。

例如一个 V-shaped graph 可以在 $[a,b]$ continuous，endpoints 具有 horizontal secant slope，但 interior 唯一候选点是 corner，那里 derivative 不存在，也可能没有任何 tangent slope 等于 $0$。

因此：

$$\text{continuous only}⟹\text{IVT may apply},$$

但不能推出

$$\text{MVT applies}.$$

看到 theorem 题，第一步永远是检查 hypotheses，而不是直接套结论。

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29. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文记忆
Related rates connects rates by first connecting the underlying quantities.	相关变化率先连接原变量，再连接变化率。
Differentiate first, then substitute the instant.	先对时间求导，再代某一瞬间。
An instantaneous value is not an always-true relationship.	瞬时数值不能冒充永久关系。
Linear approximation uses the tangent line as the best nearby first-order model.	线性近似用切线作为附近最好的一阶模型。
An approximation is not automatically a rigorous bound.	近似值不能自动当成严格上下界。
Indeterminate means insufficient information, not nonexistence.	未定式表示信息不足，不等于极限不存在。
L’Hopital compares numerator and denominator derivatives only after the form is eligible.	洛必达只在形式符合条件后比较分子分母导数。
MVT equates one instantaneous rate with the interval’s average rate.	MVT 保证某一瞬时变化率等于区间平均变化率。
A theorem’s hypotheses are part of the theorem.	定理前提就是定理本身的一部分。

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30. Fidelity Notes and Corrections / 原稿校正

1. transcript 中 related rate 多次被识别成 release rate；统一为 Related Rates。

2. 第一个 cone relation 校正为

   $$V=\frac{\pi }{12}{y}^3,$$

   得到 $dy/dt=1/\pi$。

3. camera 题的固定水平距离按课堂图与后续 $3$-$4$-$5$ triangle 还原为 $200$ m，得到 $d\theta /dt=4/125$ rad/s。

4. ladder 中 $y=9$ 只是瞬时值；永久 relation 使用 $\sin \theta =x/15$。

5. linearization 第二例 transcript 一度说成 $y=2x+7$；由 slope $8$ 应为

   $$L(x)=8x+7.$$

6. $f^{\prime }(x)\le 3$ 推出 $f(2)\le 1$ 的严格依据是 MVT，而不是把 linear approximation 当作 exact equality。

7. L’Hôpital 不是“所有极限的无条件终极方法”；必须先确认适用的 indeterminate form 和 theorem hypotheses。

8. growth hierarchy 限定为 $x\to +\infty$ 的正向增长；bounded $\sin x$ 不与 logarithm/power 作同类无限增长排序。

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31. Video Companion / 搭配课堂录像

Approx. time	Topic	What to watch for
00:42-05:35	Related Rates review	relation → $d/dt$ → substitute
06:14-14:44	Surface area	读出 $dh/dt$ 的负号
14:44-33:40	Cone models	similar triangles 消去 radius
33:40-48:57	Angle models	tangent / sine relations 与 radians
48:57-52:40	Multiple variables	Product Rule with multiple rates
53:08-01:15:54	Linear Approximation	tangent model 与 direct formula
01:15:54-01:38:04	L’Hôpital’s Rule	先判形式、必要时反复使用
01:38:04-01:40:31	Unit 4 wrap	five application branches
01:40:31-01:52:33	Mean Value Theorem	hypotheses、secant 与 tangent
01:52:33-02:00:50	MVT versus IVT	derivative existence versus output existence

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32. Decision Maps / 决策图

Related rates

translate words into quantities/rates
-> write an always-true relation
-> eliminate extra variables if needed
-> differentiate with respect to t
-> substitute the instant
-> solve with sign and units

Linear approximation

known f(a), f'(a)
-> L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
-> target x near a?
-> use L(x) as approximation

L’Hopital

substitute / inspect form
-> ordinary value? evaluate directly
-> 0/0 or infinity/infinity?
   yes -> differentiate top and bottom
-> inspect the new ratio again

Theorem choice

intermediate output value?
-> IVT: continuity
 
derivative equals average rate?
-> MVT: continuity on [a,b]
        differentiability on (a,b)

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33. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

Formal course branch / 正课分支

• 微积分BC第4次正课-反函数高阶导数与运动应用 建立 time rates、motion 和 related-rates preview。
• 微积分BC第6次正课-导数符号极值与凹凸性 接着完成 EVT，并把一阶、二阶导数组织成 extrema 与 concavity 分析树。
• Related Rates 把 Implicit Differentiation 与 Chain Rule 用在 common time input 上。
• Linear Approximation 从 Tangent Line 和 Derivatives 建立 nearby first-order model。
• L’Hôpital’s Rule 与 Indeterminate Form 把 derivative comparison 带回 Limits。
• Mean Value Theorem 连接 Average Rate of Change、Secant Line 与某个 interior tangent slope。
• Intermediate Value Theorem 只保证 intermediate output；MVT 额外要求 differentiability 并保证 derivative value。

3Blue1Brown bridge / 视觉直觉分支

• 06 - Implicit Differentiation, What’s Going On Here：common time driver 如何把多个 rates 连接起来。
• 07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions：未定式为何信息不足，以及 derivative ratio 的 local-linear 理由。
• 12 - The Other Way to Visualize Derivatives：$f(a+h)-f(a)\approx f^{\prime }(a)h$ 正是 linear approximation 的 tiny-nudge 语言。

这些连接来自现有笔记的 Wiki connection sections；本次未读取其完整正文。

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34. Confusion / Questions

• 能否把 increasing/decreasing words 翻译成带符号的 rate？
• related rates 中能否区分永久 relation 与瞬时 value？
• cone problem 中能否先用 similar triangles 消去多余 radius？
• angle rate 是否写 radians per time？
• 能否不求 $b$，直接写 $L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$？
• 能否解释 linear approximation 为什么只在 nearby inputs 更可信？
• 能否区分 approximation 与 exact MVT bound？
• 使用 L’Hôpital 前是否总先检查 indeterminate form？
• 重复 L’Hôpital 后是否每次重新判断停止条件？
• 能否完整说出 MVT 的 closed-interval continuity 与 open-interval differentiability？
• 能否根据题目是在问 $f(c)$ 还是 $f^{\prime }(c)$ 区分 IVT 与 MVT？

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35. After-Class Compression / 看完压缩版

related rates:
quantities relation
-> differentiate with respect to t
-> substitute instant
-> solve with sign and units
 
linear approximation:
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
near a, f(x) approximately equals L(x)
 
L'Hopital:
first verify 0/0 or infinity/infinity
lim f/g = lim f'/g'
recheck after every application
 
growth as x->infinity:
exponential >> power >> logarithm
 
MVT:
continuous on [a,b]
differentiable on (a,b)
-> some c in (a,b) satisfies
f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
 
IVT:
continuity guarantees intermediate outputs
 
MVT:
continuity + differentiability
guarantees an average-matching derivative

36. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• AP Calculus BC
• 微积分BC第4次正课-反函数高阶导数与运动应用
• 微积分BC第6次正课-导数符号极值与凹凸性
• Related Rates
• Implicit Differentiation
• Chain Rule
• Linear Approximation
• Tangent Line
• Derivatives
• L’Hôpital’s Rule
• Indeterminate Form
• Limits
• Mean Value Theorem
• Intermediate Value Theorem
• Average Rate of Change
• Secant Line
• 06 - Implicit Differentiation, What’s Going On Here
• 07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions
• 12 - The Other Way to Visualize Derivatives