微积分BC第11次正课 - 积分应用与截面体积

Reading Guide / 阅读说明

本课先用 Logistic graph 收束 微积分BC第10次正课-累积函数与微分方程，然后进入积分应用。整节课不是五套孤立公式，而是同一个动作：identify a small quantity, express it, and accumulate it。

average value -> accumulated area / interval width
displacement -> accumulate signed velocity
total distance -> accumulate speed
area -> accumulate strip height x thickness
volume -> accumulate cross-sectional area x thickness

1. One-Sentence Mainline / 一句话主线

An integral becomes useful once the integrand is identified as the amount contributed per tiny slice.

积分真正产生应用，是因为 integrand 表示每一个微小切片贡献多少。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 用 $P^{\prime }=5P(1-P/5000)$ 复习 Logistic graph。
2. 把 average value 理解为 equal-area rectangle 的高度。
3. 区分 average value 与 average rate of change。
4. 区分 displacement 与 total distance。
5. 用 vertical/horizontal strips 求 Area Between Curves。
6. 把 strip 升级成 cross section，得到 Cross-Sectional Volume。

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Part A - Logistic Review

3. Read the Model Before Solving It

课堂模型：

$$\frac{dP}{dt}=5P\left(1-\frac{P}{5000}\right),P(0)=1000.$$

不必先求 explicit solution，也能读出：

• carrying capacity 为 $5000$；
• $1000<P<5000$ 时 $P^{\prime }>0$，population increasing；
• $P=2500=K/2$ 时 growth rate 最大，也是 inflection point；
• $P<2500$ 时 concave up，$P>2500$ 时 concave down；
• ${\lim }_{t\to \infty }P(t)=5000$。

这体现了一个重要习惯：equation structure can reveal behavior before exact solving。

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Part B - Average Value

4. Average Height of a Function

Average Value of a Function 在 $[a,b]$ 上为

$$f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx.$$

几何上，积分先给 signed area，再除以 width $b-a$，得到一块等面积 rectangle 的 height。

Example 1

若 $f(x)=1/x$，求 $[4,6]$ 上平均值：

$$f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{6-4}{\int }_4^6\frac{1}{x}dx=\boxed{\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}}.$$

Example 2: average velocity

若 $v(t)=2-t^2$，$1\le t\le 3$：

$$v_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{3-1}{\int }_1^3(2-t^2)dt=\boxed{-\frac{7}{3}}.$$

负数表示该时间段的 net motion 偏向 negative direction。

5. Do Not Confuse Two “Averages”

Average rate of change：

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$$

是 secant slope。

Average value：

$$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx,$$

是 average height。

Average rate of change compares two endpoint values; average value averages every value across the interval.

平均变化率只比较端点；函数平均值把整个区间内的函数值都纳入。

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Part C - Motion from Velocity

6. Displacement Versus Total Distance

对 velocity $v(t)$：

$$\text{displacement}={\int }_a^{b}v(t)dt,$$ $$\text{total distance}={\int }_a^b|v(t)|dt.$$

Signed Area 解释差别：

• displacement 保留正负，回头走会抵消；
• total distance 把每一段路都算正值。

如果需要手算 $\int |v(t)|dt$：

1. 解 $v(t)=0$ 找 turning times。
2. 按符号分区间。
3. 在 $v<0$ 的区间把积分取反。

若只给 position $s(t)$，先用

$$v(t)=s^{\prime }(t).$$

若问“第一次停止”，先解 $v(t)=0$，取最早的非负时间，再决定积分 bounds。

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Part D - Area Between Curves

7. Vertical Strips: Top Minus Bottom

竖直 strip 的 height 是

$$y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}},$$

thickness 是 $dx$，所以

$$A={\int }_a^b\left(y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}\right)dx.$$

若 curves 在区间内交换上下位置，必须在 intersections 处分段；area 必须由 larger minus smaller 产生。

8. Horizontal Strips: Right Minus Left

若 horizontal strip 能减少分段，把 curves 改写成 $x$ 关于 $y$ 的函数：

$$A={\int }_c^d\left(x_{\text{right}}-x_{\text{left}}\right)dy.$$

选择标准不是“永远用 $dx$”，而是：哪种 slice 能用最少、最清楚的 pieces 覆盖 region。

Slice checklist

Draw one representative slice.
Vertical?
  length = top - bottom
  thickness = dx
  bounds = left to right
Horizontal?
  length = right - left
  thickness = dy
  bounds = bottom to top
Does the ordering change?
  split the integral

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Part E - Volumes with Known Cross Sections

9. From a Strip to a Slice of Solid

若每个 perpendicular cross section 的面积为 $A(x)$：

$$V={\int }_a^{b}A(x)dx.$$

若 perpendicular to the $y$-axis：

$$V={\int }_c^{d}A(y)dy.$$

难点几乎总在 $A$：先从 base region 找出 cross-section 的关键长度 $L$，再套该平面图形的面积。

10. Common Cross-Section Areas

Cross section	Area from side/diameter $L$
square	$A=L^2$
isosceles right triangle with leg $L$	$A=\frac{1}{2}{L}^2$
rectangle with height $3L$	$A=3L^2$
semicircle with diameter $L$	$A=\frac{1}{2}\pi (L/2{)}^2=\frac{\pi L^2}{8}$

必须先确认题目中的 region segment 是 radius、diameter、leg 还是 base，不能见 semicircle 就把整段直接当 radius。

11. Classroom Example: Square Sections

Base region 在 $0\le x\le 3$，上边界

$$y=e^{-x^2/2},$$

下边界为 $y=0$。垂直于 $x$-axis 的 cross section 为 square：

$$L(x)=e^{-x^2/2},qquadA(x)=L^2=e^{-x^2}.$$

所以

$$\boxed{V={\int }_0^3{e}^{-x^2}dx}.$$

这里“列式正确”比寻找 elementary antiderivative 更重要；该积分可数值计算。

12. Classroom Example: Isosceles Right Triangles

上下边界为

$$y=4\cos \left(\frac{\pi x}{4}\right),y=(x-2{)}^2.$$

若 perpendicular cross section 是以 region segment 为 leg 的等腰直角三角形：

$$L(x)=4\cos \left(\frac{\pi x}{4}\right)-(x-2{)}^2,$$ $$A(x)=\frac{1}{2}[L(x){]}^2.$$

因此 volume setup 为

$$V=\frac{1}{2}\int [4\cos (\pi x/4)-(x-2{)}^2{]}^{2}dx,$$

bounds 由 base region 的 intersections 决定。

13. Classroom Example: Horizontal Rectangles

区域由 $y=x^2$ 与 $y=2x$ 围成。若 cross sections perpendicular to the $y$-axis，且 rectangle height 是 base 的三倍：

$$x_{\text{right}}=\sqrt{y},x_{\text{left}}=\frac{y}{2},$$ $$L(y)=\sqrt{y}-\frac{y}{2},A(y)=3[L(y){]}^2.$$

交点给 $0\le y\le 4$，所以

$$\boxed{V={\int }_0^{4}3{\left(\sqrt{y}-\frac{y}{2}\right)}^{2}dy}.$$

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14. Decision Map / 方法选择

Asked for an average?
  function average -> integral / interval length
  average rate of change -> endpoint difference / interval length
 
Motion?
  displacement -> integral of velocity
  total distance -> integral of |velocity|
 
Area between curves?
  vertical slice -> top - bottom, dx
  horizontal slice -> right - left, dy
 
Known cross sections?
  identify L -> build A(L) -> integrate A

15. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文记忆
Average value is accumulated value divided by interval length.	先累积，再除跨度。
Displacement remembers direction; total distance does not.	位移保留方向，路程只累计长度。
Area uses top minus bottom or right minus left.	面积始终用“大减小”。
A cross-sectional volume is an accumulation of thin slabs.	截面体积是许多薄片体积的累加。
The base region determines a length; the cross-section shape turns that length into area.	底面区域先给长度，截面形状再把长度变成面积。

16. Video Companion / 搭配视频

• 01 - The Essence of Calculus 中“很多薄片的和”是本课所有应用的共同画面。
• 08 - Integration and the Fundamental Theorem of Calculus 可搭配 average value 与 motion：积分累积 rate，FTC 连接 position 与 velocity。
• 09 - What Does Area Have to Do With Slope 可帮助理解 accumulation function 为什么导回原 integrand。

17. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

• 微积分BC第10次正课-累积函数与微分方程 提供 Logistic model 与 accumulation thinking。
• Signed Area 区分 displacement、distance 与 geometric area。
• One-Dimensional Motion 连接 position、velocity、speed。
• Area Under a Curve 是 area between curves 与 volume slicing 的共同底层图像。
• 下一课 微积分BC第12次正课-旋转体弧长参数向量与极坐标 把 cross section 改成由 rotation 产生的 disk/washer。

18. Confusion / Questions

1. 为什么 average velocity 可以为负，而 total distance 不可能为负？
2. 什么时候 horizontal slices 比 vertical slices 更省分段？
3. 半圆截面中题目给的长度究竟是 radius 还是 diameter？
4. 为什么 cross-sectional volume 的积分对象是 area 而不是 length？
5. 为什么列式后有些积分只需 calculator approximation？

19. After-Class Compression / 看完压缩版

average value = integral / width
average rate of change = secant slope
displacement = integral v
distance = integral |v|
area = integral(top-bottom) dx or integral(right-left) dy
volume = integral cross-sectional area

20. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• 微积分BC第10次正课-累积函数与微分方程
• 微积分BC第12次正课-旋转体弧长参数向量与极坐标
• Logistic Growth
• Average Value of a Function
• One-Dimensional Motion
• Signed Area
• Area Between Curves
• Cross-Sectional Volume
• Area Under a Curve
• Integrals
• Fundamental Theorem of Calculus
• 01 - The Essence of Calculus
• 08 - Integration and the Fundamental Theorem of Calculus
• 09 - What Does Area Have to Do With Slope