微积分BC第6次正课 - 导数符号、极值与凹凸性

Reading Guide / 阅读说明

本课承接 微积分BC第5次正课-相关变化率线性近似与中值定理，把 Unit 5 的 derivative analysis 串成一棵完整的树：

theorem layer:
IVT / EVT / MVT
 
first-derivative layer:
sign of f'
-> increasing/decreasing
-> critical numbers
-> local extrema
-> absolute extrema with endpoints
 
second-derivative layer:
sign of f''
-> concavity
-> inflection points
-> second derivative test

本笔记保留课堂推导、sign-chart 方法和代表性例题；考试年份、题目频率、轮询与课堂管理话术不保留。

Reading Rule / 读法约定

• 先确认拿到的是 $f$、$f^{\prime }$ 还是 $f^{\prime \prime }$ 的 graph 或 formula。
• critical number 只是候选点；local extremum 与 inflection point 都必须检查 sign change。
• absolute extrema 必须加入 endpoints 比较。
• 中文“凹/凸”不同教材可能方向命名不一致，因此以 concave up/down 与 $f^{\prime \prime }$ sign 为准。

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1. One-Sentence Mainline / 一句话主线

The sign of the first derivative controls direction and local extrema; the sign of the second derivative controls bending and inflection; endpoint comparison turns local candidates into absolute extrema.

一阶导数的符号控制函数升降与局部极值，二阶导数的符号控制弯曲方向与拐点，而加入端点比较后才能从局部候选人中选出绝对最值。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 补完 Extreme Value Theorem。
2. 对比 IVT、EVT、MVT 的 hypotheses 与 conclusions。
3. 用 $f^{\prime }$ 的 sign 判断 increasing/decreasing。
4. 找 derivative 为 $0$ 或不存在的 critical numbers。
5. 建立 sign chart 和 odd/even multiplicity 规则。
6. 用 First Derivative Test 判 local maximum/minimum。
7. 加入 endpoints 求 Absolute Extrema。
8. 用 $f^{\prime \prime }$ 的 sign 判断 Concavity。
9. 用 concavity sign change 找 Inflection Points。
10. 用 Second Derivative test 判 local extrema。

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Part A - Three Existence Theorems / 三个存在性定理

3. Extreme Value Theorem / 最值定理

若 $f$ 在 closed and bounded interval $[a,b]$ 上 continuous，则 $f$ 必须在该区间取得：

$$\boxed{\text{an absolute maximum and an absolute minimum}}.$$

也就是说，存在 $x_{\max },x_{\min }\in [a,b]$ 使

$$f(x_{\min })\le f(x)\le f(x_{\max })$$

for every $x\in [a,b]$。

Continuity on a closed bounded interval guarantees that the highest and lowest values are actually attained.

闭有界区间上的连续性保证最高值与最低值不仅存在上界或下界，而且真的能被取到。

常数函数的 maximum 与 minimum 可以相同，并可在多个点取得。

Why each hypothesis matters / 前提为何重要

• 没有 continuity：hole 可能删掉本应取得的最高点。
• interval 不 closed：端点极值可能只能趋近、不能取得。
• interval 不 bounded：函数可能无限增长或下降。

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4. EVT Example With a Piecewise Function / 分段函数的存在性说明

题目若问“是否一定存在 maximum”，重点不是先求 maximum，而是验证 EVT。

在拼接点 $x=0$，若

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=f(0)=3,$$

则函数在拼接点 continuous。若各 branch 在其区间内也 continuous，且 domain 是 closed bounded interval，则根据 Extreme Value Theorem，absolute maximum 与 minimum 必然存在。

这是 existence argument，不是计算 extrema 的 algorithm。

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5. IVT, EVT, and MVT / 三定理对照

Theorem	Hypotheses	Guaranteed object
Intermediate Value Theorem	continuous on $[a,b]$	intermediate output $f(c)$
Extreme Value Theorem	continuous on closed bounded $[a,b]$	attained absolute max and min
Mean Value Theorem	continuous on $[a,b]$, differentiable on $(a,b)$	$f^{\prime }(c)$ equals secant slope

MVT 结论：

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

intermediate output? -> IVT
attained highest/lowest output? -> EVT
instantaneous slope equals average slope? -> MVT

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Part B - First-Derivative Analysis / 一阶导数分析

6. Increasing and Decreasing / 单调性

在一个 interval 上：

$$f^{\prime }(x)>0⟹f\text{ is increasing},$$ $$f^{\prime }(x)<0⟹f\text{ is decreasing}.$$

课堂把 $f^{\prime }(x)=0$ 简写成 constant，需要校正：

• 若 $f^{\prime }(x)=0$ 在整个 interval 上成立，则 $f$ 在该 interval constant。
• 若只在一个 isolated point 有 $f^{\prime }(c)=0$，只能说明 tangent horizontal，不能说明附近 constant。

Example

$$f(x)=x^2+2x-1,f^{\prime }(x)=2x+2.$$ $$f^{\prime }(x)<0\text{ for }x<-1,f^{\prime }(x)>0\text{ for }x>-1.$$

所以 $f$ 在 $(-\infty ,-1)$ decreasing，在 $(-1,\infty )$ increasing。

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7. Sign Analysis With Fixed-Sign Factors / 先删掉不影响符号的因子

若

$$f^{\prime }(x)=\frac{k(1-x^2)}{(x^2+1{)}^2}$$

on $(-1,1)$，则

$$1-x^2>0,(x^2+1{)}^2>0.$$

若要求 strictly decreasing，即 $f^{\prime }<0$，唯一决定 sign 的是 $k$：

$$\boxed{k<0}.$$

另一个例子：

$$f^{\prime }(x)=\frac{-2x}{(1+x^2{)}^2}.$$

denominator 恒正，因此

$$f^{\prime }(x)<0⟺x>0.$$

Factor first, classify fixed-sign pieces, and analyze only what can actually change sign.

先因式分解，确认恒正或恒负部分，只分析真正可能变号的因子。

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8. Reading a Derivative Graph / 读 $f^{\prime }$ 图像

若题目给的是 graph of $f^{\prime }$：

• $f^{\prime }$ 在 horizontal axis 上方 $\Rightarrow f$ increasing。
• $f^{\prime }$ 在 axis 下方 $\Rightarrow f$ decreasing。
• $f^{\prime }$ 图像自身上升或下降描述的是 $f^{\prime \prime }$，不是 $f$ 的 increasing/decreasing。

第一步必须读 graph label。

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9. Critical Numbers / 临界数

$c$ 是 $f$ 的 critical number，要求：

1. $c$ 在 domain of $f$ 中；
2. $f^{\prime }(c)=0$ 或 $f^{\prime }(c)$ does not exist。

$$\boxed{c\in \mathrm{dom}(f)\text{and}[f^{\prime }(c)=0\text{ or }{f}^{\prime }(c)\text{ DNE}]}$$

Examples

$$f(x)=x^2+1⟹f^{\prime }(x)=2x,$$

所以 $x=0$ 是 critical number。

$$f(x)=(x-1{)}^{1/3}$$

在 $x=1$ 定义，但 $f^{\prime }(1)$ 不存在，因此 $x=1$ 也是 critical number。

若 denominator 在 $x=0$ 为零、同时原函数在 $0$ 也未定义，则 $0$ 不是该函数的 critical number。

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10. Sign Chart / 标准符号表

课堂“穿根法”本质是 polynomial/rational sign chart：

1. factor derivative；
2. 标出 zeros 和 undefined points；
3. 按顺序切分 number line；
4. 每个 interval 取 test point；
5. 记录 $+$ 或 $-$；
6. 将 $f^{\prime }$ sign 翻译成 $f$ behavior。

Multiplicity rule / 重数规则

在 factor

$$(x-c{)}^m$$

处：

• odd multiplicity $m$：sign crosses；
• even multiplicity $m$：sign does not cross。

“奇穿偶不穿”只适用于这种已因式分解的 sign analysis，不是所有函数都能机械画穿根图。

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11. First Derivative Test / 一阶导数判别法

在 critical number $c$ 左右：

$$f^{\prime }:+\to -⟹c\text{ is a local maximum},$$ $$f^{\prime }:-\to +⟹c\text{ is a local minimum}.$$

若 sign 不变，则 $c$ 不是 local extremum。

A critical number is only a candidate; the sign change decides the local behavior.

临界数只是候选点，左右导数符号变化才决定它是否为局部极值。

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12. Worked First-Derivative Test / 完整例题

设

$$f(x)=x^3-3x^2.$$ $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$

critical numbers：

$$x=0,x=2.$$

sign chart：

Interval	$(-\infty ,0)$	$(0,2)$	$(2,\infty )$
$f^{\prime }$	$+$	$-$	$+$
$f$	increasing	decreasing	increasing

因此：

$$x=0\text{ is a local maximum},$$ $$x=2\text{ is a local minimum}.$$

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13. Even-Multiplicity Critical Point / 偶重根不产生极值

若

$$f^{\prime }(x)=(x-1)(x-2{)}^2,$$

则 $x=2$ 是 even-multiplicity zero，$f^{\prime }$ 在其两侧 sign 不变。

函数可能在 $x=2$ 有 horizontal tangent，但继续同向 increasing 或 decreasing，所以它不是 local extremum。

课堂比喻：上坡时停顿一下，再继续上坡。

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14. Absolute Extrema on a Closed Interval / 闭区间绝对最值

Absolute Extrema 的候选人来自：

1. interior critical numbers；
2. endpoints；
3. 若有分段边界或 nondifferentiable domain point，也作为候选检查。

Closed Interval Method：

find critical numbers in (a,b)
-> add endpoints a,b
-> evaluate f at every candidate
-> largest output = absolute maximum
-> smallest output = absolute minimum

local extrema 由附近比较决定；absolute extrema 要和整个 interval 比。

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15. Absolute-Maximum Example / 绝对最大值例题

$$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-4x^2+12x-5$$

on $[0,9]$。

$$f^{\prime }(x)=x^2-8x+12=(x-2)(x-6).$$

sign 为 $+,-,+$，所以 $x=2$ local maximum，$x=6$ local minimum。

求 absolute maximum 时比较 local maximum candidate 与 endpoints：

$$f(0)=-5,f(2)=\frac{17}{3},f(9)=22.$$

因此

$$\boxed{\text{absolute maximum is }22\text{ at }x=9}.$$

不能因为 $x=2$ 是 local maximum 就自动把它叫 absolute maximum。

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16. Piecewise Absolute Extrema / 分段函数的最值

对 piecewise function：

1. 每个 branch 分别求 derivative sign；
2. 加入 join point；
3. 加入 closed interval endpoints；
4. 对所有候选直接计算 function values。

join point 即使 nondifferentiable，也可能是 local 或 absolute extremum。不可导不等于不连续。

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17. First-Derivative Analysis Tree / 一阶导数知识树

start with f
-> compute f'
 
f' > 0 / f' < 0
-> increasing / decreasing
 
f' = 0 or DNE at a domain point
-> critical number
 
critical number + sign change
-> local maximum / minimum
 
critical candidates + endpoints
-> absolute maximum / minimum

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Part C - Second-Derivative Analysis / 二阶导数分析

18. Concavity / 凹凸性

Concavity describes how slopes change:

$$f^{\prime \prime }(x)>0⟹f^{\prime }(x)\text{ increasing}⟹f\text{ concave up},$$ $$f^{\prime \prime }(x)<0⟹f^{\prime }(x)\text{ decreasing}⟹f\text{ concave down}.$$

中文图像记忆：

• concave up：像碗口向上；
• concave down：像拱顶向下。

重点不是函数本身在升还是降，而是 tangent slopes 在变大还是变小。

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19. Concavity Example / 凹凸区间例题

设

$$f(x)=x^3+2x^2-3x+1.$$ $$f^{\prime }(x)=3x^2+4x-3,$$ $$f^{\prime \prime }(x)=6x+4.$$

候选点：

$$6x+4=0⟹x=-\frac{2}{3}.$$

所以：

$$f^{\prime \prime }<0\text{ for }x<-\frac{2}{3}⟹\text{concave down},$$ $$f^{\prime \prime }>0\text{ for }x>-\frac{2}{3}⟹\text{concave up}.$$

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20. Even Root in a Concavity Sign Chart / 二阶导偶重根

若

$$f^{\prime \prime }(x)=x(x+2{)}^2,$$

zeros 为 $x=-2,0$。

• $x=-2$ 是 even-multiplicity zero，sign 不变；
• $x=0$ 是 odd-multiplicity zero，sign 改变。

因此 $x=-2$ 不是 inflection point；$x=0$ 才是。

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21. Inflection Points / 拐点

Inflection Points 是 concavity 改变的 domain points：

$$\text{concave up}\leftrightarrow \text{concave down}.$$

通常先找 candidates：

$$f^{\prime \prime }(c)=0\text{or}{f}^{\prime \prime }(c)\text{ DNE},$$

再检查 $f^{\prime \prime }$ 是否变号。

A zero of the second derivative is only an inflection candidate; concavity must actually change.

二阶导数为零只是拐点候选，真正标准是凹凸性发生改变。

例如

$$f^{\prime \prime }(x)=12x^2(x-3)$$

在 $x=0$ 不变号，在 $x=3$ 变号，所以唯一 inflection point 的 $x$-coordinate 是

$$\boxed{x=3}.$$

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22. Second Derivative Test / 二阶导数判别法

若已知

$$f^{\prime }(c)=0,$$

则：

$$f^{\prime \prime }(c)>0⟹c\text{ is a local minimum},$$ $$f^{\prime \prime }(c)<0⟹c\text{ is a local maximum}.$$

若

$$f^{\prime \prime }(c)=0$$

或不存在，test is inconclusive，需要回到 First Derivative Test 或其他分析。

这是因为：

• concave up + horizontal tangent $\Rightarrow$ local minimum；
• concave down + horizontal tangent $\Rightarrow$ local maximum。

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23. Implicit Second-Derivative Test / 隐函数例题

若在某点

$$\frac{dy}{dx}=x-y$$

且点满足 $x=y$，则

$$\frac{dy}{dx}=0.$$

再求导：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=1-\frac{dy}{dx}.$$

在 critical point：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=1>0.$$

因此该点是 local minimum。

二阶导 test 在不方便直接观察 critical point 左右 sign 时尤其有用。

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24. Product Example for the Second Derivative Test / 乘积例题

若

$$f^{\prime }(x)=(x^2-4)g(x),g(x)<0$$

for all relevant $x$，则 $x=\pm 2$ 是 critical numbers。

$$f^{\prime \prime }(x)=2xg(x)+(x^2-4)g^{\prime }(x).$$

在 $x=2$：

$$f^{\prime \prime }(2)=4g(2)<0,$$

所以 $x=2$ 是 local maximum。

在 $x=-2$：

$$f^{\prime \prime }(-2)=-4g(-2)>0,$$

所以 $x=-2$ 是 local minimum。

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25. First Versus Second Derivative / 一阶与二阶导对照

Information	What it tells about $f$
$f^{\prime }>0$	increasing
$f^{\prime }<0$	decreasing
$f^{\prime }$ changes $+\to -$	local maximum
$f^{\prime }$ changes $-\to +$	local minimum
$f^{\prime \prime }>0$	concave up
$f^{\prime \prime }<0$	concave down
$f^{\prime \prime }$ changes sign	inflection point
$f^{\prime }(c)=0$, $f^{\prime \prime }(c)>0$	local minimum
$f^{\prime }(c)=0$, $f^{\prime \prime }(c)<0$	local maximum

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26. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文记忆
EVT guarantees attained extrema, not their locations.	EVT 保证最值能取到，但不告诉位置。
The derivative sign controls the direction of the original function.	导数符号控制原函数升降。
A critical number is a candidate, not automatically an extremum.	临界数只是极值候选。
Odd multiplicity changes sign; even multiplicity preserves sign.	奇重根变号，偶重根不变号。
Local extrema require a first-derivative sign change.	一阶导必须变号才产生局部极值。
Absolute extrema compare critical candidates with endpoints.	绝对最值必须比较临界候选和端点。
Concavity describes whether slopes are increasing or decreasing.	凹凸性描述斜率在增大还是减小。
An inflection point requires a change in concavity.	拐点要求凹凸性真实改变。

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27. Fidelity Notes and Corrections / 原稿校正

1. EVT 的完整常用前提是 continuous on a closed bounded interval。
2. 单点 $f^{\prime }(c)=0$ 不表示函数 constant；只有 derivative 在整个 interval 恒为 $0$ 才推出 constant。
3. critical number 必须属于 domain of $f$；仅仅使 derivative formula undefined 的非定义点不算。
4. local maximum/minimum 不要求图像尖或圆滑，标准是邻域比较或 $f^{\prime }$ sign change。
5. “极大极小值都是临界点”需在 ordinary interior-domain setting 理解；endpoint local-extremum conventions 会因定义而不同。
6. $f^{\prime \prime }(c)=0$ 不足以推出 inflection point，必须检查 concavity change。
7. second derivative test 必须先有 $f^{\prime }(c)=0$；若 $f^{\prime \prime }(c)=0$，结论不确定。
8. 中文“凹/凸”命名可能因教材相反，本笔记以 concave up/down 和公式为准。

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28. Video Companion / 搭配课堂录像

Approx. time	Topic	What to watch for
00:44-08:51	EVT and theorem comparison	hypotheses 与 existence conclusions
09:13-27:04	Increasing/decreasing	$f^{\prime }$ sign 与 graph label
27:04-44:21	Critical numbers	derivative zero or DNE, but in domain
44:21-01:07:17	First Derivative Test	sign chart、奇穿偶不穿、local extrema
01:09:04-01:34:50	Absolute extrema	critical candidates + endpoints
01:35:46-01:44:41	Concavity	$f^{\prime \prime }$ sign 与 slope trend
01:44:41-01:51:44	Inflection points	second derivative must change sign
01:51:44-02:00:15	Second Derivative Test	local max/min from concavity

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29. Decision Maps / 决策图

First derivative

compute/fetch f'
-> zeros and DNE points in domain
-> sign chart
-> increasing/decreasing
-> sign changes give local extrema
-> add endpoints and compare values
-> absolute extrema

Second derivative

compute/fetch f''
-> sign chart
-> positive: concave up
-> negative: concave down
-> sign change: inflection point
 
at f'(c)=0:
f''(c)>0 -> local min
f''(c)<0 -> local max
f''(c)=0 -> inconclusive

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30. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

• 微积分BC第7次正课-导数图像优化与定积分入门 把本课的 derivative sign 与 concavity 用到 graph interpretation 和 Optimization，再进入 integration。
• 微积分BC第5次正课-相关变化率线性近似与中值定理 提供 MVT 与 Unit 5 入口。
• Intermediate Value Theorem、Extreme Value Theorem、Mean Value Theorem 分别保证 intermediate output、attained extrema、average-matching derivative。
• Derivatives 的 sign 进入 First Derivative Test，再连接 Absolute Extrema。
• Second Derivative 的 sign 进入 Concavity，sign change 进入 Inflection Points。
• Higher-Order Derivatives 提供 repeated differentiation 的统一背景。
• 10 - Higher Order Derivatives 连接 changing slope、concavity 与 second derivative。
• 12 - The Other Way to Visualize Derivatives 连接 derivative sign、local scaling 与 graph direction。

3Blue1Brown 连接来自现有 Wiki connection sections；本次未读取完整正文。

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31. Confusion / Questions

• 能否完整说出 EVT 的 closed bounded interval 与 continuity？
• 看到 graph of $f^{\prime }$ 时，能否只用其高度判断 $f$ 升降？
• 能否检查 candidate 是否属于 domain of $f$？
• 能否区分 critical number 与 local extremum？
• sign chart 中能否识别 odd/even multiplicity？
• 求 absolute extrema 时是否总加入 endpoints？
• 能否区分 $f^{\prime \prime }>0$ 与 $f$ increasing？
• $f^{\prime \prime }(c)=0$ 时，是否继续检查 concavity sign change？
• second derivative test 失效时，能否回到 first derivative test？

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32. After-Class Compression / 看完压缩版

EVT:
continuous on closed bounded [a,b]
-> attained absolute max and min
 
f' > 0 -> f increasing
f' < 0 -> f decreasing
 
critical number:
in domain of f
and f'=0 or f' DNE
 
first derivative test:
+ to - -> local max
- to + -> local min
no sign change -> neither
 
absolute extrema:
critical candidates + endpoints
evaluate and compare
 
f'' > 0 -> concave up
f'' < 0 -> concave down
 
inflection point:
concavity changes
not merely f''=0
 
second derivative test:
f'(c)=0 and f''(c)>0 -> local min
f'(c)=0 and f''(c)<0 -> local max
f''(c)=0 -> inconclusive

33. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• AP Calculus BC
• 微积分BC第5次正课-相关变化率线性近似与中值定理
• Intermediate Value Theorem
• Extreme Value Theorem
• Mean Value Theorem
• Derivatives
• First Derivative Test
• Absolute Extrema
• Second Derivative
• Concavity
• Inflection Points
• Higher-Order Derivatives
• 10 - Higher Order Derivatives
• 12 - The Other Way to Visualize Derivatives
• Optimization
• 微积分BC第7次正课-导数图像优化与定积分入门