AP物理C力学第10次正课 - 转动能量、角动量与守恒

Reading Guide / 阅读说明

这节课把上一课的 $I$ 接入完整动力学：$\sum \tau =I\alpha$ 对应 $\sum F=ma$，转动功与动能对应平动功与动能，角冲量改变角动量。后半集中训练“整个系统守恒、局部物体不一定守恒”的转盘模型。

一句话主线

Net torque changes angular momentum; when external torque about the chosen axis is zero, angular momentum is redistributed but conserved.

1. Rotational Newton’s Second Law / 转动牛顿第二定律

固定轴且刚体 $I$ 不变时：

$$\boxed{\sum \tau =I\alpha }$$

更一般形式：

$$\boxed{\sum {\tau }_{ext}=\frac{d\vec{L}}{dt}}$$

这与 $\sum {\vec{F}}_{ext}=d\vec{p}/dt$ 平行。每次使用都必须声明 torque about which axis。

2. Rotational Work and Energy / 转动功与转动动能

$$W=\int \tau ,d\theta$$ $$\boxed{K_{rot}=\frac{1}{2}I{\omega }^2}$$ $$W_{net}=\Delta K_{rot}$$

固定 torque 的 instantaneous power：

$$P=\tau \omega$$

一个物体同时平动与转动时：

$$K=\frac{1}{2}M{v}_{CM}^2+\frac{1}{2}{I}_{CM}{\omega }^2$$

3. Angular Momentum / 角动量

刚体绕固定轴：

$$\boxed{L=I\omega }$$

质点相对给定点：

$$\boxed{\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}}$$ $$L=rp\sin \varphi =p\ell =mv\ell$$

其中 $\ell$ 是参考点到 momentum line 的垂距。角动量与 torque 一样依赖 reference point/axis。

4. Angular Impulse / 角冲量

$$\boxed{{\int }_{t_i}^{t_f}{\tau }_{ext},dt=\Delta L}$$

在 $\tau$-$t$ graph 中，signed area 是 angular impulse；它改变 angular momentum。与普通 impulse-momentum theorem 完全平行。

5. Conservation of Angular Momentum / 角动量守恒

若关于所选轴的 net external torque 为零：

$$\boxed{L_i=L_f}$$

对同一转轴：

$$I_i{\omega }_i=I_f{\omega }_f$$

人收回哑铃、滑冰者收臂时，$I$ 减小而 $\omega$ 增大。angular momentum conserved 不意味着 rotational kinetic energy conserved：人体可通过内部做功改变 $K$。

6. Rotational Collision Models / 转动碰撞模型

Clay lands on a turntable

重力虽是 external force，但若与转轴平行或作用线对轴的 moment arm 为零，则其 external torque about that axis 为零。粘土落上后：

$$I_d{\omega }_i=(I_d+m{r}^2){\omega }_f$$

$I$ 增大，$\omega$ 减小；这是 rotationally inelastic interaction，角动量守恒但动能不守恒。

Person steps onto a disk

若人切向速度为 $v$：

$$I_d{\omega }_i+mvr=(I_d+m{r}^2){\omega }_f$$

方向相反的初始 angular momenta 必须带符号相减。

Two disks engage

$$I_1{\omega }_{1i}+I_2{\omega }_{2i}=(I_1+I_2){\omega }_f$$

摩擦是两盘系统的 internal interaction；它使两者达到共同角速度，同时将部分机械能转为内能。

7. Whole System versus One Part / 整体与局部

整个 disk-person system 可因 ${\tau }_{ext}=0$ 而 $L$ conserved；但 disk alone 会受到 person exerted torque，因此 disk 的 angular momentum 可改变。

Conservation applies to the chosen system; interaction forces can transfer angular momentum between its parts.

这与第 8 次课的线动量系统观完全一致。

8. Deep Phrases / 深层表达

• Zero external torque, not zero external force, is the condition for angular-momentum conservation.
• Angular momentum is always defined about a point or an axis.
• A change in rotational inertia requires a compensating change in angular speed only when angular momentum is conserved.
• Angular momentum can be conserved while mechanical energy is transformed.

9. Error Checklist / 易错清单

• 看到 external force 就断言 angular momentum 不守恒，没检查 torque；
• 使用 $L=I\omega$ 时忽略 axis；
• 把系统守恒误套给其中一个物体；
• 对相反旋转方向只加大小；
• 由 $I\omega$ 守恒错误推出 $\frac{1}{2}I{\omega }^2$ 也守恒。

Connected Notes / 连接

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