AP电磁学第4次正课 - 电势能与电势

Reading Guide / 阅读说明

这份笔记以“物理 C 电磁第 4 次正课”的 transcript 为核心。课堂前半段复习 Gauss’s Law 的标准模型，并补上两个无限大带电板的叠加；后半段正式从 Electric Field 过渡到 Electric Potential。

这节课的真正脉络是：

Gauss's law models
-> fields of parallel sheets
-> force and potential energy
-> work-energy relation
-> electric potential energy U
-> electric potential V
-> scalar superposition
-> potential of a charged ring

阅读时要抓住老师反复强调的一组对应：

force F          <-> potential energy U
electric field E <-> electric potential V
vector           <-> scalar

1. What This Lecture Is About / 这节课在讲什么

这节课有两个任务。

第一，复习上一讲的 Gauss’s Law。老师让同学重新推导 conducting sphere、uniform insulating sphere、infinite line charge 和 infinite sheet，不是为了再背一遍公式，而是训练同一套动作：

recognize symmetry
-> choose a Gaussian surface
-> identify the surfaces carrying flux
-> calculate enclosed charge
-> solve for E

第二，进入 electric potential。老师没有直接丢出 $V = k Q / r$ ，而是先从力与场的关系类比：电场描述“如果把电荷放进来，它每单位电荷会受到多大的力”；电势描述“如果把电荷放进来，它每单位电荷会具有多少电势能”。

Electric field is force per unit charge; electric potential is potential energy per unit charge.

中文理解： $E$ 和 $V$ 都是在描述 source charges 建立的空间背景。试探电荷只是用来读取这个背景，不是背景存在的原因。

2. Class Flow / 课堂脉络

复习 conducting sphere：静电平衡时 excess charge 在表面，内部 $E = 0$ 。
复习 uniform insulating solid sphere：内部 $Q_{enc} \propto r^{3}$ ，所以 $E \propto r$ 。
复习 infinite line charge：圆柱高斯面给出 $E \propto 1/ r$ 。
复习 infinite sheet：pillbox 给出 $E = σ / (2 ϵ_{0})$ ，与距离无关。
用 superposition 分析两个平行无限大带电板：同号与异号分布的内外场不同。
说明 cubic charge distribution 缺乏足够对称性，Gauss’s Law 成立却不能直接解 $E$ 。
用 $F = q E$ 引出“field 是空间背景”。
类比定义 electric potential energy：位置改变会改变系统储存的能量。
复习 conservative force、work 与 potential energy： $W_{c} = - Δ U$ 。
从 Coulomb force 推出两点电荷的电势能： $U = k q_{1} q_{2} / r$ 。
用能量守恒处理带电粒子从不同位置释放的问题。
区分 electric force 与 external force 的做功符号。
多电荷体系的 potential energy 按“每一对电荷”相加且不重复计数。
定义 Electric Potential： $V = U / q$ ，单位 volt，也就是 J/C。
多个 source charges 的电势直接做代数和，因为 $V$ 是 scalar。
推导 uniformly charged ring 轴线上一点的 electric potential，并与电场积分比较。

3. Gauss’s Law Review / 高斯定律模型复习

Knowledge Point 1: A Conducting Sphere Has Zero Electric Field Inside

Video: 00:01:20-00:10:57

静电平衡时，导体中的自由电荷会移动。若 excess charges 留在内部，它们之间的排斥会继续推动电荷移动；平衡后 excess charge 位于外表面。

对半径为 $R$ 、总电荷为 $Q$ 的 conducting sphere：

E (r) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{4 π ϵ _{0}} \frac{Q}{r ^{2}}, r < R r \geq R

内部取球形 Gaussian surface 时：

Q_{enc} = 0

由 spherical symmetry，球面上 $E$ 相同且沿径向：

E (4 π r^{2}) = \frac{Q _{enc}}{ϵ _{0}} = 0

所以 $E = 0$ 。

In electrostatic equilibrium, the electric field inside a conductor is zero.

课堂把它连接到 Faraday cage / 法拉第笼：封闭导体可以屏蔽静电场。这里要精确一点，课堂此处主要由 Gauss’s law 证明的是 electrostatic shielding；一般随时间变化的 electromagnetic shielding 还涉及材料、频率与趋肤效应，不能只靠这一条静电结论全部概括。

图像记忆：

$r < R$ ： $E = 0$ ；
$r = R$ ：由内侧的 0 跳到外侧 $k Q / R^{2}$ ；
$r > R$ ：按 $1/ r^{2}$ 衰减。

Knowledge Point 2: A Uniform Insulating Sphere Has $E \propto r$ Inside

Video: 00:10:58-00:14:33

绝缘体中的电荷不能像导体自由移动。若一个半径为 $R$ 的 insulating solid sphere 均匀带有总电荷 $Q$ ，电荷分布在整个体积内。

体电荷密度为：

ρ = \frac{Q}{\frac{4}{3} π R ^{3}}

对内部半径 $r < R$ 的 Gaussian surface：

Q_{enc} = ρ (\frac{4}{3} π r^{3}) = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}

代入 Gauss’s Law：

E (4 π r^{2}) = \frac{Q}{ϵ _{0}} \frac{r ^{3}}{R ^{3}}

得到：

E = \frac{Q r}{4 π ϵ _{0} R ^{3}} = \frac{k Q r}{R ^{3}}, r < R

外部则包住全部电荷：

E = \frac{k Q}{r ^{2}}, r \geq R

因此 $E (r)$ 在球内线性增加，在表面达到最大值，然后按 $1/ r^{2}$ 减小。两段在 $r = R$ 连续：

\frac{k QR}{R ^{3}} = \frac{k Q}{R ^{2}}

For a uniform solid sphere, enclosed charge grows as $r^{3}$ , but Gaussian area grows as $r^{2}$ , so the internal field grows as $r$ .

这句话比死背内部公式更重要：一个 $r^{3}$ 除以一个 $r^{2}$ ，留下 $r$ 。

Knowledge Point 3: An Infinite Line Charge Produces a $1/ r$ Field

Video: 00:15:14-00:20:29

对 linear charge density 为 $λ$ 的 infinite line charge，选择半径 $r$ 、长度 $L$ 的 coaxial cylinder。

electric field 沿径向；
两个 circular end caps 上， $E$ 与 $d A$ 垂直，所以 flux 为零；
curved side 上， $E$ 为常量且与 $d A$ 平行。

因此：

\oint E \cdot d A = E (2 π r L)

包住的电荷：

Q_{enc} = λ L

所以：

E (2 π r L) = \frac{λ L}{ϵ _{0}}

E = \frac{λ}{2 π ϵ _{0} r}

The end caps carry no flux because the electric field is parallel to them.

中文理解：不是“圆柱有三个面所以三个面都算”，而是只算电场真正穿过的 curved surface。

Knowledge Point 4: An Infinite Sheet Produces a Distance-Independent Field

Video: 00:20:30-00:24:56

对 surface charge density 为 $σ$ 的 infinite sheet，取跨过薄板的 pillbox Gaussian surface，两个底面积均为 $A$ 。

两个 flat faces 都有 outward flux：

Φ_{E} = E A + E A = 2 E A

包住的电荷为：

Q_{enc} = σ A

所以：

2 E A = \frac{σ A}{ϵ _{0}}

E = \frac{σ}{2 ϵ _{0}}

式子里没有距离，因此理想 infinite sheet 的 electric field 与高度无关。

The field of an infinite sheet is uniform because increasing the distance does not change the result of Gauss’s law.

这里的 distance independence 属于“无限大平面”的理想模型。有限平面在足够远处会逐渐表现得更像 point charge，不能把这个结论无限制套用。

Knowledge Point 5: Two Infinite Sheets Must Be Added by Direction

Video: 00:24:57-00:30:03

单个正电薄板的 field 向两侧远离薄板；单个负电薄板的 field 向两侧指向薄板。每一块板在任一侧产生的大小都是：

E_{0} = \frac{∣ σ ∣}{2 ϵ _{0}}

Two sheets with the same sign / 两个同号板

两板之间：方向相反，互相抵消， $E = 0$ ；
两板外侧：方向相同，叠加为 $2 E_{0} = ∣ σ ∣/ ϵ_{0}$ 。

Two sheets with opposite signs / 两个异号板

两板之间：方向相同，从 positive plate 指向 negative plate，叠加为

E = 2 E_{0} = \frac{∣ σ ∣}{ϵ _{0}}

两板外侧：方向相反，互相抵消， $E = 0$ 。

这就是理想 parallel plates 在板间建立 Uniform Electric Field 的来源。

For oppositely charged parallel sheets, the fields add between the sheets and cancel outside.

Knowledge Point 6: Gauss’s Law Can Be True Without Being Useful for Solving $E$

Video: 00:31:03-00:33:11

课堂用 charged cube 提醒：你当然可以在立方体外取 closed surface，也永远有

\oint E \cdot d A = \frac{Q _{enc}}{ϵ _{0}}

但立方体附近通常没有足够的 spherical、cylindrical 或 planar symmetry，无法证明 Gaussian surface 上每一点的 $E$ 相同，也就不能简单写成 $E A$ 后直接求 $E$ 。

Gauss’s law is always valid, but symmetry determines whether it can directly solve for the electric field.

4. From Force to Potential Energy / 从力走向势能

Knowledge Point 7: Field Describes the Background Left After the Test Charge Is Removed

Video: 00:35:44-00:41:27

电场的定义：

E = \frac{F}{q}

或者写成带电粒子在已知电场中的受力：

F = q E

具体的 electric force 需要 source charge 与 test charge 共同存在；但即使拿走 test charge，source charge 建立的 field 仍然存在。

老师用“程序的背景”来类比：空间中每个位置都预先带着一个 $E$ 值。将任意试探电荷 $q$ 放入后，就能通过 $F = q E$ 读出它的受力。

能量也有同样结构。空间中每个位置可以预先带着一个 $V$ 值；将电荷 $q$ 放入后，通过

U = q V

读出这个 charge-source system 的 electric potential energy。

The field and the potential belong to the spatial background created by source charges; force and potential energy belong to the interaction with a specific charge.

Knowledge Point 8: Conservative Force Work Is the Negative Change in Potential Energy

Video: 00:42:11-00:47:46

保守力的核心特点：做功只取决于起点和终点，与路径无关。对于 electric force 或 gravity：

W_{conservative} = - Δ U

因此：

conservative force 做正功 $\Rightarrow Δ U < 0$ ；
conservative force 做负功 $\Rightarrow Δ U > 0$ 。

但 external force 要单独判断。若外力缓慢移动物体，使 $Δ K = 0$ ，则：

W_{ext} = Δ U

课堂中最容易混淆的是“到底在问谁做功”：

electric force:  W_E = -Delta U
slow external force: W_ext = +Delta U

Always identify the force named in the question before assigning the sign of work.

Video: 00:47:47-01:02:57

变力不能直接使用 $W = F d$ 。一般形式是：

W = \int F \cdot d r

而 potential energy change 满足：

Δ U = - \int_{A}^{B} F \cdot d r

一维径向问题也可写为：

F_{r} = - \frac{d U}{d r}

这句话的含义是：potential energy graph 的负斜率给出 force。

对两点电荷：

F_{r} = \frac{k q _{1} q _{2}}{r ^{2}}

选定：

U (\infty) = 0

则从无穷远处积分到距离 $r$ ：

U (r) - U (\infty) = - \int_{\infty}^{r} \frac{k q _{1} q _{2}}{r ^{'2}} d r^{'}

得到：

U (r) = \frac{k q _{1} q _{2}}{r}

注意最终公式前面没有额外负号；符号由 $q_{1} q_{2}$ 决定：

like charges: $q_{1} q_{2} > 0 \Rightarrow U > 0$ ；
unlike charges: $q_{1} q_{2} < 0 \Rightarrow U < 0$ 。

课堂推导中老师一度把图像和符号画反，随后用“同号电荷松手后会彼此远离并获得动能”检查并修正。这是很好的 self-check：

like charges near each other -> can release positive kinetic energy
-> initial U must be greater than U(infinity)=0
-> U must be positive

Knowledge Point 10: Zero Potential Energy Is a Reference, Not Necessarily a Minimum

在 near-Earth gravity 中常把某高度选作 $U_{g} = 0$ ，容易误以为“零势能就是没有势能或最小势能”。电势能不是这样。

对异号电荷：

U = \frac{k q _{1} q _{2}}{r} < 0

所以 $U = 0$ 只是选定的 reference level。在本课的 point-charge convention 中，通常选 $U (\infty) = 0$ 。

Potential energy is defined relative to a reference; zero does not mean the interaction has disappeared everywhere.

更准确地说：当 $r \to \infty$ 时，两点电荷的 interaction potential energy 趋近 0；这不等于“宇宙中没有任何能量”。

5. Work and Energy Problems / 做功与能量题

Knowledge Point 11: Bringing Like Charges Together Requires Positive External Work

Video: 01:02:57-01:08:39

若两个同号电荷最初相距无穷远，缓慢把它们移到间距 $d$ ：

U_{i} = 0

U_{f} = \frac{k q _{1} q _{2}}{d} > 0

因为移动得足够慢， $Δ K = 0$ ，所以：

W_{ext} = Δ U = \frac{k q _{1} q _{2}}{d}

不要再乘 2。系统中这一对电荷的 interaction energy 只计算一次。

Knowledge Point 12: Mechanical Energy Is Conserved When Only Conservative Forces Do Work

Video: 01:18:42-01:29:44

如果只有 electric force 这类 conservative force 做功：

K + U = constant

变化量形式：

Δ K + Δ U = 0

这不等于 $K + U = 0$ 。前者说总机械能保持某个常数；只有在那个常数恰好选成 0 时，才会得到 $K + U = 0$ 。

对于正试探电荷靠近负 source charge：

$U = k Qq / r$ 变得更负；
$Δ U < 0$ ；
electric force 做正功；
kinetic energy 增加同样大小。

做比较题时，比起分别求所有能量，常可直接比较 potential difference：

K_{f} - K_{i} = - (U_{f} - U_{i}) = U_{i} - U_{f}

Knowledge Point 13: Work Uses the Component of Displacement Parallel to Force

Video: 01:29:45-01:39:25

在 uniform electric field 中：

W = F \cdot L = F L cos θ

若粒子带负电，先用

F_{E} = q E

判断 electric force 与 field 方向相反。若粒子匀速移动，net force 为零，因此 external force 与 electric force 方向相反、大小相等。

这类题按四步做：

根据 charge sign 画出 $F_{E}$ 。
由 constant velocity 得到 $F_{ext} = - F_{E}$ 。
找所问 force 与 displacement 的夹角。
使用 $W = F L cos θ$ ，再连接 $W_{E} = - Δ U$ 或 $W_{ext} = Δ U$ 。

Work depends only on the displacement component parallel to the force.

6. Electric Potential / 电势

Knowledge Point 14: Electric Potential Is Potential Energy per Unit Charge

Video: 01:43:18-01:45:59

Electric Potential 定义为：

V = \frac{U}{q}

因此：

U = q V

单位：

1 V = 1 J/C

它与 electric field 的对应关系是：

E = \frac{F}{q}, V = \frac{U}{q}

Interaction quantity / 相互作用量	Background quantity / 背景量
electric force $F$	electric field $E = F / q$
electric potential energy $U$	electric potential $V = U / q$

Electric field tells how much force each unit charge would feel; electric potential tells how much potential energy each unit charge would have.

Knowledge Point 15: The Potential of a Point Charge Is $k Q / r$

对 source charge $Q$ 与 test charge $q$ ：

U = \frac{k Qq}{r}

除以 $q$ ：

V = \frac{k Q}{r}

因此：

positive source charge creates positive $V$ ；
negative source charge creates negative $V$ ；
$r \to \infty$ 时 $V \to 0$ 。

电势的正负不是方向。 $V$ 是 scalar，负号表示它低于选定的零电势 reference。

Knowledge Point 16: Electric Potential Adds Algebraically

Video: 01:45:34-01:53:13

多个点电荷在 P 点产生的总电势：

V (P) = i \sum \frac{k Q _{i}}{r _{i}}

因为 $V$ 是 scalar，不需要分解方向，也不需要 vector triangle；但必须保留每个 source charge 的正负号。

课堂的代入顺序值得保留：

V_{A} = \frac{k Q _{1}}{r _{1 A}} + \frac{k Q _{2}}{r _{2 A}}

若 $Q_{2} < 0$ ，仍先写“加上第二个电势”，然后把 $Q_{2}$ 的负值代入。这样比凭感觉直接写减号更不容易出错。

对于等量异号电荷 $+ Q$ 与 $- Q$ ，所有到两电荷距离相同的点满足：

V = \frac{k Q}{r} + \frac{k ( - Q )}{r} = 0

因此 perpendicular bisector 上的电势为零。但要注意：

Zero electric potential does not imply zero electric field.

中垂线上两个 field vectors 的某些分量会相加，所以 $E$ 一般不为零。 $V = 0$ 是 scalar cancellation； $E = 0$ 需要 vector cancellation。

Knowledge Point 17: Multi-Charge Potential Energy Counts Each Pair Once

Video: 01:39:26-01:43:17

如果 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ 已固定，再从无穷远处把 $Q_{3}$ 放到某位置，外力缓慢做功等于 $Q_{3}$ 的 potential energy：

U_{3} = \frac{k Q _{1} Q _{3}}{r _{13}} + \frac{k Q _{2} Q _{3}}{r _{23}}

若计算完整多电荷体系的总 potential energy，则要把所有 unordered pairs 各算一次：

U_{system} = i < j \sum \frac{k q _{i} q _{j}}{r _{ij}}

例如三个电荷：

U = \frac{k q _{1} q _{2}}{r _{12}} + \frac{k q _{1} q _{3}}{r _{13}} + \frac{k q _{2} q _{3}}{r _{23}}

不能把 $q_{1} q_{2}$ 和 $q_{2} q_{1}$ 都算，因为它们是同一对 interaction。

7. Potential of a Charged Ring / 带电圆环轴线电势

Knowledge Point 18: Scalar Integration Makes the Ring Potential Simpler Than the Ring Field

Video: 01:53:14-01:58:57

设 uniformly charged ring 半径为 $a$ ，总电荷为 $Q$ 。求轴线上距离圆心为 $x$ 的 P 点电势。

圆环上任意微元 $d q$ 到 P 点距离都相同：

r = x^{2} + a^{2}

微元产生的电势：

d V = \frac{k d q}{r}

因为 $r$ 对圆环上每个 $d q$ 都相同，可提出积分：

V = \int d V = \frac{k}{r} \int d q

而：

\int d q = Q

所以：

V (x) = \frac{k Q}{x ^{2} + a ^{2}}

若从 linear charge density 展开：

λ = \frac{Q}{2 π a}, d q = λ d s

则：

V = \frac{k}{x ^{2} + a ^{2}} \int_{0}^{2 π a} λ d s = \frac{k Q}{x ^{2} + a ^{2}}

与 Charged Ring 的 electric field 积分比较：

field 是 vector，横向分量成对抵消，只剩轴向分量；必须投影并积分；
potential 是 scalar，每个 $d V$ 直接代数相加，不需要分量分解。

Electric field requires vector addition; electric potential requires scalar addition.

这就是为什么同一个圆环， $V$ 的积分比 $E$ 的积分干净得多。

8. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文对应理解
Electric field is force per unit charge.	电场是单位电荷在该位置会受到的力。
Electric potential is potential energy per unit charge.	电势是单位电荷在该位置会具有的电势能。
The field and potential describe the background created by source charges.	场和势描述场源电荷在空间中建立的背景。
Conservative-force work is the negative change in potential energy.	保守力做正功时，势能减少同样大小。
Slow external work equals the change in potential energy.	缓慢外移且动能不变时，外力做功变成势能变化。
The sign of electric potential energy comes from the product of the charges.	电势能正负由 $q_{1} q_{2}$ 决定。
Zero potential is a reference, not necessarily a minimum.	零势能只是参考值，不一定是最小值。
Potential is a scalar, so contributions add algebraically.	电势是标量，贡献带符号直接相加。
Zero potential does not imply zero electric field.	电势为零不代表电场为零。
Count each interacting pair exactly once.	多电荷系统中每一对相互作用只算一次。
Symmetry makes every ring element the same distance from an axial point.	对称性让圆环上每个电荷微元到轴线上观察点等距。

9. Common Mistakes / 易错点

Mistake 1: Using $W = F d$ for Coulomb force over a long distance

Coulomb force 随 $r$ 改变，必须使用：

W = \int F \cdot d r

只有 uniform field 或足够小位移下力可视作常量时，才可直接写 $W = F d cos θ$ 。

Mistake 2: Adding an extra negative sign to $U = k q_{1} q_{2} / r$

正确公式：

U = \frac{k q _{1} q _{2}}{r}

异号电荷的负值已经来自 $q_{1} q_{2} < 0$ 。

Mistake 3: Confusing electric-force work with external work

W_{E} = - Δ U

若缓慢移动且 $Δ K = 0$ ：

W_{ext} = + Δ U

Mistake 4: Saying $K + U = 0$ whenever energy is conserved

正确是：

K + U = constant

或：

Δ K + Δ U = 0

Mistake 5: Treating potential as a vector

不要画 vector triangle，也不要分解 $V_{x}, V_{y}$ 。直接计算：

V = \sum \frac{k Q _{i}}{r _{i}}

Mistake 6: Concluding $E = 0$ from $V = 0$

$V$ 的正负贡献可能抵消，但 $E$ 的方向结构不同。等量异号点电荷的 perpendicular bisector 就是标准反例。

Mistake 7: Double-counting pair potential energy

$U_{12}$ 和 $U_{21}$ 是同一个 interaction，不是两份能量。

Mistake 8: Using Gauss’s law to solve every shape

Gauss’s law 永远成立，但 charged cube 等缺少足够对称性时不能把 $E$ 从积分中提出。

10. Problem-Solving Templates / 题型动作

A. Point-charge potential energy

Choose the reference, usually $U (\infty) = 0$ .
Keep charge signs in $q_{1} q_{2}$ .
Use $U = k q_{1} q_{2} / r$ .
For slow assembly, set $W_{ext} = Δ U$ .

B. Energy conservation with electric force

Confirm only conservative forces do work.
Write $K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}$ .
Substitute $U = k Qq / r$ with signs.
Solve for speed or kinetic energy.

C. Potential from multiple point charges

Measure $r_{i}$ from each source charge to the observation point.
Write one term $k Q_{i} / r_{i}$ per source.
Keep the signs of $Q_{i}$ .
Add algebraically.

D. Potential from a continuous charge distribution

Write $d V = k d q / r$ .
Express $d q$ using $λ d l$ , $σ d A$ , or $ρ d V$ .
Use symmetry to identify which quantities are constant.
Integrate scalarly; do not add unnecessary vector components.

11. Confusion / Questions

为什么 $E$ 是 vector，而 $V$ 是 scalar？
为什么 $W_{E} = - Δ U$ ，但缓慢移动时 $W_{ext} = + Δ U$ ？
为什么同号点电荷的 $U$ 为正、异号点电荷的 $U$ 为负？
为什么选 $U (\infty) = 0$ 不意味着零一定是最小势能？
为什么多电荷系统每一对 interaction 只计算一次？
为什么等量异号点电荷的中垂线上 $V = 0$ ，但 $E \neq = 0$ ？
为什么圆环电势积分不需要像圆环电场一样分解分量？
为什么 infinite sheet 的电场与距离无关，而 point charge 的电场按 $1/ r^{2}$ 衰减？

12. After-Class Compression / 课后压缩版

只记住八句话：

Conducting sphere 内部 $E = 0$ ；uniform insulating sphere 内部 $E \propto r$ 。
Infinite line charge 有 $E \propto 1/ r$ ；infinite sheet 有 $E = σ / (2 ϵ_{0})$ 。
Opposite parallel sheets 的场在板间叠加、外侧抵消。
$W_{E} = - Δ U$ ；缓慢外力做功满足 $W_{ext} = Δ U$ 。
两点电荷 $U = k q_{1} q_{2} / r$ ，正负由 $q_{1} q_{2}$ 决定。
Electric Potential 是 $V = U / q$ ；点电荷产生 $V = k Q / r$ 。
Electric field 是 vector；electric potential 是 scalar，直接带符号叠加。
带电圆环轴线上 $V = k Q / x^{2} + a^{2}$ ，因为每个 $d q$ 到观察点等距。

13. Connections / 知识网络

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AP电磁学第5次正课-电势差与电场电势关系 continues from $V = U / q$ to voltage, $V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} E \cdot d l$ , and $E = - \nabla V$ .

Core Physics

Density and Symmetry

Calculus Bridge

本节把 calculus 用在两个层次：积分 force 得到 potential-energy difference；积分 $d V$ 得到 continuous charge distribution 的总 potential。前者把“力”转成“能量”，后者把许多 tiny scalar contributions 累积成一个总电势。

知识脉络

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