L’Hôpital’s Rule

Core Sentence / 核心句

L’Hôpital’s Rule evaluates certain indeterminate ratios by comparing the local rates of change of numerator and denominator.

中文理解：洛必达法则不是符号技巧；共同零点附近，两个函数都像各自的切线，所以函数比值由斜率比值控制。

Formula / 公式

Under the theorem’s hypotheses, for forms such as $0/0$ or $\infty /\infty$:

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

When To Use / 什么时候用

先直接代入；只有确认是适用的 Indeterminate Form，并满足 differentiability 等条件后使用。

Watch Out / 易错点

• 上下分别求导，不使用 Quotient Rule。
• 使用后仍然是在求 limit。
• 新 ratio 可能仍需化简或再次应用。
• 不要 circularly 用它证明所依赖的 derivative formula。

Search and Source Mentions / 搜索与出现位置

Mentioned In / 出现位置

• 微积分BC第5次正课 · L’Hopital Gate
  • direct substitution must first establish an eligible indeterminate form
• Chapter 7 · Local Linear Reason
  • the shared $dx$ cancels from the two first-order changes
• Chapter 7 · General Rule
  • near a shared zero, the ratio is governed by the ratio of slopes

Connected Notes / 连接

• 微积分BC第5次正课-相关变化率线性近似与中值定理
• 07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions
• Limits
• Indeterminate Form
• Derivatives
• Tiny Nudges