微积分BC第3次正课 - 可导性、链式法则与隐函数求导

Reading Guide / 阅读说明

这节课从 微积分BC第2次正课-极限应用与导数入门 的 derivative definition 与 Product Rule 出发，先完成 Unit 2，再进入 Unit 3：

quotient rule
-> recognize derivative definitions
-> differentiability versus continuity
-> piecewise differentiability
-> function composition
-> chain rule
-> implicit differentiation
-> tangent slope on an implicit curve

本笔记以课堂 transcript 为核心，保留老师的推导顺序、代表性例题与判断方法；作业安排、考试年份和课堂管理话术不保留。原稿中的语音识别错误与口误集中列在 Fidelity Notes 中。

Reading Rule / 读法约定

• 英文术语和公式保留，解释以中文为主。
• 先识别函数的最外层结构，再选择 derivative rule。
• 例题重点是看到什么结构就启动什么方法。
• 3Blue1Brown 只使用相关笔记已有的 Wiki connection sections，没有重读完整正文。

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1. One-Sentence Mainline / 一句话主线

Differentiability asks whether one local linear description exists; the Chain Rule tracks that local change through nested functions, and implicit differentiation tracks it along a relation that ties variables together.

可导性问某点能否拥有唯一的局部线性描述；链式法则追踪变化穿过多层函数时如何传递；隐函数求导追踪变量为了维持同一个关系必须怎样一起变化。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 补完 Quotient Rule。
2. 识别 derivative definition 的两种标准外形。
3. 用 one-sided derivatives 判断 differentiability。
4. 建立 differentiability 与 continuity 的单向逻辑。
5. 对 piecewise function 先验连续，再验左右导数。
6. 识别 Function Composition 的 outer / inner layers。
7. 用 Chain Rule 逐层传递 tiny change。
8. 在抽象函数与混合规则题里计算导数。
9. 把 $y$ 看成 $y(x)$，进入 Implicit Differentiation。
10. 从 implicit relation 求 slope，再写 Tangent Line。

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Part A - Finish Unit 2 / 完成导数基础

3. Quotient Rule / 商法则

若

$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},g(x)\ne 0,$$

则

$$h^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}.$$

Low times derivative of high, minus high times derivative of low, over low squared.

下乘上导，减上乘下导，除以下平方。

关键是中间的减号和 denominator squared。顺序反过来，结果会差一个负号。

Abstract Example / 抽象例题

设 $h=f/g$，且

$$f^{\prime }(0)=4,g(0)=2,f(0)=3,g^{\prime }(0)=\pi .$$

则

$$h^{\prime }(0)=\frac{4(2)-3(\pi )}{2^2}=\frac{8-3\pi }{4}.$$

抽象题无需求出 $f$ 与 $g$；四个已知量正好对应公式的四个槽位。

Concrete Example / 具体例题

$$y=\frac{x+1}{x^2+1}.$$ $$y^{\prime }=\frac{1(x^2+1)-(x+1)(2x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1{)}^2}.$$

Watch Out / 易错点

• denominator 必须整体平方。
• numerator 是两项之差。
• 先把结构写对，再展开化简。

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4. Two Forms of the Derivative Definition / 导数定义的两种外形

Increment form / 增量形式

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

$h$ 也可写成 $\Delta x$、$t$ 或其他 dummy variable。名字不重要，关键是它趋近 $0$。

Nearby-point form / 邻点形式

$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

两式表达同一件事：计算靠近 $a$ 的 secant slope，再让邻点趋近 $a$。

increment form:
a -> a+h, while h -> 0
 
nearby-point form:
x -> a, while x-a -> 0

Recognition Examples / 识别例题

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\cos x.$$

在 $x=\frac{\pi }{3}$：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (\frac{\pi }{3}+h)-\sin (\frac{\pi }{3})}{h}=\frac{1}{2}.$$ $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (4+h)-\ln 4}{h}=(\ln x{)}^{\prime }{|}_{x=4}=\frac{1}{4}.$$

若 $f(x)=\ln x$：

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f^{\prime }(3)=\frac{1}{3}.$$

Reverse Recognition / 反向识别

若

$$f^{\prime }(a)=2\sin a,$$

则原函数只能确定到 additive constant：

$$f(x)=-2\cos x+C.$$

这连接到 Antiderivative：相同 derivative 对应一族只差常数的函数。

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5. What Differentiable Means / 可导到底是什么意思

函数在 $x=c$ 可导，意味着左右得到同一个有限 slope：

$$f_{-}^{\prime }(c)=f_{+}^{\prime }(c).$$

也就是

$$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h},$$

且共同值是有限实数。它表示函数在该点附近有唯一的 best local linear description。

6. Three Ways Differentiability Can Fail / 三种常见不可导

Discontinuity / 不连续

若函数在 $c$ 不连续，它一定不可能在 $c$ 可导。

Corner or cusp / 折角或尖点

例如

$$f(x)=|x-2|.$$

在 $x=2$：

$$f_{-}^{\prime }(2)=-1,f_{+}^{\prime }(2)=1.$$

左右 slope 不同，所以没有唯一切线斜率。

Vertical tangent / 竖直切线

例如

$$f(x)=x^{1/3},f^{\prime }(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}(x\ne 0).$$

当 $x\to 0$ 时 slope 无界。图像连续，但 derivative 不作为有限实数存在。

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7. Differentiability and Continuity / 可导与连续

核心关系只有单向：

$$\boxed{\text{differentiable at }c⟹\text{continuous at }c}.$$

反方向不成立：

$$\text{continuous at }c\text{centernot}⟹\text{differentiable at }c.$$

课堂的“两层楼”比喻：

first floor: continuity
second floor: differentiability
 
reaching floor 2 means you passed floor 1
reaching floor 1 does not guarantee floor 2

逆否命题是：

$$\text{discontinuous at }c⟹\text{not differentiable at }c.$$

Continuity keeps the graph connected locally; differentiability additionally requires one consistent local direction.

连续只保证局部没有断开；可导还要求局部只有一个一致方向。

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8. Piecewise Differentiability Workflow / 分段函数可导流程

在拼接点 $x=c$：

Step 1: Check continuity / 先验连续

$$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=f(c).$$

若失败，立刻得出 not differentiable。

Step 2: Match one-sided derivatives / 再验左右导数

$$f_{-}^{\prime }(c)=f_{+}^{\prime }(c).$$

只有两个条件都满足，才 differentiable。

Example A: Continuous but not differentiable

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+5,& x<-1,\\ -x^2+3,& x\ge -1.\end{array}$$

拼接值都等于 $2$，所以 continuous。但

$$f_{-}^{\prime }(-1)=3,f_{+}^{\prime }(-1)=2,$$

所以 not differentiable。

Example B: Discontinuous, so stop

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+5,& x<-1,\\ -x^2+6,& x\ge -1.\end{array}$$

在 $x=-1$，两边函数值分别是 $3$ 与 $5$。不连续，因此直接判定不可导；即使两边 derivative expressions 碰巧相等，也无法补救断裂。

Parameter Example / 参数例题

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2+3,& x<1,\\ ax+b,& x\ge 1.\end{array}$$

在 $x=1$ differentiable 要求：

$$a+b=5$$

和

$$a=4.$$

所以

$$\boxed{a=4,b=1}.$$

第一条方程让位置接上，第二条让方向接上。

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Part B - Begin Unit 3 / 复合函数与隐函数求导

9. Recognize Function Composition / 识别复合函数

Function Composition 的本质是一个函数的输出成为另一个函数的输入：

$$x\stackrel{g}{\to }g(x)\stackrel{f}{\to }f(g(x)).$$

Expression	Outer function	Inner function
$(\sin x{)}^6$	$u^6$	$u=\sin x$
$\sin (x^2)$	$\sin u$	$u=x^2$
$\cos (2x)$	$\cos u$	$u=2x$
$\ln (-x)$	$\ln u$	$u=-x$

“输入位置不是单独的 $x$”是实用 trigger，但真正判断依据是函数层级。

Read a composite function from the outside in, but preserve the inside while differentiating each layer.

识别时从外向内拆；求导每一层时先保留里面，再乘下一层的导数。

10. Chain Rule / 链式法则

若

$$y=f(g(x)),$$

则

$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).$$

Leibniz notation 显示变化传递：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$

tiny input change 先经过 inner function 变成 $du$，再经过 outer function 变成 $dy$；最终 local scale factor 是两层倍率的乘积。

Differentiate the outside at the unchanged inside, then multiply by the derivative of the inside.

外导内不动，再乘内导。

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11. One-Layer Examples / 单层例题

$$y=\sqrt{x^2+1}=(x^2+1{)}^{1/2}$$ $$y^{\prime }=\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-1/2}(2x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$ $$\frac{d}{dx}(3x+2{)}^5=5(3x+2{)}^4(3)=15(3x+2{)}^4.$$ $$\frac{d}{dx}\cos (2x)=-\sin (2x)(2)=-2\sin (2x).$$ $$\frac{d}{dx}\ln (2x)=\frac{1}{2x}(2)=\frac{1}{x}.$$

在 $x>0$ 上也可用 $\ln (2x)=\ln 2+\ln x$ 交叉验证。

12. Multi-Layer Chain Rule / 多层链式法则

设

$$y=[\sin (x^2){]}^3.$$

结构：

x -> x^2 -> sin(x^2) -> [sin(x^2)]^3

逐层求导：

$$y^{\prime }=3[\sin (x^2){]}^2\cdot \cos (x^2)\cdot 2x=6x{\sin }^2(x^2)\cos (x^2).$$

outer cube、sine layer、inner square 各贡献一个 derivative factor。

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13. Abstract Chain Rule / 抽象链式法则

若 $h(x)=f(g(x))$，且

$$g(1)=3,g^{\prime }(1)=-2,f^{\prime }(3)=7,$$

则

$$h^{\prime }(1)=f^{\prime }(g(1))g^{\prime }(1)=f^{\prime }(3)(-2)=-14.$$

x=1
-> g(1)=3
-> look up f'(3)=7
-> multiply by g'(1)=-2

若没有 $f$ 的具体公式：

$$\frac{d}{dx}f(x^2-1)=f^{\prime }(x^2-1)\cdot 2x.$$

答案保留 $f^{\prime }$ 是正确的。

14. Mixed Rules / 混合规则

设

$$F(x)=e^{2x}(x^3+1).$$

最外层是 product，所以先用 Product Rule；$e^{2x}$ 内部再用 Chain Rule：

$$F^{\prime }(x)=2e^{2x}(x^3+1)+e^{2x}(3x^2).$$

在 $x=2$：

$$F^{\prime }(2)=2e^4(9)+e^4(12)=30e^4.$$

sum outside       -> sum rule
product outside   -> product rule first
quotient outside  -> quotient rule first
composition       -> chain rule layer-by-layer

规则可以嵌套，但第一步由最外层结构决定。

若 $f(x)=x^2-4$：

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=2g(x)g^{\prime }(x).$$

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15. What Implicit Differentiation Is / 隐函数求导是什么

有些曲线由 relation 定义：

$$F(x,y)=0.$$

Implicit Differentiation 不要求先解出 $y$；直接对关系两边关于 $x$ 求导，并把

$$y=y(x)$$

记在心里。因此

$$\frac{d}{dx}(y^n)=n{y}^{n-1}\frac{dy}{dx}.$$

多出来的 $\frac{dy}{dx}$ 来自 Chain Rule。

Implicit differentiation finds how the variables must change together so their relation remains true.

隐函数求导求的是：为了让原关系继续成立，变量必须以什么局部比例一起变化。

16. Standard Implicit Workflow / 标准流程

1. 对 equation 两边同时关于 $x$ 求导。
2. 遇到 $y$ 的函数，使用 Chain Rule 并带出 $y^{\prime }$。
3. 遇到 $xy$ 等乘积，使用 Product Rule。
4. 把所有含 $y^{\prime }$ 的项收集到一边。
5. 提取并解出 $y^{\prime }$。
6. 若给定 point，最后再代入。
7. 若要求 tangent line，用 point-slope form。

differentiate
-> attach y' to every differentiated y-layer
-> collect y'
-> solve
-> substitute point
-> write tangent line

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17. Basic Implicit Examples / 基础隐函数例题

Example 1

$$y^2=x^2+\sin y.$$ $$2y{y}^{\prime }=2x+\cos y{y}^{\prime }.$$ $$(2y-\cos y)y^{\prime }=2x.$$ $$\boxed{y^{\prime }=\frac{2x}{2y-\cos y}}.$$

$\sin y$ 的 derivative 不只有 $\cos y$，还要乘 $y^{\prime }$。

Example 2

$$y^3+y=x^2.$$ $$3y^2{y}^{\prime }+y^{\prime }=2x.$$ $$\boxed{y^{\prime }=\frac{2x}{3y^2+1}}.$$

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18. Tangent Line on an Implicit Curve / 隐曲线切线

考虑

$$x^2-3xy=10$$

在点 $(1,-3)$ 的 tangent line。

因为

$$\frac{d}{dx}(xy)=x{y}^{\prime }+y,$$

所以

$$2x-3(x{y}^{\prime }+y)=0.$$

解出

$$y^{\prime }=\frac{2x-3y}{3x}.$$

在 $(1,-3)$：

$$y^{\prime }=\frac{2(1)-3(-3)}{3(1)}=\frac{11}{3}.$$

切线为

$$\boxed{y+3=\frac{11}{3}(x-1)}.$$

不要在求导前代点，否则会把正在变化的 $x$、$y$ 过早变成常数。

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19. Logarithmic Implicit Relation / 对数型隐式关系

课堂例题求导后得到

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}{y}^{\prime }=y^{\prime }.$$

在 $(4,4)$：

$$\frac{1}{4}-\frac{1}{4}{y}^{\prime }=y^{\prime },$$

所以

$$\boxed{y^{\prime }=\frac{1}{5}}.$$

关键是

$$\frac{d}{dx}\ln y=\frac{1}{y}{y}^{\prime }.$$

20. Exponential Implicit Relation / 指数型隐式关系

考虑课堂最后的关系

$$e^{xy}-y^2=e$$

在 $\left(\frac{1}{2},2\right)$。

右边 $e$ 是 constant，derivative 为 $0$。左边第一项同时使用 Chain Rule 与 Product Rule：

$$\frac{d}{dx}{e}^{xy}=e^{xy}(x{y}^{\prime }+y).$$

于是

$$e^{xy}(x{y}^{\prime }+y)-2y{y}^{\prime }=0.$$

代入点，且 $xy=1$：

$$e\left(\frac{1}{2}{y}^{\prime }+2\right)-4y^{\prime }=0.$$ $$\left(4-\frac{e}{2}\right)y^{\prime }=2e.$$

因此

$$\boxed{y^{\prime }=\frac{4e}{8-e}}.$$

这个例子同时检查：

• $e$ 是常数，$e^{u(x)}$ 是函数。
• exponent $xy$ 的 derivative 要用 Product Rule。
• exponential outer layer 用 Chain Rule。

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21. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文记忆
A derivative is the best local linear description of change.	导数是某点附近最好的线性变化描述。
Differentiability requires a unique finite local slope.	可导要求左右得到同一个有限局部斜率。
Differentiability implies continuity, but not conversely.	可导一定连续；连续不保证可导。
Continuity joins position; differentiability also joins direction.	连续把位置接上，可导还要把方向接上。
The Chain Rule multiplies local rates through function layers.	链式法则把每一层的局部倍率相乘。
Differentiate the outside at the unchanged inside, then multiply by the inside derivative.	外导内不动，再乘内导。
Implicit differentiation preserves a relation while variables change together.	隐函数求导描述变量如何一起变化以维持关系。
Substitute the point only after deriving the slope formula.	先求斜率公式，最后才代点。
The outermost operation chooses the first rule.	最外层运算决定第一条规则。

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22. Common Failure Modes / 常见错误

Quotient Rule

$$\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

不要漏负号，也不要漏 denominator squared。

Derivative definition

不要把 $h$ 的名字当成固定要求。识别的是 nearby secant slope 的 limit。

Differentiability

• 只检查 continuity 不够。
• 只比较左右导数也不够；必须先连续。
• vertical tangent 不等于 ordinary finite derivative。

Chain Rule

• 漏 inner derivative。
• outer derivative 求完后改变 inner expression。
• 多层函数只处理最外一层。

Implicit Differentiation Errors

• 对 $y^n$ 求导时漏 $y^{\prime }$。
• 对 $xy$ 写成 $x{y}^{\prime }$，漏掉 $+y$。
• 先代点再求导。
• 把常数 $e$ 和函数 $e^{xy}$ 混为一谈。

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23. Fidelity Notes and Corrections / 原稿校正

1. 原稿在反向识别 $f^{\prime }(x)=2\sin x$ 时出现类似 “cos 2x” 的识别；正确的一族原函数是

   $$f(x)=-2\cos x+C.$$

2. 原稿在 implicit tangent example 中出现 “$10/3$” 或缺项；由 $x^2-3xy=10$ 正确求得的 slope 是 $11/3$。

3. 原稿把部分符号识别为中文近音词。本笔记按函数结构还原为 $e^{2x}$、$e^{xy}$、$y^{\prime }$。

4. “连续就可导”不是正确命题。标准关系是 differentiable $\Rightarrow$ continuous。

5. derivative 反推原函数时必须保留 additive constant $C$，除非有初值。

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24. Video Companion / 搭配课堂录像

Approx. time	Topic	What to watch for
00:46-03:14	Review	derivative definition 与上一课规则
03:14-11:39	Quotient Rule	公式槽位、减号、分母平方
11:39-26:40	Definition recognition	两种 difference quotient 外形
26:40-56:51	Differentiability	corner、vertical tangent、continuity logic
40:00-56:51	Piecewise functions	先连续、再左右导数
56:51-01:10:00	Function composition	outer / inner function
01:10:00-01:31:39	Chain Rule	单层、多层、抽象与混合规则
01:31:39-end	Implicit Differentiation	带出 $y^{\prime }$、收集、代点、切线

回看时优先停在“为什么使用这条规则”的转折处，而不只抄最终式子。

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25. Decision Maps / 做题决策图

Is the function differentiable at a join?

check left/right value or limit
-> continuous?
   no  -> not differentiable
   yes -> compare one-sided derivatives
          unequal/unbounded -> not differentiable
          equal finite      -> differentiable

Which derivative rule comes first?

inspect outermost operation
  + or -   -> sum rule
  product  -> product rule
  quotient -> quotient rule
  nested function -> chain rule
 
then recurse into each part

Implicit Differentiation Decision Map

relation in x and y
-> differentiate both sides
-> every differentiated y-layer brings y'
-> collect y'
-> solve
-> substitute point
-> tangent line

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26. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

Formal course branch / 正课分支

• 微积分BC第2次正课-极限应用与导数入门 提供 derivative definition、basic formulas 与 Product Rule。
• 微积分BC第4次正课-反函数高阶导数与运动应用 接着完成 inverse derivatives 与 higher derivatives，并把导数用于 tangent、motion 和 related rates。
• Derivatives 在本课具体化为 definition recognition 和 differentiability。
• Function Composition 决定 outer / inner layers，Chain Rule 把各层 local rates 相乘。
• Implicit Curve 描述 relation-defined curve，Implicit Differentiation 从 relation 中提取 tangent slope。
• Tangent Line 是 differentiability 与 implicit slope 落到图像上的对象。
• Product Rule 与 Chain Rule 在 $e^{xy}$、$xy$ 和复杂复合函数中共同出现。

3Blue1Brown bridge / 视觉直觉分支

• 02 - The Paradox of the Derivative：导数是 nearby secant slopes 的 limit，也是 local linear description。
• 04 - Visualizing the Chain Rule and Product Rule：tiny change 经过 function layers 时，local rates 为什么相乘。
• 06 - Implicit Differentiation, What’s Going On Here：implicit relation 如何限制允许的 tiny direction。

这些连接来自现有笔记的 Wiki connection sections；本次未读取其完整正文。

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27. Confusion / Questions

• 能否不看提示写出 Quotient Rule 的正确顺序和负号？
• 能否把 derivative definition 的两种形式互相改写？
• 能否解释为什么 continuous 不足以推出 differentiable？
• 对 piecewise function，是否始终先检查 continuity？
• 能否从外到内标出 composite function 的每一层？
• 多层 Chain Rule 中，是否每一层的 derivative 都出现一次？
• 对 $y^n$、$\sin y$、$\ln y$ 求导时，是否自动补上 $y^{\prime }$？
• 对 $xy$ 求导时，是否记得 $x{y}^{\prime }+y$？
• 能否在代点前先求出完整 slope expression？

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28. After-Class Compression / 看完压缩版

quotient rule:
(f/g)' = (f'g - fg') / g^2
 
derivative definition:
f'(a) = lim h->0 [f(a+h)-f(a)]/h
      = lim x->a [f(x)-f(a)]/(x-a)
 
differentiable at c:
same finite left and right derivative
 
differentiable -> continuous
continuous -/-> differentiable
 
piecewise join:
continuity first, derivative match second
 
chain rule:
[f(g(x))]' = f'(g(x))g'(x)
outer derivative at unchanged inner
times inner derivative
 
implicit differentiation:
treat y as y(x)
d(y^n)/dx = ny^(n-1)y'
differentiate -> collect y' -> solve -> substitute

29. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• AP Calculus BC
• 微积分BC第2次正课-极限应用与导数入门
• 微积分BC第4次正课-反函数高阶导数与运动应用
• Derivatives
• Limits
• Average Rate of Change
• Tangent Line
• Product Rule
• Power Rule
• Derivative Formulas
• Antiderivative
• Function Composition
• Chain Rule
• Implicit Curve
• Implicit Differentiation
• Related Rates
• Natural Logarithm
• 02 - The Paradox of the Derivative
• 04 - Visualizing the Chain Rule and Product Rule
• 06 - Implicit Differentiation, What’s Going On Here