RC Circuits

Core Sentence / 核心句

An RC circuit changes exponentially because the capacitor voltage depends on the charge already stored.

中文理解：电容储存的电荷越多，它自身建立的电压越大，后续充电电流越小，因此变化速度不断下降，形成 exponential response。

Time Constant / 时间常数

$$\boxed{\tau =R_{\text{seen}}C}$$

$R_{\text{seen}}$ 是 capacitor terminals 看到的 equivalent resistance。

The time constant sets the pace of the transition, not the final value.

Charging / 充电

初始未充电、final voltage 为 $\mathcal{E}$：

$$\boxed{q(t)=C\mathcal{E}\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$$ $$\boxed{V_C(t)=\mathcal{E}\left(1-e^{-t/\tau }\right)}$$ $$\boxed{i(t)=\frac{\mathcal{E}}{R_{\text{seen}}}{e}^{-t/\tau }}$$

Discharging / 放电

初始 voltage 为 $V_0$：

$$\boxed{q(t)=Q_0{e}^{-t/\tau }}$$ $$\boxed{V_C(t)=V_0{e}^{-t/\tau }}$$ $$\boxed{|i(t)|=\frac{V_0}{R_{\text{seen}}}{e}^{-t/\tau }}$$

One-Tau Rule / 一个时间常数

当 $t=\tau$：

• charging quantity reaches $1-e^{-1}\approx 63.2\%$ of its final change；
• decaying quantity retains $e^{-1}\approx 36.8\%$ of its initial value。

Switching Rules / 开关规则

$$\boxed{V_C(0^{+})=V_C(0^{-})}$$

• initially uncharged capacitor at the first instant: approximately a short circuit；
• fully charged capacitor in DC steady state: open circuit；
• capacitor voltage cannot jump；
• current may jump if circuit topology changes。

Differential-Equation Bridge / 微分方程连接

charging loop：

$$\mathcal{E}-iR-\frac{q}{C}=0$$

with $i=dq/dt$：

$$R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\mathcal{E}$$

这是一阶 linear differential equation。

When To Use / 什么时候用

看到 resistor + capacitor、switch opens/closes、charging/discharging、transient、steady state、time constant、initial/final current 或 exponential graph，就进入 RC framework。

Watch Out / 易错点

• $\tau$ 不是“完全充满时间”。
• charging 在 $\tau$ 时是 $63.2\%$，不是 $36.8\%$。
• charging current 在 $\tau$ 时剩 $36.8\%$。
• 连续的是 capacitor voltage，不是 current。
• 复杂网络要使用 $R_{\text{seen}}$，不是随意把所有 resistors 相加。
• 开关题必须分别分析 $0^{-}$、$0^{+}$ 与 $t\to \infty$。

Search and Source Mentions / 搜索与出现位置

Mentioned In / 出现位置

• 第10次正课 · initial and final capacitor behavior
• 第10次正课 · charging differential equation
• 第10次正课 · time constant
• 第10次正课 · switching continuity

Connected Notes / 连接

• AP电磁学第10次正课-等效电容与RC电路
• AP电磁学第9次正课-电功率电表与基尔霍夫定律
• Capacitors
• Electric Circuits
• Kirchhoff’s Rules
• Electric Power
• Derivatives
• Differential Equations
• Exponential Functions