微积分BC第4次正课 - 反函数、高阶导数与运动应用

Reading Guide / 阅读说明

本课承接 微积分BC第3次正课-可导性链式法则与隐函数求导，先完成 Unit 3 的最后两块，再进入 derivative applications：

inverse-function derivative
-> inverse-trigonometric derivatives
-> higher-order derivatives
-> derivative meaning in context
-> tangent line
-> position / velocity / acceleration / speed
-> related rates preview

本笔记保留课堂的思考顺序和代表性例题，不记录考试频率、选项统计、作业安排与管理话术。原稿中的 ASR 错位和课堂口误均按方程重新验算。

Reading Rule / 读法约定

• 英文术语和核心句保留，中文解释逻辑。
• 每个公式都连接到 point correspondence、units 或 graph meaning。
• 运动学先确认“现在拿到的是什么函数或图”，再判断正负与增减。
• 3Blue1Brown 只使用相关笔记的 Wiki connection sections，没有重读完整正文。

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1. One-Sentence Mainline / 一句话主线

Derivative rules compute local change; derivative applications interpret that change as reciprocal slope, repeated change, tangent direction, motion, or linked time rates.

求导规则负责算出局部变化；导数应用则把这个结果解释成反函数的倒数斜率、反复变化、切线方向、运动状态或相互关联的时间变化率。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 用坐标交换理解 inverse functions。
2. 推出 inverse derivative 的 reciprocal-slope formula。
3. 在 table、formula 和 graph data 中寻找对应点。
4. 整理 inverse trigonometric derivatives。
5. 认识二阶、三阶与第 $n$ 阶导数记号。
6. 对 ordinary 与 implicit functions 重复求导。
7. 解释 derivative 的 context meaning 与 units。
8. 由 derivative slope 写 Tangent Line，或由 slope 反求 point。
9. 建立 One-Dimensional Motion 中 position、velocity、acceleration、speed 的关系。
10. 用 graph 和 sign 判断 direction、velocity change 与 speed change。
11. 用 common time variable 开始 Related Rates。

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Part A - Finish Unit 3 / 完成求导体系

3. Inverse Functions Exchange Coordinates / 反函数交换坐标

若

$$g=f^{-1},$$

则

$$f(a)=b⟺g(b)=a.$$

因此原函数上的点 $(a,b)$ 会变成反函数上的点 $(b,a)$。

on f:       input a -> output b
on f^(-1): input b -> output a

注意：

$$f^{-1}(x)$$

表示 inverse function，不表示 $1/f(x)$。

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4. Inverse-Function Derivative / 反函数求导

由恒等关系

$$f(g(x))=x$$

对 $x$ 求导：

$$f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=1.$$

所以

$$\boxed{g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(g(x))}}.$$

若 $f(a)=b$，则

$$\boxed{(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}}.$$

Core meaning / 核心意义

反函数把 input 与 output 交换，所以局部倍率也取 reciprocal：

$$\frac{dy}{dx}⟷\frac{dx}{dy}.$$

Find the matching input on the original function first; only then take the reciprocal of its derivative.

先在原函数上找到对应输入，再对那个位置的导数取倒数。

Two-step routine / 两步法

1. 用 $f(a)=b$ 找到 inverse input $b$ 对应的 original input $a$。
2. 计算 $1/f^{\prime }(a)$，不是 $1/f^{\prime }(b)$。

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5. Inverse-Derivative Examples / 反函数导数例题

Table Example / 表格题

设 $g=f^{-1}$，要求 $g^{\prime }(4)$。表格给出

$$f(-2)=4,f^{\prime }(-2)=4.$$

因为 inverse 上的 $(4,-2)$ 对应 original 上的 $(-2,4)$：

$$g^{\prime }(4)=\frac{1}{f^{\prime }(-2)}=\frac{1}{4}.$$

Formula Example / 公式题

设 $g=f^{-1}$，且

$$g(3)=1,f^{\prime }(1)=6.$$

则

$$g^{\prime }(3)=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{1}{6}.$$

Graph-point Example / 图像点题

若 graph of $f$ 经过 $(0,1)$，则 graph of $f^{-1}$ 经过 $(1,0)$。若 $f^{\prime }(0)=3$：

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{3}.$$

Watch Out / 易错点

• $f^{-1}$ 不是 reciprocal function。
• reciprocal 的对象是 derivative value，不是 function value。
• inverse input 与 original input 通常不是同一个数字。
• 若 $f^{\prime }(a)=0$，倒数公式在 ordinary finite-slope 意义下失效。

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6. Inverse Trigonometric Derivatives / 反三角函数导数

需要识别的四个公式：

$$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1,$$ $$\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},|x|<1,$$ $$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2},$$ $$\frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}$$

（最后一个符号依课程采用的 arccot convention）。

Notation warning / 记号提醒

$${\tan }^{-1}x=\arctan x,$$

这里的 $-1$ 表示 inverse function，不表示

$$\frac{1}{\tan x}.$$

Direct-use Example / 直接使用

若

$$y=\arctan x+2\sqrt{x},$$

则

$$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}+2\left(\frac{1}{2}{x}^{-1/2}\right)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

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7. Higher-Order Derivatives / 高阶导数

Higher-Order Derivatives 是对前一阶 derivative 再求导：

$$f\to f^{\prime }\to f^{\prime \prime }\to f^{\prime \prime \prime }\to \cdots .$$

常见记号：

$$y^{\prime \prime },f^{\prime \prime }(x),\frac{d^{2}y}{d{x}^2},$$ $$y^{\prime \prime \prime },f^{\prime \prime \prime }(x),\frac{d^{3}y}{d{x}^3},$$ $$y^{(n)},f^{(n)}(x),\frac{d^{n}y}{d{x}^n}.$$

A higher-order derivative is not a new operation; it repeats the derivative question on the previous result.

高阶导数不是新运算，而是继续追问“上一阶结果怎样变化”。

注意 $f^{(4)}$ 表示 fourth derivative，不是 $[f(x){]}^4$。

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8. Repeated Chain Rule Example / 重复使用链式法则

设

$$y=\sin (2x).$$

则

$$y^{\prime }=2\cos (2x),$$ $$y^{\prime \prime }=-4\sin (2x),$$ $$y^{\prime \prime \prime }=-8\cos (2x).$$

每次重新求导时，inner derivative $2$ 都会再次出现。

sin(2x)
-> 2 cos(2x)
-> -4 sin(2x)
-> -8 cos(2x)

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9. Third-Derivative Example / 三阶导数例题

设

$$y=\cos x-\ln (2x).$$

在 $x>0$：

$$y^{\prime }=-\sin x-\frac{1}{x},$$ $$y^{\prime \prime }=-\cos x+\frac{1}{x^2},$$ $$y^{\prime \prime \prime }=\sin x-\frac{2}{x^3}.$$

处理 reciprocal powers 时先改写：

$$\frac{1}{x}=x^{-1},\frac{1}{x^2}=x^{-2}.$$

这样每一阶都能直接使用 Power Rule。

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10. Second Derivative of an Implicit Function / 隐函数二阶导

设

$$y^3-xy=2.$$

第一次求导：

$$3y^2{y}^{\prime }-(x{y}^{\prime }+y)=0.$$ $$y^{\prime }(3y^2-x)=y.$$ $$y^{\prime }=\frac{y}{3y^2-x}.$$

对这个 quotient 再求导：

$$y^{\prime \prime }=\frac{y^{\prime }(3y^2-x)-y(6y{y}^{\prime }-1)}{(3y^2-x{)}^2}.$$

在 $(-1,1)$：

$$y^{\prime }=\frac{1}{3(1{)}^2-(-1)}=\frac{1}{4}.$$

所以

$$y^{\prime \prime }=\frac{\frac{1}{4}(4)-1\left(6\cdot 1\cdot \frac{1}{4}-1\right)}{4^2}=\frac{1-\frac{1}{2}}{16}=\boxed{\frac{1}{32}}.$$

Missing-value principle / 缺什么补什么

代入 $x,y$ 后，二阶导表达式通常仍含 $y^{\prime }$。要先用一阶导公式求出该点的 $y^{\prime }$，再代入二阶导。

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11. Higher Derivative of an Abstract Function / 抽象函数高阶导

若

$$f^{\prime }(x)=[f(x){]}^3+3,f(1)=2,$$

则

$$f^{\prime \prime }(x)=3[f(x){]}^2{f}^{\prime }(x).$$

先求

$$f^{\prime }(1)=2^3+3=11.$$

再代入：

$$f^{\prime \prime }(1)=3(2^2)(11)=\boxed{132}.$$

这里 $f(x)$ 是 inner function，因此对 $[f(x){]}^3$ 求导必须乘 $f^{\prime }(x)$。

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Part B - Begin Unit 4 / 导数的情境应用

12. What a Derivative Means in Context / 导数的文字意义

若 $F(t)$ 表示某个 quantity，那么

$$F^{\prime }(t)$$

表示这个 quantity 对时间的 instantaneous rate of change。

最稳的解释方法：

identify exactly what F means
-> keep that meaning unchanged
-> add "rate of change"
-> state the input time
-> state the value and derivative units

The derivative keeps the original quantity and adds how fast it is changing with respect to the input.

导数不替换原变量的意义，而是在原意义上增加“它相对于输入变化得多快”。

Example: Height / 高度

若 $H(t)$ 是 ride 开始后 $t$ minutes 时乘客离地高度，则

$$H^{\prime }(7.5)=15.708$$

表示：在 $t=7.5$ minutes 时，乘客高度正以每分钟 $15.708$ 个高度单位的 instantaneous rate 增加。

$7.5$ 是时间，不是高度。

A rate can itself change / 变化率也能再变化

若 $R(t)$ 本身表示 water leaving a tank 的 rate，则 $R^{\prime }(3)$ 是：

the rate of change of the rate at which water leaves the tank at $t=3$.

“rate of a rate” 并不重复，它对应 Higher-Order Derivatives 的现实含义。

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13. Units of a Derivative / 导数单位

若

$$F(t)\text{ has units }U,t\text{ has units }T,$$

则

$$F^{\prime }(t)\text{ has units }\frac{U}{T}.$$

如果 $F(t)$ 本身已经是 cubic feet per minute，而 $t$ 是 minutes，则

$$F^{\prime }(t)\text{ has units }\frac{\text{cubic feet}}{{\text{minute}}^2}.$$

Numerical approximation from a table / 表格近似

若 $t=3$ 位于 $1$ 和 $5$ 之间，可用 centered secant approximation：

$$F^{\prime }(3)\approx \frac{F(5)-F(1)}{5-1}.$$

课堂数据得到约

$$F^{\prime }(3)\approx \mathrm{1.35.}$$

解释必须同时包含：

1. 原 quantity 是什么；
2. $t=3$ 的时刻；
3. increasing 或 decreasing；
4. 数值；
5. derivative units。

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14. Tangent-Line Equation / 切线方程

Tangent Line 的 point-slope form：

$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a).$$

需要两个信息：

slope: f'(a)
point: (a,f(a))

Example

$$f(x)=x^2+2x$$

在 $x=1$：

$$f^{\prime }(x)=2x+2,f^{\prime }(1)=4.$$

切点：

$$(1,f(1))=(1,3).$$

所以

$$y-3=4(x-1)$$

或

$$\boxed{y=4x-1}.$$

point-slope form 通常比先写 $y=kx+b$ 更直接。

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15. Parallel Tangent / 平行切线

平行线具有相同 slope。

设

$$g(x)=x^2+bx,$$

并要求 $x=-1$ 处的 tangent line 平行于经过 $(0,-2)$ 与 $(3,4)$ 的直线。

参考直线 slope：

$$m=\frac{4-(-2)}{3-0}=2.$$

而

$$g^{\prime }(x)=2x+b,$$

所以

$$g^{\prime }(-1)=-2+b=2.$$

因此

$$\boxed{b=4}.$$

这类题的桥梁是：

$$\text{parallel}⟹\text{equal slopes}⟹\text{derivative value}.$$

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16. Find a Point From a Given Tangent Slope / 由斜率反求点

考虑 implicit curve

$$2x-2y=3+\cos y,-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}.$$

寻找 tangent slope 为 $1$ 的点。

求导：

$$2-2y^{\prime }=-\sin y{y}^{\prime }.$$ $$2=(2-\sin y)y^{\prime }.$$ $$y^{\prime }=\frac{2}{2-\sin y}.$$

令 $y^{\prime }=1$：

$$\frac{2}{2-\sin y}=1⟹\sin y=0.$$

由给定 domain：

$$y=0.$$

代回原式：

$$2x=3+\cos 0=4,$$

所以

$$\boxed{(x,y)=(2,0)}.$$

这里是“已知 point 求 slope”的逆过程：

differentiate relation
-> set derivative equal to given slope
-> solve y
-> return to original relation
-> solve x

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Part C - One-Dimensional Motion / 一维运动

17. Four Motion Quantities / 四个运动量

One-Dimensional Motion 的基本链：

$$\text{position }x(t)\stackrel{d/dt}{\to }\text{velocity }v(t)\stackrel{d/dt}{\to }\text{acceleration }a(t).$$

即

$$v(t)=x^{\prime }(t),$$ $$a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t).$$

speed 是 velocity 的 magnitude：

$$\text{speed}=|v(t)|.$$

Meaning table / 含义表

Quantity	Meaning	Can be negative?
position $x(t)$	相对原点的位置	yes
velocity $v(t)$	position 的变化率，带方向	yes
acceleration $a(t)$	velocity 的变化率	yes
speed $	v(t)	$

Velocity tells direction and rate; speed keeps only the magnitude.

velocity 同时告诉方向和变化快慢；speed 只保留大小。

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18. Position to Acceleration Example / 从位置到加速度

设

$$x(t)=\sin t-\cos t.$$

则

$$v(t)=\cos t+\sin t.$$

第一次满足 $v(t)=0$ 的非负时间：

$$\cos t+\sin t=0⟹t=\frac{3\pi }{4}.$$

加速度：

$$a(t)=-\sin t+\cos t.$$

所以

$$a\left(\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\boxed{-\sqrt{2}}.$$

重要：$v=0$ 不推出 $a=0$。物体可以瞬间静止，但此刻仍有非零 acceleration。

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19. Direction of Motion / 运动方向

From a position graph / 从位置图判断

看 position graph 的 slope：

$$x^{\prime }(t)=v(t).$$

• position increasing $\Rightarrow v>0$，向右。
• position decreasing $\Rightarrow v<0$，向左。

From a velocity graph / 从速度图判断

直接看 velocity value 的 sign：

• $v(t)>0$：moving right。
• $v(t)<0$：moving left。
• $v(t)=0$：instantaneously at rest。

不要把 velocity graph 的“上升”误当成 moving right。上升描述的是 acceleration sign；图像在横轴上方才表示 $v>0$。

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20. Velocity Increasing or Decreasing / 速度增减

因为

$$a(t)=v^{\prime }(t),$$

所以：

$$a(t)>0⟹v(t)\text{ increasing},$$ $$a(t)<0⟹v(t)\text{ decreasing}.$$

在 velocity graph 上：

• graph slope positive $\Rightarrow a>0$；
• graph slope negative $\Rightarrow a<0$。

注意 velocity decreasing 不一定代表 speed decreasing。例如负 velocity 变得更负时，velocity 数值下降，但物体实际上更快。

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21. Moving Left Example / 向左运动区间

若

$$v(t)=\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right),$$

则 moving left 要求

$$v(t)<0.$$

在一轮相关区间中：

$$\frac{\pi }{2}<\frac{\pi t}{6}<\frac{3\pi }{2}.$$

所以

$$\boxed{3<t<9}.$$

触发词 moving left 只转换成 $v<0$，不是 $a<0$。

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22. Speed Increasing or Decreasing / 速率增减

由于

$$\text{speed}=|v|,$$

speed 的判断不能只看 $a$ 的正负。

在 $v\ne 0$、$a\ne 0$ 的普通点：

$$\boxed{v(t)a(t)>0⟹\text{speed increasing}},$$ $$\boxed{v(t)a(t)<0⟹\text{speed decreasing}}.$$

直觉：

• velocity 与 acceleration 同方向，运动越来越快。
• velocity 与 acceleration 反方向，运动越来越慢。

v > 0, a > 0 -> right and speeding up
v > 0, a < 0 -> right and slowing down
v < 0, a < 0 -> left and speeding up
v < 0, a > 0 -> left and slowing down

在 $v=0$ 的转折瞬间，需要看邻域行为，不能机械套“同号/异号”。

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23. Speed From a Velocity Graph / 由速度图得到速率图

从 $v(t)$ 图得到 $|v(t)|$：

portion above the axis: unchanged
portion below the axis: reflect upward

课堂的记忆法是“下翻上”。

画出 speed graph 后：

• 图像上升处 speed increasing；
• 图像下降处 speed decreasing。

必须先取 absolute value 再看增减，不能直接把 velocity graph 的上升下降当成 speed。

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24. Algebraic Speed Example / 代数判断速率

设

$$v(t)=\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right).$$

则

$$a(t)=-\frac{\pi }{6}\sin \left(\frac{\pi t}{6}\right).$$

在 $t=4$：

$$v(4)=\cos \frac{2\pi }{3}<0,$$ $$a(4)=-\frac{\pi }{6}\sin \frac{2\pi }{3}<0.$$

$v(4)$ 与 $a(4)$ 同号，所以

$$\boxed{\text{speed is increasing at }t=4}.$$

只需判断 sign，不必把三角值全部化成 decimal。

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Part D - Related Rates Preview / 相关变化率开头

25. What Related Rates Connect / 相关变化率连接什么

Related Rates 研究多个 quantities 都随同一个 time variable 改变时，它们的 rates 如何被一个 constraint 连接。

若

$$x=x(t),y=y(t),$$

则

$$\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}$$

分别是它们的 time rates。

Related rates is implicit differentiation with time as the common input.

related rates 可以看成以时间为共同输入的隐函数求导。

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26. Three-Step Related-Rates Routine / 三步流程

Step 1: Find a relationship / 找变量关系

从 geometry、volume、distance 或题干条件建立一个始终成立的 equation：

$$y=3x^2+4x-2.$$

Step 2: Differentiate with respect to time / 对时间求导

因为 $x$ 和 $y$ 都依赖 $t$：

$$\frac{dy}{dt}=6x\frac{dx}{dt}+4\frac{dx}{dt}.$$

Step 3: Substitute instant-specific values / 最后代值

若

$$x=2,\frac{dx}{dt}=1,$$

则

$$\frac{dy}{dt}=(6\cdot 2+4)(1)=\boxed{16}.$$

Why the rates appear / 为什么会多出变化率

$$\frac{d}{dt}(x^2)=2x\frac{dx}{dt}$$

就是 Chain Rule。$x$ 不再是 independent variable，而是 $x(t)$。

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27. Related-Rates Watch Outs / 相关变化率易错点

• 先写 quantity relation，不要先拼 rate equation。
• relation 必须在整个变化过程中成立。
• 对 $t$ 求导时，每个 changing quantity 都带出自己的 rate。
• 先求导，后代入某一瞬间的数值。
• increasing rate 为正，decreasing rate 为负。
• 最终答案要带 units，并说明它是谁的 rate。

本课只建立方法论；完整几何建模与实际题型将在下一课继续。

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28. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文记忆
Inverse functions exchange inputs and outputs, so their local slopes are reciprocals at corresponding points.	反函数交换输入输出，因此对应点的局部斜率互为倒数。
Find the original input before evaluating the reciprocal derivative.	先找原函数输入，再取导数倒数。
A higher-order derivative measures how the previous derivative changes.	高阶导数衡量上一阶导数怎样变化。
The derivative keeps the quantity and adds its rate of change.	导数保留原量的含义，再增加其变化率。
A tangent line needs a point and the derivative slope.	切线需要切点与导数给出的斜率。
Velocity is the derivative of position; acceleration is the derivative of velocity.	速度是位置的导数，加速度是速度的导数。
Speed is the magnitude of velocity.	速率是速度的绝对值。
Same signs of velocity and acceleration mean speeding up.	速度与加速度同号表示速率增加。
Related rates uses a constraint to connect time derivatives.	相关变化率用约束关系连接多个时间导数。

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29. Fidelity Notes and Corrections / 原稿校正

1. 原稿多处把 composite function 识别成“符合函数”，把 implicit function 识别成“引函数”；本笔记统一为复合函数与隐函数。

2. 反函数公式必须在 corresponding points 使用：

   $$(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}\text{where }f(a)=b.$$

3. 原稿第三个 inverse example 一度说成 $1/f^{\prime }(1)$，但由点 $(0,1)$ 应为 $1/f^{\prime }(0)=1/3$。

4. $y=\sin (2x)$ 的前三阶导数校正为 $2\cos (2x)$、$-4\sin (2x)$、$-8\cos (2x)$。

5. $y=\cos x-\ln (2x)$ 的三阶导数校正为

   $$y^{\prime \prime \prime }=\sin x-\frac{2}{x^3}.$$

6. 隐式曲线按课堂后续推导和最终点还原为

   $$2x-2y=3+\cos y,$$

   并得到 slope-$1$ point $(2,0)$。

7. speed increasing 的精确代数判断是 $va>0$；在 $v=0$ 时需检查邻域，不能机械套符号口诀。

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30. Video Companion / 搭配课堂录像

Approx. time	Topic	What to watch for
01:11-17:39	Inverse derivatives	坐标交换与对应输入
17:39-22:13	Inverse trig derivatives	公式与 inverse notation
23:07-33:00	Higher-order derivatives	repeated differentiation
33:00-43:45	Implicit second derivatives	$y^{\prime }$ 作为中间缺失值
43:45-46:15	Unit transition	求导规则进入 applications
46:15-01:01:00	Tangent applications	point + derivative slope
01:01:00-01:12:51	Context interpretation	quantity、time、units
01:12:51-01:38:25	Motion foundations	position、velocity、acceleration、direction
01:38:25-01:51:08	Speed changes	graph reflection 与 $va$ signs
01:51:08-02:00:43	Related Rates preview	relation → differentiate → substitute

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31. Decision Maps / 决策图

Inverse derivative

want (f^(-1))'(b)
-> find a such that f(a)=b
-> evaluate f'(a)
-> take reciprocal

Motion question

what is given?
position -> slope gives velocity
velocity -> value sign gives direction
velocity -> slope gives acceleration
speed -> absolute value of velocity
 
speed increasing?
compare signs of v and a

Related rates

define changing quantities
-> write always-true relation
-> differentiate with respect to time
-> substitute the instant
-> solve with sign and units

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32. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

Formal course branch / 正课分支

• 微积分BC第3次正课-可导性链式法则与隐函数求导 提供 Chain Rule、Implicit Differentiation 与复合结构。
• 微积分BC第5次正课-相关变化率线性近似与中值定理 接着完成 related rates、linear approximation 与 L’Hôpital，并进入 Mean Value Theorem。
• Inverse Function Derivatives 汇总对应点交换和 reciprocal slope。
• Higher-Order Derivatives 把求导运算反复应用；Acceleration 是 position 的 second derivative。
• Derivatives 与 Instantaneous Rate of Change 连接 context interpretation 和 units。
• Tangent Line 把 derivative value 变成 local line。
• One-Dimensional Motion 整理 position、velocity、acceleration 与 speed。
• Related Rates 把 implicit differentiation 改写成多个 time-dependent quantities 的 rate relation。

3Blue1Brown bridge / 视觉直觉分支

• 06 - Implicit Differentiation, What’s Going On Here：constraint 如何连接多个 variables 的 tiny changes，并过渡到 related rates。
• 10 - Higher Order Derivatives：每一阶导数继续追踪上一阶的 local change，连接 acceleration。
• 12 - The Other Way to Visualize Derivatives：derivative 同时是 tangent slope 与 local input-output scale factor。

这些连接来自现有笔记的 Wiki connection sections；本次未读取其完整正文。

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33. Confusion / Questions

• 能否区分 $f^{-1}(x)$ 与 $1/f(x)$？
• 求 inverse derivative 时，能否先找到 original input？
• 能否区分 $f^{(4)}$ 与 $[f(x){]}^4$？
• 隐函数二阶导代点前，能否补出 $y^{\prime }$？
• 解释 $F^{\prime }(a)$ 时，能否写全 quantity、input、value 和 units？
• 能否用 point-slope form 直接写 tangent line？
• 能否区分 velocity 的 sign、velocity graph 的 slope 和 speed？
• 能否解释为什么 $v=0$ 不推出 $a=0$？
• 能否仅用 $v$ 与 $a$ 的 signs 判断 speed increasing/decreasing？
• related rates 是否始终先建立 quantities 的 relation？

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34. After-Class Compression / 看完压缩版

inverse functions:
f(a)=b <-> f^(-1)(b)=a
(f^(-1))'(b)=1/f'(a)
 
inverse trig:
(arcsin x)' = 1/sqrt(1-x^2)
(arccos x)' = -1/sqrt(1-x^2)
(arctan x)' = 1/(1+x^2)
 
higher derivatives:
f -> f' -> f'' -> f''' -> f^(n)
 
context:
F'(a) = rate of change of the original F quantity
units = output units / input units
 
tangent:
y-f(a)=f'(a)(x-a)
 
motion:
v=x'
a=v'=x''
speed=|v|
v>0 right, v<0 left
a>0 velocity increasing
va>0 speed increasing
va<0 speed decreasing
 
related rates:
relation -> d/dt -> substitute -> solve with units

35. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• AP Calculus BC
• 微积分BC第3次正课-可导性链式法则与隐函数求导
• 微积分BC第5次正课-相关变化率线性近似与中值定理
• Inverse Function Derivatives
• Derivatives
• Instantaneous Rate of Change
• Chain Rule
• Implicit Differentiation
• Power Rule
• Higher-Order Derivatives
• Second Derivative
• Acceleration
• Tangent Line
• One-Dimensional Motion
• Related Rates
• 06 - Implicit Differentiation, What’s Going On Here
• 10 - Higher Order Derivatives
• 12 - The Other Way to Visualize Derivatives