Capacitors

Core Sentence / 核心句

A capacitor stores electric potential energy by separating equal and opposite charges on two conductors.

中文理解：电容器把等量异号电荷分离在两个彼此绝缘的导体上；这个电场配置同时储存电势能。

Definition / 定义

C = \frac{Q}{∣Δ V ∣}

$Q$ 是任意一侧 conductor 上电荷量的 magnitude，不是 $2 Q$ ；
$∣Δ V ∣$ 是两 conductors 之间的 potential difference magnitude；
$C$ 的单位是 farad： $1 F = 1 C / V$ 。

Capacitance is charge stored per unit potential difference.

What Determines Capacitance / 电容由什么决定

固定 geometry 与 material 的 linear capacitor 中， $Q$ 和 $Δ V$ 同比例变化， $C$ 不变。

因此 $C = Q /∣Δ V ∣$ 是 definition，不是在说“ $Q$ 单独导致 $C$ ”。capacitance 主要由：

conductor geometry；
conductor size and separation；
material permittivity；

决定。

平行板：

C = \frac{ϵ _{0} A}{d}

完全填充 dielectric 时：

C = \frac{κ ϵ _{0} A}{d}

Field-Voltage-Capacitance Chain / 场势电容链

理想平行板：

E = \frac{σ}{ϵ _{0}} = \frac{Q}{ϵ _{0} A}

∣Δ V ∣ = E d

所以：

C = \frac{Q}{∣Δ V ∣} = \frac{ϵ _{0} A}{d}

任意高对称 geometry 的通用方法：

Gauss's law -> E(r) -> integrate E -> Delta V -> C = Q/|Delta V|

Stored Energy / 储能

U = \frac{1}{2} Q Δ V = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} C (Δ V)^{2}

$1/2$ 来自 charging 过程中 voltage 从 $0$ 逐渐升到最终值，而不是全程等于最终 voltage。

Constraint Check / 变化题先判断什么不变

connected to battery： $Δ V$ constant，battery 可以增减 $Q$ ；
isolated after charging： $Q$ constant， $Δ V$ 随 geometry 改变。

A connected battery fixes voltage; isolation fixes charge.

When To Use / 什么时候用

看到 parallel plates、charge separation、stored electric energy、capacitance、plates pulled apart、battery connected/disconnected，就进入 capacitor 框架。

Watch Out / 易错点

不要把 $+ Q$ 和 $- Q$ 写成 capacitance 公式中的 $2 Q$ 。
capacitance 是正值，使用 potential difference magnitude。
不要把 $C = ϵ_{0} A / d$ 用于所有 geometry。
geometry change 前先判断 constant quantity。
两个 capacitors 并联后 voltage 相等，charge 未必相等。
能量增加必须来自 battery transfer 或 external work，不会凭空出现。

Search and Source Mentions / 搜索与出现位置

Mentioned In / 出现位置

AP电磁学第8次正课-介电质电流与电阻 · field energy density
- $u_{E} = \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2}$
AP电磁学第8次正课-介电质电流与电阻 · dielectric at constant voltage
AP电磁学第8次正课-介电质电流与电阻 · dielectric at constant charge
第10次正课 · parallel capacitors
第10次正课 · series capacitors
第10次正课 · capacitor in an RC circuit
第10次正课 · capacitor voltage continuity
AP电磁学第7次正课-电容器与电容储能 · charge separation
- “A capacitor stores separated charge: one conductor carries $+ Q$ , and the other carries $- Q$ .”
AP电磁学第7次正课-电容器与电容储能 · capacitance definition
- “Capacitance measures how much charge can be stored per unit potential difference.”
AP电磁学第7次正课-电容器与电容储能 · parallel-plate capacitance
- $C = ϵ_{0} A / d$
AP电磁学第7次正课-电容器与电容储能 · stored energy
- $U = \frac{1}{2} Q Δ V$
AP电磁学第1次正课-电荷库仑定律与电场 · future capacitor scope
- The first lecture deliberately postponed capacitors until the matching transcript arrived.

Connected Notes / 连接