微积分BC第2次正课 - 极限应用与导数入门

Reading Guide / 阅读说明

这节课横跨两个 Unit：

Unit 1 wrap-up
  discontinuities -> asymptotes -> IVT
 
Unit 2 opening
  average rate -> secant slope
  -> shrinking interval
  -> tangent slope / derivative
  -> derivative rules

它接在 微积分BC第1次正课-极限与连续 后面。前一课建立 limit、one-sided limits 和 continuity；这节先把它们用于判断函数结构，再让 limit 变成 derivative 的定义工具。

本笔记保存数学脉络，不记录作业安排、考试年份、题目稀有程度和课堂管理话术。

Reading Rule / 读法约定

• 英文术语和公式保留，解释以中文为主。
• 先理解对象代表什么，再记计算规则。
• 例题保留 method trigger，不保留选择题选项。
• 3Blue1Brown 只读取相关笔记的 Wiki connection sections，本次没有读取完整正文。

---

1. One-Sentence Mainline / 一句话主线

Limits describe function behavior near a point; derivatives use limits of secant slopes to produce the best local linear description of change at that point.

极限描述函数在某点附近的行为；导数把割线斜率取极限，得到函数在该点附近最好的线性变化描述。

---

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 回顾 continuity 与三种 discontinuity。
2. 用代数方法区分 removable 与 infinite discontinuity。
3. 从图像直觉建立 horizontal / vertical asymptote。
4. 处理渐近线不存在、多条渐近线以及正负无穷方向不同的情况。
5. 用 Intermediate Value Theorem 结束 Unit 1。
6. 用平均速度引出 Average Rate of Change 与 Secant Line。
7. 把时间间隔缩小，引出 Tangent Line、Instantaneous Rate of Change 和 Derivatives。
8. 学习 derivative notation 与 numerical approximation。
9. 从定义推导 $\frac{d}{dx}{x}^2=2x$。
10. 整理常数、幂、三角、指数、对数函数的导数公式。
11. 学习 Product Rule 并完成具体函数与抽象函数例题。

---

Part A - Complete Unit 1 / 完成极限应用

3. Discontinuities in Limit Language / 用极限语言判断间断

Removable discontinuity / 可去间断

$$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=L,$$

但

$$f(c)\text{ is undefined}\text{or}f(c)\ne L.$$

附近趋势完整，但点缺失或放错位置。

Jump discontinuity / 跳跃间断

$$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x).$$

左右到达不同的有限高度，所以图像发生跳跃。

Infinite discontinuity / 无穷间断

至少有一个 one-sided limit 满足

$$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=\pm \infty \text{or}\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=\pm \infty .$$

只需要一侧无界，就足以产生 infinite discontinuity。

---

4. How to Locate Discontinuities / 先在哪里找间断点

课堂给出两个主要入口：

1. Undefined inputs：例如 rational function 的 denominator 为零。
2. Piecewise boundaries：分段函数切换公式的位置。

这些只是 candidate points。找到后还要计算左右极限或化简后的极限，才能确定类型。

factor denominator
-> find excluded inputs
-> simplify near each input
-> finite shared limit: removable
-> at least one side unbounded: infinite

Worked Example 1 / 例题 1

设

$$f(x)=\frac{2x^2+14x-16}{x^2-9x+8}=\frac{2(x+8)(x-1)}{(x-1)(x-8)}.$$

候选点为 $x=1,8$。

在 $x=1$ 附近：

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2(x+8)}{x-8}=-\frac{18}{7}.$$

极限是有限值，但原函数在 $x=1$ 未定义，所以 $x=1$ 是 removable discontinuity。

在 $x=8$ 附近，剩余分母趋近零，而分子趋近 $32$。至少一侧无界，所以 $x=8$ 是 infinite discontinuity。

Worked Example 2 / 例题 2

设

$$g(x)=\frac{(x-1{)}^2(x+3)}{(x-1)(x+2)}.$$

候选点为 $x=1,-2$。在 $x\ne 1$ 的邻域中：

$$g(x)=\frac{(x-1)(x+3)}{x+2}.$$

因此

$$\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=0,$$

所以 $x=1$ 是 removable discontinuity；在 $x=-2$，分母趋近零而分子非零，所以 $x=-2$ 是 infinite discontinuity。

A canceled factor creates a hole; an uncanceled zero in the denominator can create a vertical blow-up.

被完全约掉的分母因子通常留下 hole；没有被约掉的分母零点可能造成竖直无界行为。

---

5. Vertical and Horizontal Asymptotes / 垂直与水平渐近线

Asymptote 不是“图像永远不能碰的线”，而是特定极限过程的描述。

Vertical asymptote / 垂直渐近线

$x=c$ 是 vertical asymptote，只要至少一个 one-sided limit 无界：

$$\underset{x\to c^{-}}{\lim }f(x)=\pm \infty \text{or}\underset{x\to c^{+}}{\lim }f(x)=\pm \infty .$$

Horizontal asymptote / 水平渐近线

$y=L$ 是 horizontal asymptote，如果

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L$$

或

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=L.$$

正无穷与负无穷必须分别检查，因为两端可能趋向不同值。

Basic example / 基础例子

$$f(x)=\frac{x+3}{x+2}.$$

当 $x\to \pm \infty$：

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+3}{x+2}=1.$$

所以 $y=1$ 是 horizontal asymptote。

当 $x\to -2$，一侧趋向 $+\infty$，另一侧趋向 $-\infty$，所以 $x=-2$ 是 vertical asymptote。

Asymptote Decision Map / 渐近线判断图

Vertical asymptote candidate:
domain boundary or denominator = 0
-> simplify first
-> check one-sided limits
-> if either side is +/- infinity, x=c is a VA
 
Horizontal asymptote:
compute x -> +infinity
compute x -> -infinity separately
-> each finite result L gives y=L

Important distinctions / 重要辨析

• Denominator $=0$ 只是候选；因子约掉后可能是 removable hole。
• Vertical asymptote 可以有多条。
• Horizontal asymptote 最多有两条，分别来自两个无穷方向。
• 函数可以没有 horizontal asymptote，也可以没有 vertical asymptote。
• 图像可以穿过 horizontal asymptote；它只约束无穷远处的行为。

Two horizontal asymptotes / 两条水平渐近线

考虑

$$f(x)=\frac{1}{e^x+1}.$$

当 $x\to \infty$，$e^x\to \infty$，所以 $f(x)\to 0$。

当 $x\to -\infty$，$e^x\to 0$，所以 $f(x)\to 1$。

因此两条 horizontal asymptotes 是

$$y=0,y=1.$$

---

6. Intermediate Value Theorem / 介值定理

本节对应知识卡：Intermediate Value Theorem。

如果 $f$ 在 closed interval $[a,b]$ 上连续，并且 $N$ 介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间，那么至少存在一个 $c\in [a,b]$，使得

$$f(c)=N.$$

若 $N$ 严格介于两个端点值之间，则可以取 $c\in (a,b)$。

课堂的身高类比：如果身高从 $1.70$ 米连续变化到 $1.80$ 米，中间一定经过 $1.75$ 米。

IVT guarantees / IVT 保证

• 至少存在一个输入，使函数取得中间高度。
• 不需要函数是 linear。
• 不需要函数 monotonic。

IVT does not guarantee / IVT 不保证

• 不告诉你具体的 $c$ 是多少。
• 不保证解唯一。
• 不保证在随便指定的某个输入处取得该值。
• 不保证 maximum 或 minimum。

例如 $f$ 在 $[2,4]$ 上连续，$f(2)=10,f(4)=20$。IVT 保证存在某个 $c\in (2,4)$ 使 $f(c)=15$，但不能断言 $f(3)=15$。

Continuity prevents the output from skipping intermediate values.

连续性阻止函数输出跳过两个端点值之间的高度。

---

Part B - Begin Unit 2 / 进入导数

7. Average Rate of Change Is a Secant Slope / 平均变化率就是割线斜率

在区间 $[a,b]$ 上，Average Rate of Change 是

$$\boxed{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}.$$

几何上，它是连接 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 的 Secant Line slope。

课堂开车例子从 $(1,3)$ 到 $(4,9)$：

$$\frac{9-3}{4-1}=2.$$

它只比较起点与终点，不记录途中每一刻的变化。

Trigonometric example / 三角函数例题

对 $f(x)=\cos (2x)$，在 $[0,\pi /2]$ 上：

$$f(0)=1,f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \pi =-1.$$

所以

$$\frac{-1-1}{\pi /2-0}=-\frac{4}{\pi }.$$

若图上两端点为 $(-5,0)$ 与 $(0,2)$，则 average rate of change 是

$$\frac{2-0}{0-(-5)}=\frac{2}{5}.$$

---

8. From Secant to Tangent / 从割线到切线

平均速度不能判断某一瞬间是否超速。要研究一个点的 instantaneous behavior，就让第二个点越来越靠近第一个点。

two separated points
-> secant slope
-> shrink the horizontal gap
-> secant lines approach one limiting line
-> tangent slope / derivative

当输入间隔 $h$ 趋近 $0$：

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

是相邻两点的 secant slope。它的极限定义 derivative：

$$\boxed{f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}.$$

The accurate phrase / 最准确的形容短语

Derivative 可以解释为 instantaneous rate of change 或 tangent slope，但更一般、更准确的说法是：

The derivative is the best local linear description of the function near a point.

导数是函数在某一点附近最好的局部线性描述。

在很小的 $\Delta x$ 下：

$$\Delta f\approx f^{\prime }(x)\Delta x.$$

“瞬时速度”只是它在 position-time function 上的一种应用。

---

9. Derivative Notation and Graph Meaning / 导数记号与图像意义

以下记号都表示 derivative：

$$f^{\prime }(x),y^{\prime },\frac{dy}{dx},\frac{df}{dx}.$$

必须区分：

$$f(a)=\text{function height at }a,$$ $$f^{\prime }(a)=\text{tangent slope at }a.$$

从图像读导数：

• increasing tangent：$f^{\prime }(a)>0$
• horizontal tangent：$f^{\prime }(a)=0$
• decreasing tangent：$f^{\prime }(a)<0$
• line 越陡，斜率绝对值越大

看到 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 时画 secant line；看到 $f^{\prime }(a)$ 时看 tangent line。

---

10. Numerical Derivative Approximation / 用附近数据近似导数

如果只有 table 或 graph，可以用附近两点的 secant slope 近似中间点的 tangent slope。

Central difference：

$$\boxed{f^{\prime }(a)\approx \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}}.$$

例如

$$f^{\prime }(5)\approx \frac{f(6)-f(4)}{6-4}.$$

使用 central difference 时，两点应靠近目标点、位于两侧且等距。等距不是所有 numerical approximation 的绝对要求；不对称数据也可以给出 one-sided approximation，只是误差不同。

若 $H(5)=15.5,H(7)=18.5$，则

$$H^{\prime }(6)\approx \frac{18.5-15.5}{7-5}=\frac{3}{2}.$$

Units / 单位

Derivative units 永远是

$$\frac{\text{output unit}}{\text{input unit}}.$$

若输出是 inches、输入是 minutes，则单位是 inches per minute。

若 $G(t)$ 的单位已经是 games per week，而 $t$ 的单位是 weeks，则

$$G^{\prime }(t)\text{ has units }\frac{\text{games}}{{\text{week}}^2}.$$

不要凭生活经验猜单位，按照 output unit 再除以 input unit 追踪。

---

11. Deriving $\frac{d}{dx}{x}^2=2x$ From the Definition / 从定义推导

设 $f(x)=x^2$。由定义：

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}.$$

展开：

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}.$$

约去公共因子：

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x.$$

这里再次体现 Limits 的作用：$h$ 不能在 difference quotient 一开始就等于零，但可以在化简后趋近零。

Derivative formulas are compressed results of the limit definition.

求导公式不是另一套无关规则，而是把定义式反复推导后的结果压缩成表格。

---

12. Basic Derivative Rules / 基础求导规则

Constants, multiples, sums

$$\frac{d}{dx}C=0,$$ $$\frac{d}{dx}[Cf(x)]=C{f}^{\prime }(x),$$ $$\frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x).$$

Power Rule / 幂函数求导

$$\boxed{\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}}.$$

它对应 Power Rule：指数乘到前面，然后减一。

例如

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{d}{dx}{x}^{-1/2}=-\frac{1}{2}{x}^{-3/2}.$$

若

$$f(x)=x^3-6x^2+8x-2,$$

则

$$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+8,f^{\prime }(3)=-1.$$

始终先求 derivative function，再代入目标点。

---

13. Standard Function Derivatives / 常见函数导数表

Trigonometric derivatives

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,$$ $$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x,$$ $$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x,(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x.$$

这些公式默认角度使用 radians。

Exponential derivatives

$$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a,(e^x{)}^{\prime }=e^x.$$

Logarithmic derivatives

$$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a},(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}.$$

若

$$f(x)=7x-3+\ln x,$$

则

$$f^{\prime }(x)=7+\frac{1}{x},f^{\prime }(1)=8.$$

---

14. Product Rule / 乘积法则

如果两个随 $x$ 变化的函数相乘：

$$(fg{)}^{\prime }\ne f^{\prime }{g}^{\prime }.$$

正确公式是

$$\boxed{[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}.$$

课堂口诀：

前导后不导
+
前不导后导

更本质的理解见 Product Rule：两个因子都变化时，总的一阶变化包含两部分贡献。

Example 1: $x^2\ln x$

$$\frac{d}{dx}[x^2\ln x]=2x\ln x+x^2\frac{1}{x}=2x\ln x+x.$$

Example 2: $x\sin x$

$$\frac{d}{dx}[x\sin x]=\sin x+x\cos x.$$

Example 3: $\sin x\cos x$

$$\frac{d}{dx}[\sin x\cos x]={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x.$$

在 $x=\pi /3$：

$${\cos }^2\frac{\pi }{3}-{\sin }^2\frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}.$$

Example 4: abstract graph information / 抽象函数与图像信息

若

$$h(x)=e^{x}g(x),$$

则

$$h^{\prime }(x)=e^x[g(x)+g^{\prime }(x)].$$

若图像提供

$$g(-1)=3,g^{\prime }(-1)=-6,$$

则

$$h^{\prime }(-1)=e^{-1}(3-6)=-\frac{3}{e}.$$

$g(-1)$ 是点值；$g^{\prime }(-1)$ 是该点 tangent line slope。抽象函数题只是把具体公式换成图像或表格信息，Product Rule 不变。

---

15. Derivative Workflow / 导数做题顺序

What is being asked?
|
+-- over an interval
|     -> average rate of change
|     -> secant slope
|
+-- at one point
      -> derivative / tangent slope
      |
      +-- only nearby data
      |     -> numerical approximation
      |
      +-- definition requested
      |     -> difference quotient limit
      |
      +-- formula available
            -> identify algebraic structure
            -> apply derivative rules
            -> simplify
            -> substitute point
            -> attach units if contextual

---

16. Fidelity Notes and Corrections / 原稿纠错

Transcript wording	Accurate mathematical version
removal discontinuity	removable discontinuity
“分母为零就是 vertical asymptote”	分母为零只是候选；先化简，再检查至少一个 one-sided limit 是否无界。
Vertical asymptote 要求双侧极限等于同一个 $\pm \infty$	只需至少一侧趋向 $+\infty$ 或 $-\infty$。
$1/(e^x+1)$ 左右水平渐近线都写成 $y=0$	正确是 $x\to \infty$ 时 $y=0$，$x\to -\infty$ 时 $y=1$。
IVT 说明指定中点一定取得中间值	IVT 只保证至少存在某个 $c$，不指定 $c$，也不保证唯一。
“两个点近似导数必须等距”	对 central difference 应等距；其他差商也可近似，但精度不同。
derivative 只是 instantaneous rate of change	更一般地，它是 best local linear description / local linear coefficient。
tangent line 只是“擦一下曲线”	切线由局部线性行为定义，不要求只与曲线相交一次。
cosine derivative 的识别文本为 “-3x”	正确公式是 $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$。
$f^{\prime }(1)$ for $7x-3+\ln x$ 的口述结果不清	正确结果是 $8$。

---

17. Deep Phrases / 深句对应表

Trigger	The sentence it should recall / 对应句
Removable discontinuity	The nearby trend exists; only the point is missing or misplaced. / 附近趋势完整，只是点缺失或放错。
Vertical asymptote	At least one side becomes unbounded near a finite input boundary. / 输入靠近有限边界时，至少一侧输出无界。
Horizontal asymptote	It describes end behavior as input goes to positive or negative infinity. / 它描述输入走向正负无穷时的末端行为。
IVT	Continuity prevents a function from skipping intermediate output values. / 连续函数不能跳过端点输出之间的值。
Average rate of change	It is one secant slope summarizing an entire interval. / 它用一条割线概括整段区间。
Derivative	It is the best local linear description of the response to a tiny input change. / 它描述输入微小变化时输出的一阶局部响应。
Numerical derivative	A nearby secant slope approximates the tangent slope. / 附近割线斜率近似切线斜率。
Product Rule	Both changing factors contribute one first-order term. / 两个变化因子各贡献一个一阶项。

---

18. Video Companion / 对照课堂视频

Time	Content	Reading focus
00:59-03:52	上节回顾与 continuity	用 微积分BC第1次正课-极限与连续 快速恢复
04:03-18:40	discontinuity 的代数判断	先找候选点，再用 limit 分类
18:40-49:25	vertical / horizontal asymptotes	正负无穷分开算，hole 与 VA 分开
49:40-58:50	Intermediate Value Theorem	只保证 existence，不保证具体位置或唯一性
58:50-01:08:27	average rate 到 derivative	看 secant interval 如何缩成 tangent behavior
01:09:11-01:21:52	average rate 与 graph derivative	区分函数高度、割线斜率、切线斜率
01:21:52-01:32:00	numerical derivative 与单位	central difference、附近数据、units
01:32:00-01:44:57	definition 与 Power Rule	从 $x^2$ 定义推导连接到公式表
01:44:57-01:49:50	trig / exponential / log rules	对照标准公式，忽略 ASR 错词
01:49:50-01:59:38	Product Rule	从具体乘积走到 $e^{x}g(x)$ 图像题
01:59:38-结束	总结与答疑	按需回看 definition 和 approximation

---

19. Knowledge Graph Connections / 知识图谱连接

Formal course branch / 正课分支

• 微积分BC第1次正课-极限与连续 建立 nearby behavior、one-sided limits 与 continuity。
• 微积分BC第3次正课-可导性链式法则与隐函数求导 接着完成 Quotient Rule 与 differentiability，再进入 Chain Rule 和 implicit differentiation。
• Limits 在本课变成 discontinuity、asymptote、IVT 与 derivative definition 的共同语言。
• Average Rate of Change / Secant Line 是 interval-level change。
• Derivatives / Tangent Line / Instantaneous Rate of Change 是 point-level local linear behavior。
• Power Rule 与 Product Rule 把定义式压缩成可重复使用的计算规则。

3Blue1Brown bridge / 视觉直觉分支

• 02 - The Paradox of the Derivative：secant slope 如何通过 limit 变成 tangent slope 与 best local linear approximation。
• 03 - Derivative Formulas through Geometry：从 tiny changes 理解 Power Rule 和基本导数公式。
• 04 - Visualizing the Chain Rule and Product Rule：Product Rule 的两项来自两个因子各自的一阶变化。
• 07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions：limit notation、hole 与 derivative definition 的正式连接。

这些连接来自现有笔记的 Wiki connection sections；本次未读取其完整正文。

---

20. Confusion / Questions

• 能否先区分 hole candidate 与 VA candidate，再用极限确认？
• 能否分别计算 $x\to \infty$ 和 $x\to -\infty$？
• 能否准确说出 IVT 保证什么、不保证什么？
• 看到 “over an interval” 时，能否立即想到 secant slope？
• 看到 $f^{\prime }(a)$ 时，能否立即想到 local tangent behavior？
• 能否从 definition 独立推导 $(x^2{)}^{\prime }=2x$？
• 能否先识别乘积结构，再完整写出 Product Rule 两项？
• 能否为 derivative 写出 output unit / input unit？

---

21. After-Class Compression / 看完压缩版

removable discontinuity
= finite shared limit, missing or wrong point
 
vertical asymptote x=c
= at least one one-sided limit is +/- infinity
 
horizontal asymptote y=L
= finite limit as x -> +infinity or -infinity
 
IVT
= continuity guarantees intermediate outputs are attained
 
average rate of change
= secant slope over an interval
 
derivative
= limit of nearby secant slopes
= tangent slope
= best local linear description
 
f'(x) = lim h->0 [f(x+h)-f(x)]/h
 
constant -> 0
x^n -> n x^(n-1)
sum -> differentiate term by term
product -> f'g + fg'

22. Links / 链接

• UBC Knowledge Graph
• AP Calculus BC
• 微积分BC第1次正课-极限与连续
• 微积分BC第3次正课-可导性链式法则与隐函数求导
• Limits
• Intermediate Value Theorem
• Average Rate of Change
• Secant Line
• Derivatives
• Instantaneous Rate of Change
• Tangent Line
• Power Rule
• Product Rule
• Derivative Formulas
• Trigonometric Derivatives
• 02 - The Paradox of the Derivative
• 03 - Derivative Formulas through Geometry
• 04 - Visualizing the Chain Rule and Product Rule
• 07 - Limits, L’Hopital’s Rule, and Epsilon-Delta Definitions