AP物理C力学第2次正课 - 抛体相对运动与力的开端

Reading Guide / 阅读说明

这节课先纠正 velocity / speed 的四种定义，补完竖直上抛；随后完成 Unit 1 的平抛、斜抛与相对运动。课堂最后正式进入 Unit 2，讲 force 的定义、六类常见力以及 free-body diagram 的第一条规范。

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一句话主线

A curved motion becomes manageable when independent components are analyzed with one shared time; relative motion then recombines velocities through vector addition.

曲线运动之所以可解，是因为可以把它分成共享同一时间的独立分量；相对运动再用矢量加法把不同参考系中的速度重新合成。

1. Four Quantities That Must Not Be Mixed / 四个容易混的量

Quantity	Definition
average velocity	$\Delta \vec{r}/\Delta t$
average speed	total distance $/\Delta t$
instantaneous velocity	$d\vec{r}/dt$
instantaneous speed	$

Instantaneous speed is the magnitude of instantaneous velocity, but average speed is not generally the magnitude of average velocity.

这是上一课 Velocity and Speed 的关键收口。

2. Vertical Launch / 竖直上抛

取 upward as positive，并忽略空气阻力：

$$a_y=-g$$ $$v_y=v_0-gt$$ $$y=y_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$$ $$v_y^2=v_0^2-2g(y-y_0)$$

到达最高点时：

$$v_y=0,a_y=-g$$

At the highest point, vertical velocity is zero for an instant, but acceleration is still downward.

中文抓手：最高点是“速度瞬间为零”，不是“重力消失”。

若物体回到同一高度：

• ascent time = descent time；
• final speed = initial speed；
• vertical velocity direction reverses。

这些对称结论依赖相同起终高度与忽略空气阻力。

3. The Two-Dimensional Strategy / 二维运动总方法

Projectile Motion 的稳定流程：

1. choose axes；
2. resolve initial velocity into components；
3. write separate $x$ and $y$ equations；
4. use the same time $t$ in both directions；
5. solve components；
6. recombine vector magnitude and direction if required。

The horizontal and vertical motions are independent, but they share the same time.

独立指 equations 分开；共享时间保证两个分量描述的是同一个物体、同一个时刻。

4. Horizontal Projectile / 平抛

设物体以水平速度 $v_0$ 抛出，取 downward as positive 方便计算：

Horizontal component

$$a_x=0,v_x=v_0,x-x_0=v_{0}t$$

Vertical component

$$v_{y0}=0,a_y=g,v_y=gt,y-y_0=\frac{1}{2}g{t}^2$$

合速度：

$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$$

轨迹向下弯，不是因为 horizontal velocity 逐渐消失，而是因为 $v_x$ 保持不变、$|v_y|$ 持续增加。

Two-object comparison

同一飞机先后释放的物体都继承 release moment 的水平速度。若忽略空气阻力，它们在水平方向与飞机保持相同速度；相对水平间距由释放时刻决定，不是后一个物体“直直掉下”。

5. General Projectile / 斜抛

初速度 $v_0$、launch angle $\theta$：

$$v_{0x}=v_0\cos \theta ,v_{0y}=v_0\sin \theta$$

取 upward as positive：

$$x=x_0+v_0\cos \theta t$$ $$y=y_0+v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$$ $$v_x=v_0\cos \theta ,v_y=v_0\sin \theta -gt$$

消去 $t$ 可得 quadratic trajectory，所以路径是 parabola：

$$y-y_0=(x-x_0)\tan \theta -\frac{g(x-x_0{)}^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }$$

6. Eight Results Around the Trajectory / 围绕轨迹的八个结果

以下时间、最大高度和 range 公式要求落点与发射点同高。

1. Velocity at the top

$$v_y=0,v_x=v_0\cos \theta$$

2. Time to the top

$$\boxed{t_{\text{up}}=\frac{v_0\sin \theta }{g}}$$

3. Maximum height above launch point

$$\boxed{H=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}}$$

4. Total time of flight

$$\boxed{T=\frac{2v_0\sin \theta }{g}}$$

5. Horizontal range

$$R=v_{x}T=\frac{2v_0^2\sin \theta \cos \theta }{g}=\boxed{\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}}$$

固定 $v_0$ 且同高落地时，$\theta =45^{\circ }$ 给出 maximum range。互余角 $\theta$ 与 $90^{\circ }-\theta$ range 相同，因为：

$$\sin (2\theta )=\sin (180^{\circ }-2\theta )$$

6. Velocity at the same height

忽略阻力时，与发射点同高处：speed 恢复为 $v_0$，$v_x$ 相同，$v_y$ 大小相同而符号相反。

7. Speed at any time

$$\boxed{v(t)=\sqrt{(v_0\cos \theta {)}^2+(v_0\sin \theta -gt{)}^2}}$$

8. Direction at any time

若 $\varphi$ 为 velocity 与 $+x$ 轴夹角：

$$\boxed{\tan \varphi =\frac{v_y}{v_x}=\frac{v_0\sin \theta -gt}{v_0\cos \theta }}$$

不要只算 ${\tan }^{-1}$ 后忽略 quadrant；先看 $v_x,v_y$ 的符号。

7. Graphs of Projectile Components / 抛体分量图像

无空气阻力：

• $v_x$-$t$ graph 是水平线，因为 $a_x=0$；
• $v_y$-$t$ graph 是 slope $-g$ 的直线；
• 到最高点时 $v_y=0$，但 graph slope 仍是 $-g$；
• speed 先减小后增大，不代表 $v_y$ graph 应画成 V shape。

最后一条是 velocity component 与 speed 的典型混淆，见 Kinematics Graphs。

8. Relative Motion / 相对运动

速度必须相对于某个 reference frame 描述。记号：

$${\vec{v}}_{A/B}=\text{velocity of A relative to B}$$

链式加法：

$$\boxed{{\vec{v}}_{A/C}={\vec{v}}_{A/B}+{\vec{v}}_{B/C}}$$

中间下标像 head-to-tail vector path 一样消去。

反向关系：

$${\vec{v}}_{A/B}=-{\vec{v}}_{B/A}$$

One dimension

同向追赶不是盲目“相加”：先定正方向，再做带符号减法。若 motorcycle 对 ground 是 $+30\text{m/s}$，car 对 ground 是 $+20\text{m/s}$：

$$v_{M/C}=v_{M/G}+v_{G/C}=30-20=10\text{m/s}$$

Two dimensions: boat and river

$$\boxed{{\vec{v}}_{B/S}={\vec{v}}_{B/W}+{\vec{v}}_{W/S}}$$

$B$ = boat，$W$ = water，$S$ = shore。先写 reference-frame equation，再画 vector triangle。

Minimum crossing time

要让过河时间最短，应最大化 perpendicular-to-bank component。因此船头在静水中垂直指向对岸；水流会造成 downstream drift，但不改变垂直分量。

$$t_{\min }=\frac{\text{river width}}{|v_{B/W,\perp }|}$$

Minimum path length

要让相对河岸的实际路径垂直过河，必须让上游分量抵消水流：

$${\vec{v}}_{B/W,\parallel }+{\vec{v}}_{W/S}=0$$

只有当 boat speed relative to water 足够大时才能做到。

Minimum time and minimum distance are different optimization goals.

9. Inertial Reference Frames / 惯性参考系

本课程默认使用相互做 constant-velocity motion 的 Inertial Reference Frames。若 frame $B$ 相对 $C$ 的速度恒定：

$${\vec{v}}_{A/C}={\vec{v}}_{A/B}+{\vec{v}}_{B/C}$$

对时间求导：

$${\vec{a}}_{A/C}={\vec{a}}_{A/B}+\underset{0}{\underbrace{{\vec{a}}_{B/C}}}={\vec{a}}_{A/B}$$

所以 Galilean inertial frames 中 velocity 会改变，acceleration 相同。

10. Unit 2 Begins: Force / 第二单元开端

A force is an interaction between objects.

力不是物体“自己拥有”的东西；必须说明谁对谁施力。SI unit：

$$1\text{N}=1\text{kg}\cdot {\text{m/s}}^2$$

课堂把力分为：

• contact forces：normal、friction、tension、spring force、fluid resistance；
• non-contact force：本课先用 gravity 举例。

见 Common Forces。

11. Six Common Forces / 六类常见力

Weight

$$\vec{W}=m\vec{g}$$

方向指向地球，近地面画在 center of mass。

Normal force

normal 的意思是 perpendicular：支持力永远垂直接触面，不必等于 $mg$。

Friction

• kinetic friction opposes relative sliding；
• static friction opposes the tendency to slide。

摩擦力反对的是接触面之间的相对滑动或其趋势，不必与物体整体 velocity 反向。

Tension

tension 沿 rope/string/cable 指向远离物体的方向；理想轻绳模型中，同一连续绳段张力大小相同。

Spring force

restoring force 指向 equilibrium；后续会定量写成 Hooke’s law。

Resistive force

流体阻力与相对流体的 velocity 有关，方向反对相对运动，大小可能近似与 $v$ 或 $v^2$ 成正比。

12. Free-Body Diagram / 受力图第一条规则

Free-Body Diagrams 用 arrows 表示作用在所选物体上的真实外力：

• arrow direction 表示 force direction；
• arrow length 表示 relative magnitude；
• label 写具体力及施力者；
• 不把 velocity、acceleration 或路径画成力；
• 本课特别强调：不要用分量箭头替代原始力。

下一课将继续 ordinary point-particle FBD 与 extended-body FBD。

13. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文抓手
The components evolve independently but share the same time.	分量方程独立，但时间相同。
At the top, vertical velocity is zero while acceleration remains downward.	最高点竖直速度为零，重力加速度仍向下。
Relative velocity is a vector difference written as a frame chain.	相对速度本质是带参考系标签的矢量差。
Minimum time maximizes the crossing component; minimum distance cancels drift.	最短时间最大化过河分量；最短路程抵消漂移。
A normal force is perpendicular to a surface, not automatically equal to weight.	支持力只保证垂直接触面，不自动等于重力。
A free-body diagram contains forces acting on the chosen object.	受力图只画作用在研究对象上的力。

14. Watch Out / 易错点

• projectile top: $v_y=0$，不是 $v=0$，更不是 $a=0$。
• range formula $R=v_0^2\sin 2\theta /g$ 只适用于同高起落。
• horizontal and vertical equations cannot use different times for the same point。
• relative velocity 下标顺序不能靠感觉；先写“谁相对谁”。
• reference frame 有加速度时，不能直接沿用本节 acceleration invariant 的结论。
• friction、normal、tension 的大小必须由动力学求，不是默认公式。

15. Bridges / 向后连接

• AP物理C力学第1次正课-位移速度加速度与运动图像 提供一维模型。
• AP电磁学第1次正课-电荷库仑定律与电场 用同样的 component method 研究 uniform electric field 中的带电粒子。
• Next: AP物理C力学第3次正课-牛顿定律摩擦弹簧与系统法 将从 Free-Body Diagrams 继续进入 Newton’s laws。