AP电磁学第10次正课 - 等效电容与 RC 电路

Reading Guide / 阅读说明

这份 the course transcript 开头回顾并完成了上一节的 Kirchhoff 多回路计算，随后系统讲解 capacitor combinations、RC charging/discharging 与 switch analysis，结尾明确说“下节课该讲磁场了”。

因此它与 AP电磁学第9次正课-电功率电表与基尔霍夫定律 连续，按目前已确认的课程序列记为第 10 次正课。

一句话主线

A capacitor network determines how much charge can be stored; an RC circuit determines how that charge changes with time.

电容组合决定“能存多少”，RC 电路决定“以多快的速度充入或放出”。

1. What This Lecture Is About / 这节课在讲什么

本节有三条连续脉络：

1. 用上一节的 Kirchhoff’s Rules 完成多回路电流计算；
2. 从 Capacitors 的定义与几何决定式推出串并联等效电容；
3. 把 Kirchhoff loop rule、$I=dq/dt$ 与指数函数连接起来，得到 RC Circuits 的充放电规律。

整节课最重要的不是孤立地背四个指数公式，而是建立以下时间图景：

switch changes
-> circuit topology changes
-> identify t = 0+ and t -> infinity
-> capacitor voltage cannot jump
-> current may jump
-> exponential transition with time constant tau = RC

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 回顾电表、功率与 Kirchhoff rules。
2. 完成上一节遗留的双回路电流题。
3. 定义 capacitors in parallel 与 capacitors in series。
4. 推出等效电容公式，并用 geometry 建立直觉。
5. 计算混联电容网络中的 $C_{\text{eq}}$、各电容电荷与电压。
6. 解释串联电容中“小电容分到大电压”。
7. 用灯泡现象进入 RC charging 与 discharging。
8. 从 loop equation 写出 RC differential equation。
9. 得到 $q(t)$、$i(t)$、$V_C(t)$ 与 $V_R(t)$。
10. 定义 time constant $\tau =RC$。
11. 比较不同 RC 组合的充电快慢。
12. 分析放电曲线、稳态与开关瞬间。
13. 用 2017 AP 真题整合图像、开关与能量分配。

3. Kirchhoff Review Problem / 基尔霍夫综合题回顾

Knowledge Point 1: A Shared Branch Carries the Algebraic Difference of Mesh Currents

课堂设左、右两个 mesh currents 分别为 $I_1$ 与 $I_2$，且两者在中间电阻 $R_2$ 中方向相反。

若先假设中间支路真实电流向上，则：

$$\boxed{I_{R_2}=I_1-I_2}$$

这里的减法不是凭图形猜测，而是因为两个 mesh currents 对该支路贡献方向相反。

A shared branch carries the algebraic sum of all mesh-current contributions.

中文理解：同一支路若被多个 mesh 共用，先根据每个 mesh 在该支路中的方向确定正负，再做代数相加。

Knowledge Point 2: Traversal Direction and Current Direction Are Different Choices

在写 loop equation 时，需要同时区分：

• assumed current direction：假设的支路电流方向；
• loop traversal direction：列方程时绕回路的计算方向。

穿过 resistor：

traversal relative to current	potential change
along current	$-IR$
opposite current	$+IR$

穿过 ideal source：

crossing	potential change
negative to positive terminal	$+\mathcal{E}$
positive to negative terminal	$-\mathcal{E}$

Knowledge Point 3: An Outer Loop Can Avoid a Complicated Shared Branch

课堂指出：三个可见 loops 不代表必须全部使用。可选左 loop 加右 loop，也可选一个内 loop 加 outer loop。

若 outer loop 不经过共享支路 $R_2$，列式会更简单。

Choose independent loops that minimize algebra, not loops that merely look obvious.

中文理解：正确的 loop 不止一种；优先选能减少 shared-branch 表达式的独立回路。

课堂结果：

$$I_1=\frac{12}{11}\mathrm{A},I_2=\frac{7}{11}\mathrm{A}$$

所以：

$$\boxed{I_{R_2}=I_1-I_2=\frac{5}{11}\mathrm{A}}$$

结果为正，说明最初假设的中间支路方向正确。

4. Capacitors in Parallel / 电容器并联

Knowledge Point 4: Parallel Capacitors Share the Same Voltage

并联电容连接在同一对 nodes 之间，因此：

$$\Delta V_1=\Delta V_2=\cdots =\Delta V$$

每个电容储存的电荷为：

$$Q_i=C_i\Delta V$$

总电荷：

$$Q_{\text{total}}=\sum _i{Q}_i$$

代入：

$$Q_{\text{total}}=\left(\sum _i{C}_i\right)\Delta V$$

由 $Q_{\text{total}}=C_{\text{eq}}\Delta V$：

$$\boxed{C_{\text{eq}}=\sum _i{C}_i}$$

Knowledge Point 5: Parallel Connection Acts Like Increasing Plate Area

平行板电容：

$$C=\frac{ϵA}{d}$$

把多个电容并联，可直观理解为有效 plate area 增大，而 plate separation 不变。

因此：

Parallel capacitors add area, so their capacitances add directly.

中文理解：并联像把极板面积拼大，储存电荷的能力增强。

并联结论：

• same voltage；
• charges generally different；
• equivalent capacitance larger than every individual capacitance。

5. Capacitors in Series / 电容器串联

Knowledge Point 6: Series Capacitors Carry Equal Charge Magnitudes

串联电容中间连接的 isolated conductor 起初净电荷为零。

由于 Charge Conservation，中间 conductor 一侧出现 $-Q$，另一侧必须出现 $+Q$，所以每个 series capacitor 的电荷 magnitude 相同：

$$Q_1=Q_2=\cdots =Q$$

总电压为：

$$\Delta V=\sum _i\Delta V_i$$

又因为：

$$\Delta V_i=\frac{Q}{C_i}$$

所以：

$$\Delta V=Q\sum _i\frac{1}{C_i}$$

与 $\Delta V=Q/C_{\text{eq}}$ 比较：

$$\boxed{\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\sum _i\frac{1}{C_i}}$$

两个电容时：

$$\boxed{C_{\text{eq}}=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}}$$

Knowledge Point 7: Series Connection Acts Like Increasing Plate Separation

把串联电容中间的相邻 plates 看作一个整体 conductor，可形成“有效极板距离增大”的直觉。

由于 $C\propto 1/d$，串联使 equivalent capacitance 下降。

Series capacitors add separation, so reciprocal capacitances add.

中文理解：串联像把有效极板拉远，因此总电容比任一单个电容都小。

串联结论：

• same charge magnitude；
• voltages generally different；
• equivalent capacitance smaller than every individual capacitance。

6. Voltage Division Across Series Capacitors / 串联电容分压

Knowledge Point 8: The Smaller Capacitor Gets the Larger Voltage

series capacitors 有相同 $Q$，而：

$$\Delta V_i=\frac{Q}{C_i}$$

因此：

$$\boxed{\Delta V_i\propto \frac{1}{C_i}}$$

两个串联电容：

$$\frac{\Delta V_1}{\Delta V_2}=\frac{C_2}{C_1}$$

In series, capacitors divide voltage inversely to capacitance.

中文理解：串联时电荷相同，小电容要产生同样的 $Q$，必须对应更大的 voltage。

这与 series resistors 的 voltage division 不同：

• series resistors：$\Delta V_i\propto R_i$；
• series capacitors：$\Delta V_i\propto 1/C_i$。

7. Mixed Capacitor Networks / 混联电容网络

Knowledge Point 9: Reduce the Network Before Recovering Local Quantities

混联题的标准顺序：

1. 标出真正相同的 two nodes；
2. 从最内层识别 series 或 parallel；
3. 求 $C_{\text{eq}}$；
4. 用 source voltage 求 network total charge；
5. 反向展开，恢复各支路的 $Q_i$ 与 $\Delta V_i$；
6. 用 $Q_i=C_i\Delta V_i$ 交叉检查。

Knowledge Point 10: Do Not Apply Resistor Rules to Capacitors by Habit

resistors 与 capacitors 的等效公式正好“相反”：

connection	resistors	capacitors
series	$R_{\text{eq}}=\sum R_i$	$1/C_{\text{eq}}=\sum 1/C_i$
parallel	$1/R_{\text{eq}}=\sum 1/R_i$	$C_{\text{eq}}=\sum C_i$

根本原因不是口诀，而是约束量不同：

• resistor series 保持 same current；
• capacitor series 保持 same charge magnitude；
• resistor parallel 保持 same voltage；
• capacitor parallel 也保持 same voltage。

8. Worked Capacitor Example / 课堂混联例题

Knowledge Point 11: Parallel Branches Receive the Full Node-to-Node Voltage

课堂网络中，一个 $30\mu \mathrm{F}$ 与一个 $60\mu \mathrm{F}$ 电容串联，整体与一个 $90\mu \mathrm{F}$ 电容并联，并接在 $180\mathrm{V}$ source 上。

串联支路：

$$\frac{1}{C_{12}}=\frac{1}{30}+\frac{1}{60}$$ $$C_{12}=20\mu \mathrm{F}$$

整个 series branch 跨接 source，因此：

$$\Delta V_{12}=180\mathrm{V}$$

支路电荷：

$$Q_{12}=C_{12}\Delta V_{12}=(20\mu \mathrm{F})(180\mathrm{V})=3600\mu \mathrm{C}$$

series capacitors 同电荷：

$$Q_1=Q_2=3600\mu \mathrm{C}$$

所以：

$$\Delta V_1=\frac{3600\mu \mathrm{C}}{30\mu \mathrm{F}}=120\mathrm{V}$$ $$\Delta V_2=\frac{3600\mu \mathrm{C}}{60\mu \mathrm{F}}=60\mathrm{V}$$

验证：

$$\Delta V_1+\Delta V_2=180\mathrm{V}$$

$90\mu \mathrm{F}$ parallel branch 直接承受 $180\mathrm{V}$：

$$Q_3=(90\mu \mathrm{F})(180\mathrm{V})=16200\mu \mathrm{C}$$

这道题的核心

并联先看 same voltage，串联再看 same charge。不要一上来按 capacitance 数值直接“分电压”。

9. Entering RC Circuits / 进入 RC 电路

Knowledge Point 12: An RC Circuit Contains Resistance and Capacitance

RC circuit 同时包含：

• resistance $R$：限制 charge flow；
• capacitance $C$：储存 separated charge 与 electric energy。

它是第一个真正体现“电路状态随时间变化”的模型。

Knowledge Point 13: A Capacitor Is Not Always an Open Circuit

课堂用灯泡建立直觉：

• 未充电 capacitor 接入 source 的瞬间，回路中有较大 current，灯泡先亮；
• charging 过程中 current 逐渐减小，灯泡逐渐变暗；
• fully charged 后，steady DC current 为零，灯泡熄灭。

若移除 source 并让 charged capacitor 经过灯泡放电：

• capacitor 暂时扮演 source；
• 灯泡先亮，然后逐渐变暗；
• 电荷释放完后熄灭。

A capacitor behaves like a wire at the first instant and like an open circuit after a long time in DC.

中文理解：对初始未充电电容，$t=0^{+}$ 时近似通路；在 DC steady state，$t\to \infty$ 时近似断路。

这里的“像导线”与“像断路”是端点模型，不代表整个 charging interval 内它就是普通导线或开关。

10. RC Charging Equation / RC 充电方程

Knowledge Point 14: Kirchhoff’s Loop Rule Produces the Differential Equation

对 ideal source $\mathcal{E}$、resistor $R$、capacitor $C$ 的 series charging circuit：

$$\mathcal{E}-iR-\frac{q}{C}=0$$

又因为：

$$i=\frac{dq}{dt}$$

所以：

$$\boxed{R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\mathcal{E}}$$

这是 first-order differential equation。

它表达一个动态 balance：

$$\text{source voltage}=\text{resistor voltage}+\text{capacitor voltage}$$

Knowledge Point 15: Charging Approaches the Final State Exponentially

初始未充电，即 $q(0)=0$。解为：

$$\boxed{q(t)=Q_f\left(1-e^{-t/RC}\right)}$$

其中：

$$\boxed{Q_f=C\mathcal{E}}$$

因此：

$$\boxed{V_C(t)=\mathcal{E}\left(1-e^{-t/RC}\right)}$$

$q(t)$ 与 $V_C(t)$ 从 $0$ 增加并渐近于 final value。

Knowledge Point 16: Current Is the Time Derivative of Charge

由 Derivatives：

$$i(t)=\frac{dq}{dt}$$

所以：

$$\boxed{i(t)=I_0{e}^{-t/RC}}$$

其中：

$$\boxed{I_0=\frac{\mathcal{E}}{R}}$$

resistor voltage：

$$\boxed{V_R(t)=iR=\mathcal{E}{e}^{-t/RC}}$$

任意时刻：

$$\boxed{V_R(t)+V_C(t)=\mathcal{E}}$$

During charging, capacitor voltage rises while current and resistor voltage decay.

中文理解：充电时 $q$ 和 $V_C$ 上升，$i$ 与 $V_R$ 下降；它们不是一起增大。

11. Time Constant / 时间常数

Knowledge Point 17: The Time Constant Sets the Clock of the Circuit

定义：

$$\boxed{\tau =RC}$$

单位检查：

$$\Omega \cdot \mathrm{F}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\cdot \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A}}=\mathrm{s}$$

所以 $\tau$ 确实是时间。

The time constant does not set the final value; it sets how quickly the final value is approached.

中文理解：$\tau$ 决定快慢，不直接决定最终充到多少；final charge 由 $C\mathcal{E}$ 决定。

Knowledge Point 18: One Time Constant Means 63 Percent Charged

当 $t=\tau$：

$$\frac{q(\tau )}{Q_f}=1-e^{-1}\approx 0.632$$

因此：

• charge reaches $63.2\%$ of final value；
• capacitor voltage reaches $63.2\%$ of final value；
• current falls to $e^{-1}\approx 36.8\%$ of initial value；
• resistor voltage falls to $36.8\%$ of initial value。

常用近似：

time	charging fraction $1-e^{-t/\tau }$	remaining current fraction $e^{-t/\tau }$
$\tau$	$63.2\%$	$36.8\%$
$2\tau$	$86.5\%$	$13.5\%$
$3\tau$	$95.0\%$	$5.0\%$
$4\tau$	$98.2\%$	$1.8\%$
$5\tau$	$99.3\%$	$0.7\%$

工程与考试语境中常把 $5\tau$ 视为“practically fully charged”。

Knowledge Point 19: Half-Charge Time Is Not Equal to Tau

若：

$$\frac{q}{Q_f}=\frac{1}{2}$$

则：

$$1-e^{-t/\tau }=\frac{1}{2}$$ $$e^{-t/\tau }=\frac{1}{2}$$ $$\boxed{t_{1/2}=\tau \ln 2}$$

所以 half-charge time 约为 $0.693\tau$，不是 $\tau$。

12. Initial and Final States / 初态与终态

Knowledge Point 20: At the First Instant, an Initially Uncharged Capacitor Has Zero Voltage

在 $t=0^{+}$：

$$q=0,V_C=\frac{q}{C}=0$$

所以：

$$i(0^{+})=\frac{\mathcal{E}}{R}$$

此时所有 source voltage 暂时落在 resistor 上。

Knowledge Point 21: After a Long Time, DC Current Is Zero

在 $t\to \infty$：

$$i\to 0$$

因此：

$$V_R=iR\to 0$$

且：

$$V_C\to \mathcal{E},q\to C\mathcal{E}$$

No current means no voltage drop across an ordinary resistor.

中文理解：steady state 时不能凭电路图“看见一个电阻”就硬写 $IR$ voltage drop；若 $I=0$，电阻两端电势差就是零。

13. RC Discharging / RC 放电

Knowledge Point 22: A Charged Capacitor Can Temporarily Act as a Source

移除 battery 后，让初始电荷 $Q_0$ 的 capacitor 通过 $R$ 放电。

由于 capacitor charge magnitude 在减小，若把 discharge current magnitude 定义为正：

$$i=-\frac{dq}{dt}$$

loop equation 可写为：

$$\frac{q}{C}-iR=0$$

得到：

$$\frac{dq}{dt}=-\frac{q}{RC}$$

Knowledge Point 23: Discharge Is Pure Exponential Decay

电荷：

$$\boxed{q(t)=Q_0{e}^{-t/RC}}$$

电容电压：

$$\boxed{V_C(t)=V_0{e}^{-t/RC}}$$

current magnitude：

$$\boxed{i(t)=I_0{e}^{-t/RC}}$$

其中：

$$I_0=\frac{V_0}{R}$$

当 $t=\tau$：

$$\frac{q}{Q_0}=\frac{V_C}{V_0}=\frac{i}{I_0}=e^{-1}\approx 0.368$$

Knowledge Point 24: Charge and Discharge Share the Same Clock

同一个 effective $R$ 和 $C$ 下：

• charging 的 missing fraction 是 $e^{-t/\tau }$；
• discharging 的 remaining fraction 是 $e^{-t/\tau }$。

因此 charging 到 $50\%$ 与 discharging 到 $50\%$ 所需时间相同：

$$t=\tau \ln 2$$

14. Switching Analysis / 开关题分析

Knowledge Point 25: Analyze Three Times, Not One Circuit

开关题至少画三个等效状态：

1. $t=0^{-}$：switch 改变前；
2. $t=0^{+}$：switch 刚改变后；
3. $t\to \infty$：新状态稳定后。

每个时刻的 topology 可能不同，不能拿同一张图从头算到尾。

Knowledge Point 26: Capacitor Voltage Cannot Change Instantaneously

因为：

$$q=C{V}_C$$

若 finite capacitance 的 voltage 瞬间跳变，就要求 charge 瞬间跳变，也意味着 infinite current。

理想常规电路中：

$$\boxed{V_C(0^{+})=V_C(0^{-})}$$

A capacitor preserves voltage across an instant, not current.

中文理解：开关瞬间连续的是 capacitor voltage；branch current 可以因为 topology 改变而突然变化。

Knowledge Point 27: Current Can Jump When the Topology Changes

课堂真题中，开关断开前，某 resistor 直接跨在 source 的 $V_0$ 上：

$$i_{\text{before}}=\frac{V_0}{R_2}$$

断开后，charged capacitor 的 initial voltage 仍为 $V_0$，但它通过 $R_1+R_2$ 放电：

$$i_{\text{after}}=\frac{V_0}{R_1+R_2}$$

因此 current 可在开关瞬间减小。

15. Choosing the Effective Resistance / 如何确定时间常数中的 R

Knowledge Point 28: Use the Resistance Seen by the Capacitor

复杂 RC network 中：

$$\boxed{\tau =R_{\text{seen}}C}$$

$R_{\text{seen}}$ 是 capacitor terminals 向外看见的 equivalent resistance。

对只有 independent sources 的 network，常用步骤：

1. 保留 switch 所处的目标状态；
2. 暂时移除 capacitor；
3. ideal voltage source 替换为 short circuit；
4. ideal current source 替换为 open circuit；
5. 从 capacitor terminals 求 equivalent resistance。

课堂简单题中，若 capacitor 只通过一个 resistor 充电，则 $R_{\text{seen}}=R$。

16. Graph Reading / 图像判断

Knowledge Point 29: Charging and Discharging Have Distinct Endpoints

charging from zero：

quantity	$t=0^{+}$	$t\to \infty$	shape
$q$	$0$	$C\mathcal{E}$	increasing, concave down
$V_C$	$0$	$\mathcal{E}$	increasing, concave down
$i$	$\mathcal{E}/R$	$0$	exponential decay
$V_R$	$\mathcal{E}$	$0$	exponential decay

discharging from $Q_0$：

quantity magnitude	$t=0^{+}$	$t\to \infty$	shape
$q$	$Q_0$	$0$	exponential decay
$V_C$	$V_0$	$0$	exponential decay
$i$	$V_0/R$	$0$	exponential decay

Knowledge Point 30: Read the Asymptote Before the Curvature

画图顺序：

1. 确定 initial value；
2. 确定 final value / horizontal asymptote；
3. 在 $t=\tau$ 标 $63.2\%$ 或 $36.8\%$；
4. 再画 smooth exponential curve。

先确定 endpoints，可以避免把 charging curve 误画成 decreasing curve。

17. Energy in RC Circuits / RC 电路中的能量

Knowledge Point 31: A Charged Capacitor Stores Electric Energy

$$\boxed{U_C=\frac{1}{2}C{V}_C^2=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}Q{V}_C}$$

若 charged capacitor 从 $V_0$ 通过 resistors 完全放电，初始 energy：

$$U_0=\frac{1}{2}C{V}_0^2$$

最终全部转化为 resistor thermal energy。

Knowledge Point 32: Series Resistors Divide Dissipated Energy in Proportion to Resistance

若放电回路中 $R_1$、$R_2$ 串联，则任意时刻流过二者的 current 相同。

瞬时功率：

$$P_1=i^2{R}_1,P_2=i^2{R}_2$$

所以：

$$\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}$$

对整个放电过程积分后，energy ratio 仍相同：

$$\frac{E_1}{E_2}=\frac{R_1}{R_2}$$

因此：

$$\boxed{E_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}\left(\frac{1}{2}C{V}_0^2\right)}$$

这把 Electric Power 中 $P=i^{2}R$ 与 Integrals 中 $E=\int Pdt$ 连接起来。

18. Deep Phrases / 深句对应表

English core sentence	中文对应理解
Parallel capacitors share voltage.	并联电容连接同一对节点，所以电压相同。
Series capacitors carry equal charge magnitudes.	串联中间导体净电荷守恒，所以每个电容的电荷量大小相同。
The smaller series capacitor gets the larger voltage.	同样的 $Q$ 下，$V=Q/C$，因此小电容分压更大。
A capacitor network determines capacity; an RC circuit determines timing.	电容组合决定能存多少，RC 决定变化多快。
The current is largest when an initially uncharged capacitor is first connected.	初始电容尚未建立反向电压，所以刚接通时电流最大。
A fully charged capacitor behaves as an open circuit in steady DC.	直流稳态下电荷不再流动，电容支路电流为零。
The time constant sets the pace, not the destination.	$\tau$ 决定过渡速度，最终值由 source 和 capacitance 决定。
Capacitor voltage is continuous through a switching instant.	开关瞬间电容电压不能突变。
Current may change instantly when circuit topology changes.	开关改变连接关系后，电流可以发生跳变。
Exponential decay means equal fractional change in equal time intervals.	指数衰减不是每秒减相同数值，而是每隔相同时间按相同比例缩小。
A charged capacitor can temporarily act as a source.	放电时电容把储存的场能释放到外电路。
Use the resistance seen by the capacitor.	复杂网络中的 $\tau$ 要用电容端口看到的等效电阻。

19. Common Mistakes / 易错点

1. 把 capacitor 的 series/parallel 公式与 resistor 完全照搬。
2. 认为 series capacitors 的 voltage 相等。
3. 认为 parallel capacitors 的 charge 相等。
4. 忘记 series equivalent capacitance 必须小于最小单个电容。
5. 忘记 parallel equivalent capacitance 必须大于最大单个电容。
6. 混联题没有先找 nodes，就凭图形上下位置判断串并联。
7. 直接按 capacitance 大小正比分配 series voltage。
8. 把未充电 capacitor 在所有时间都当作 wire。
9. 把 fully charged capacitor 在所有时间都当作 open circuit。
10. 认为 charging 时 current 越来越大。
11. 认为 charging 时 capacitor voltage 越来越小。
12. 把 $Q_f=C\mathcal{E}$ 错写成任意时刻的 $q(t)$。
13. 把 $\tau =RC$ 当作“完全充满所需时间”。
14. 把 $t=\tau$ 的 charging fraction 写成 $36.8\%$。
15. 把 $t=\tau$ 的 current fraction 写成 $63.2\%$。
16. 把 half-charge time 写成 $\tau$。
17. discharge 时忽略 $dq/dt<0$ 与 current direction 的关系。
18. 开关题只画一个 circuit，不区分 $0^{-}$、$0^{+}$ 与 $\infty$。
19. 认为 capacitor current 不能突变；真正连续的是 capacitor voltage。
20. steady state 中仍给 zero-current resistor 强行分配 nonzero $IR$ drop。
21. 复杂 RC network 直接把图中所有 resistors 相加作为 $\tau$ 中的 $R$。
22. 放电能量分配按 voltage ratio 猜测，而不是从 $P=i^{2}R$ 出发。

20. Problem-Solving Templates / 题型动作

A. Equivalent capacitance

1. 标 nodes。
2. 识别最内层 series/parallel。
3. 求 $C_{\text{eq}}$。
4. 做大小检查：
   • parallel result 应变大；
   • series result 应变小。
5. 从 source 一侧反向展开。
6. parallel 用 same voltage。
7. series 用 same charge。
8. 最后检查 $Q=C\Delta V$ 与 voltage sums。

B. RC charging

1. 画 $t=0^{+}$ circuit。
2. 若 capacitor initially uncharged，取 $V_C(0)=0$。
3. 求 $I_0=\mathcal{E}/R_{\text{seen}}$。
4. 求 $Q_f=C{\mathcal{E}}_{\text{across capacitor}}$。
5. 求 $\tau =R_{\text{seen}}C$。
6. 写：

$$q=Q_f(1-e^{-t/\tau })$$ $$i=I_0{e}^{-t/\tau }$$

7. 用 $t=0$ 与 $t\to \infty$ 检查。

C. RC discharging

1. 记录 switch 改变前 $V_C(0^{-})$。
2. 使用 $V_C(0^{+})=V_C(0^{-})$。
3. 画新的 discharge path。
4. 求 $R_{\text{seen}}$ 与 $\tau$。
5. 写：

$$q=Q_0{e}^{-t/\tau }$$ $$i=I_0{e}^{-t/\tau }$$

6. 若问 direction，单独根据 capacitor polarity 判断。

D. Switching question

1. 分别画 $0^{-}$、$0^{+}$、$\infty$。
2. 标 $V_C(0^{-})$。
3. 把这个 voltage 原样带到 $0^{+}$。
4. 重新识别新 topology。
5. 求 initial current 与 final current。
6. 再决定是否需要完整 exponential formula。

E. Graph question

1. 写 initial value。
2. 写 final value。
3. 写 $\tau$。
4. 标 $t=\tau$ 时的 $63.2\%$ 或 $36.8\%$。
5. 检查 monotonic direction。
6. 画 smooth asymptotic curve，不让曲线越过 final value。

21. After-Class Compression / 课后压缩版

1. parallel capacitors：same $V$，$C_{\text{eq}}=\sum C_i$。
2. series capacitors：same $Q$，$1/C_{\text{eq}}=\sum 1/C_i$。
3. series voltage：$\Delta V_i=Q/C_i$，所以小 $C$ 分到大 $V$。
4. RC charging：

$$q=Q_f(1-e^{-t/RC}),i=I_0{e}^{-t/RC}$$

5. RC discharging：

$$q=Q_0{e}^{-t/RC},i=I_0{e}^{-t/RC}$$

6. time constant：$\tau =RC$。
7. charging at $\tau$：$63.2\%$ complete。
8. decay at $\tau$：$36.8\%$ remains。
9. initially uncharged capacitor at $0^{+}$：like a wire。
10. DC steady-state capacitor：open circuit。
11. capacitor voltage cannot jump。
12. current can jump when switch topology changes。
13. complex network：use $R_{\text{seen}}$。
14. stored energy：$U_C=\frac{1}{2}C{V}^2$。
15. series resistors in discharge divide energy in ratio $R_1:R_2$。

22. Video Companion / 搭配课堂观看

Timestamp	内容
00:00-00:04	上节内容回顾：电容、电流、电表与 Kirchhoff
00:04-00:19	Kirchhoff 双回路遗留题与 outer-loop 技巧
00:19-00:25	capacitor series/parallel 的定义、推导与几何直觉
00:25-00:37	混联电容网络：$C_{\text{eq}}$、$Q_i$、$\Delta V_i$
00:37-00:42	串联小电容分到大电压的定性题
00:42-00:46	RC circuit 与灯泡充放电直觉
00:46-01:00	charging equation、$q(t)$、$i(t)$ 与 $\tau =RC$
01:00-01:07	数值题：给定时间后的 charge/current fraction
01:18-01:22	不同 RC 组合的 charging-speed 比较
01:22-01:26	discharging equations 与 $37\%$ rule
01:27-01:28	steady state：capacitor 视为 open circuit
01:28-01:43	2017 AP 真题：charging graph 与 time constant
01:47-01:53	两支路 current graph 比较
01:53-01:55	charge/discharge 到 $50\%$ 的时间比较
01:55-01:57	switch 打开瞬间的 current jump
01:57-01:59	capacitor energy 与 series-resistor energy division

23. Connections / 知识网络

Lecture Sequence

• Previous: AP电磁学第9次正课-电功率电表与基尔霍夫定律
• Next: AP电磁学第11次正课-磁场洛伦兹力与带电粒子运动

Capacitor Branch

• Capacitors -> $C=Q/|\Delta V|$ -> series/parallel combinations
• Charge Conservation -> equal charge magnitudes on series capacitors
• Electric Potential -> voltage division and capacitor voltage continuity

Circuit Branch

• Electric Circuits -> topology, nodes, branches and equivalent networks
• Kirchhoff’s Rules -> RC differential equation and multi-loop review
• Electric Power -> resistor heating during discharge

Calculus Bridge

• Derivatives -> $i=dq/dt$
• Differential Equations -> $Rdq/dt+q/C=\mathcal{E}$
• Exponential Functions -> $e^{-t/\tau }$ transient response
• Integrals -> dissipated energy $E=\int i^{2}Rdt$

这节课把静电学中的 capacitor 与动电学中的 current 连在了一起：电容器的状态由 $q$ 或 $V_C$ 描述，电阻决定状态改变的速度，而 exponential function 描述从一个电路状态过渡到另一个状态的全过程。