AP电磁学第11次正课 - 磁场、洛伦兹力与带电粒子运动

Reading Guide / 阅读说明

the course transcript 开头明确回顾上一节刚学到 RC circuit 的 time constant $\tau$，随后宣布从广义电学转入 magnetism，并在结尾预告下一节讲 Ampere force 与 Ampere’s law。

因此本课与 AP电磁学第10次正课-等效电容与RC电路 连续，记为第 11 次正课。

一句话主线

Moving charges create magnetic fields, and magnetic fields deflect moving charges without changing their speed.

运动电荷产生磁场；磁场又对运动电荷施加垂直于速度的力，因此主要改变运动方向，而不改变速率。

1. What This Lecture Is About / 这节课在讲什么

本课第一次把电学与磁学真正连接起来：

moving charge
-> electric current
-> magnetic field B
-> Lorentz force q(v x B)
-> circular or helical motion
-> velocity selector / mass spectrometer / Hall effect

学习重点不是给磁场强行寻找机械直觉，而是稳定执行：

1. 识别 source、field 与 moving charge；
2. 先求 magnitude；
3. 再用 vector rule 判断 direction；
4. 把 magnetic force 放入 Newton’s second law；
5. 用运动约束解释轨迹和仪器。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 回顾 electrostatics、circuits 与 RC time constant。
2. 说明 electricity 与 magnetism 最终统一在 electromagnetism 中。
3. 用 bar magnet、iron filings 和 compass 定义 magnetic field。
4. 说明 magnetic field lines 必须闭合，以及没有被观测到的 magnetic monopole。
5. 讨论 Earth’s magnetic field、极光与地理北方附近的 magnetic south。
6. 用 atomic magnetic dipoles 解释材料的磁性。
7. 引入 permeability $\mu$ 与 vacuum permeability ${\mu }_0$。
8. 用 Oersted experiment 说明 current creates magnetic field。
9. 用 right-hand grip rule 判断 straight wire、current loop 与 solenoid 的 $\vec{B}$。
10. 引入 Lorentz force ${\vec{F}}_B=q\vec{v}\times \vec{B}$。
11. 学习 cross product 的 magnitude 与 direction。
12. 证明 magnetic force does no work。
13. 推出带电粒子在 uniform magnetic field 中的 circular motion。
14. 讨论 helical motion。
15. 推出 velocity selector。
16. 解释 mass spectrometer。
17. 推出 Hall effect 与 Hall voltage。

3. Magnetic Field / 磁场

Knowledge Point 1: A Magnetic Field Is a Vector Field

磁场使用 vector $\vec{B}$ 表示：

• magnitude 描述磁效应强弱；
• direction 描述 compass north pole 在该点所指方向；
• SI unit 是 tesla，记作 $\mathrm{T}$。

The magnetic-field direction is the direction in which the north pole of a small compass points.

中文理解：把足够小的 compass 放在某点，N pole 的指向就是该点 $\vec{B}$ 的方向。

Knowledge Point 2: Magnetic Fields Act on Moving Charges and Currents

磁场可对以下对象产生 force：

• moving charged particle；
• current-carrying wire；
• magnetic dipole；
• 可被磁化的特定 materials。

本课先集中处理 moving charge；current-carrying wire 的 force 将在下一课展开。

4. Magnetic Poles and Field Lines / 磁极与磁感线

Knowledge Point 3: Like Poles Repel and Unlike Poles Attract

bar magnet 有 north pole 与 south pole：

• N-N、S-S repel；
• N-S attract。

普通磁铁被切断时，不会分离出单独的 N 或 S，而是形成两个更小的 dipoles。

Knowledge Point 4: Magnetic Field Lines Form Closed Loops

在 bar magnet 外部：

$$\text{field lines: N}\to \text{S}$$

在 magnet 内部：

$$\text{field lines: S}\to \text{N}$$

整体形成 closed loops。

$$\boxed{\nabla \cdot \vec{B}=0}$$

积分形式：

$$\boxed{\oint \vec{B}\cdot d\vec{A}=0}$$

Magnetic field lines do not begin or end; they form closed loops.

中文理解：electric field lines 可以从 positive charge 出发、终止于 negative charge；magnetic field lines 没有已知的独立源头或终点。

Knowledge Point 5: No Magnetic Monopole Has Been Observed

目前实验尚未发现 isolated magnetic monopole。

这与 $\nabla \cdot \vec{B}=0$ 相符，但应注意：

• “尚未观测到”不等于逻辑上绝对证明不存在；
• AP Physics C 中按 no magnetic monopoles 处理；
• 因而 magnetic field lines 必须闭合。

5. Reading Magnetic-Field Diagrams / 读磁场图

Knowledge Point 6: Field Direction Is Tangent to the Field Line

任一点：

$$\vec{B}\text{is tangent to the magnetic field line}$$

field-line density 越大，通常表示 field magnitude 越强。

Knowledge Point 7: Dot and Cross Encode Out of or Into the Page

• $\odot$：vector points out of the page，像箭头尖端朝向你；
• $\otimes$：vector points into the page，像箭尾羽毛离开你。

这个 notation 会贯穿 Lorentz force、current fields 与 induction。

6. Earth’s Magnetic Field / 地球磁场

Knowledge Point 8: Geographic North Is Near a Magnetic South Pole

compass 的 N pole 指向 geographic north。

由于 unlike poles attract，地理北方附近在磁学意义上接近 Earth’s magnetic south pole。

A compass points north because its north-seeking pole is attracted toward a magnetic south region near geographic north.

地磁轴与地理自转轴并不完全重合，而且会随时间 drift，所以只能作近似图景。

Knowledge Point 9: Earth’s Field Redirects Charged Particles

solar wind 中的 charged particles 进入地球磁场后受到 Lorentz force，轨迹被偏转，并可能沿 field-line geometry 向 polar regions 汇聚。

极光来自这些 charged particles 与 upper atmosphere 粒子相互作用后的发光。

7. Microscopic Origin of Magnetism / 磁性的微观来源

Knowledge Point 10: Atomic Magnetic Moments Act Like Tiny Dipoles

atomic magnetic moment 主要来自：

• electron spin；
• electron orbital angular momentum。

每个 atomic magnetic moment 可近似看成 small magnetic dipole。

但“原子具有 magnetic moment”不等于整块 material 一定表现出永久宏观磁性，因为各 dipoles 可能随机排列并互相抵消。

Knowledge Point 11: Material Magnetism Depends on Collective Alignment

简化分类：

material response	basic behavior
diamagnetic	induced moment weakly opposes applied field
paramagnetic	atomic moments weakly align with applied field
ferromagnetic	domains can align strongly and may retain alignment

iron、nickel、cobalt 是常见 ferromagnetic materials。

Microscopic magnetic moments are the ingredients; domain alignment determines the macroscopic result.

中文理解：原子磁矩是材料磁性的基础，但宏观是否成为 permanent magnet 还取决于大量 magnetic domains 能否协同排列并保持。

8. Magnetic Permeability / 磁导率

Knowledge Point 12: Permeability Describes a Material’s Magnetic Response

material permeability：

$$\boxed{\mu ={\mu }_r{\mu }_0}$$

其中：

• ${\mu }_0$：vacuum permeability；
• ${\mu }_r$：relative permeability。

AP 计算常使用：

$${\mu }_0\approx 4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}m/A$$

等价单位：

$$\mathrm{T}m/A=N/{\mathrm{A}}^2$$

注：现代 SI 中 ${\mu }_0$ 不再是定义上的 exact constant，但 AP 题通常使用上述近似值。

9. Moving Charge Creates Magnetic Field / 运动电荷生磁

Knowledge Point 13: Electric Current Is Organized Moving Charge

Electric Current 本质是 charge flow：

$$I=\frac{dq}{dt}$$

因此：

Current creates magnetic field because current is moving charge.

Oersted experiment 用 compass deflection 证明 current-carrying wire 周围存在 magnetic field。

10. Right-Hand Rules for Magnetic Fields / 电流磁场的右手定则

Knowledge Point 14: Straight Current Produces Circular Field Lines

对 long straight wire：

1. right thumb 指 conventional current $I$；
2. curled fingers 指 surrounding $\vec{B}$。

field lines 是以 wire 为中心的 closed circles。

Knowledge Point 15: A Current Loop Has an Axial Magnetic Field

对 current loop：

1. right-hand fingers 沿 conventional current curl；
2. thumb 指 loop center 的 magnetic field / magnetic dipole moment direction。

Knowledge Point 16: A Solenoid Acts Like Many Current Loops

solenoid 是许多 current loops 叠加：

• interior field 较强且近似 uniform；
• exterior field 较弱；
• overall pattern 类似 bar magnet。

right-hand grip：

• fingers 沿 windings 中的 conventional current；
• thumb 指 solenoid 内部 $\vec{B}$，也指向其 magnetic north end。

11. Lorentz Force / 洛伦兹力

Knowledge Point 17: Magnetic Force Is a Cross Product

对 charge $q$，velocity $\vec{v}$，magnetic field $\vec{B}$：

$$\boxed{{\vec{F}}_B=q\vec{v}\times \vec{B}}$$

magnitude：

$$\boxed{F_B=|q|vB\sin \theta }$$

$\theta$ 是 $\vec{v}$ 与 $\vec{B}$ 的夹角。

Knowledge Point 18: Only Perpendicular Velocity Produces Magnetic Force

分解：

$$\vec{v}={\vec{v}}_{\parallel }+{\vec{v}}_{\perp }$$

则：

$$F_B=|q|v_{\perp }B$$

特殊情况：

• $\vec{v}\parallel \vec{B}$：$F_B=0$；
• $\vec{v}\perp \vec{B}$：$F_B=|q|vB$；
• particle at rest：$F_B=0$。

A magnetic field acts only on the velocity component perpendicular to the field.

Knowledge Point 19: Force Direction Is Perpendicular to Both v and B

对 positive charge：

1. right-hand fingers point along $\vec{v}$；
2. curl toward $\vec{B}$ through the smaller angle；
3. thumb points along $\vec{v}\times \vec{B}$。

对 negative charge，方向反转。

$$\boxed{\vec{B}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{B}}$$

所以 cross-product order 不能交换。

AP-safe direction rule

先按 positive charge 使用 right-hand rule，再在 $q<0$ 时整体反向。这样最不容易把 current 的 right-hand grip rule 与 force direction 混在一起。

Knowledge Point 20: Electric and Magnetic Forces Add Vectorially

若 electric field 与 magnetic field 同时存在：

$$\boxed{\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}\right)}$$

这就是 Lorentz force law 的完整形式。

其中：

• $q\vec{E}$ 即使 particle 静止也可存在；
• $q\vec{v}\times \vec{B}$ 必须有 perpendicular motion。

12. Tesla and Unit Checks / 特斯拉与单位

由：

$$F=|q|vB$$

可得：

$$\boxed{1\mathrm{T}=1\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}m/s}=1\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}\mathrm{m}}}$$

unit check 可帮助识别公式中是否漏写 velocity 或 charge。

13. Magnetic Force Does No Work / 磁力不做功

Knowledge Point 21: Magnetic Force Is Always Perpendicular to Instantaneous Velocity

magnetic power：

$$P={\vec{F}}_B\cdot \vec{v}$$

而：

$${\vec{F}}_B\perp \vec{v}$$

所以：

$$\boxed{P=0}$$

以及：

$$\boxed{W_B=0,\Delta K=0}$$

A magnetic field can change the direction of velocity, but not the speed or kinetic energy of a particle.

中文理解：magnetic field 可以 bend trajectory，但不能单独把粒子加速到更大的 speed。

14. Circular Motion in a Uniform Magnetic Field / 匀强磁场中的圆周运动

Knowledge Point 22: Perpendicular Entry Produces Uniform Circular Motion

若：

$$\vec{v}\perp \vec{B}$$

则 magnetic force 始终垂直于 velocity，并扮演 centripetal force：

$$|q|vB=\frac{m{v}^2}{r}$$

因此：

$$\boxed{r=\frac{mv}{|q|B}}$$

Knowledge Point 23: Radius Encodes Momentum per Unit Charge

因为 momentum $p=mv$：

$$\boxed{r=\frac{p}{|q|B}}$$

固定 $B$ 时：

• larger mass $\Rightarrow$ larger radius；
• larger speed $\Rightarrow$ larger radius；
• larger $|q|$ $\Rightarrow$ smaller radius；
• larger $B$ $\Rightarrow$ smaller radius。

这里必须纠正一个容易口误的判断：在相同 $v$、$|q|$、$B$ 下，质量越大，轨道半径越大，而不是越小。

Knowledge Point 24: Period Is Independent of Speed in the Nonrelativistic Model

$$T=\frac{2\pi r}{v}$$

代入 $r=mv/(|q|B)$：

$$\boxed{T=\frac{2\pi m}{|q|B}}$$

angular frequency：

$$\boxed{{\omega }_c=\frac{|q|B}{m}}$$

在 nonrelativistic uniform field 中，period 与 speed、radius 无关。

15. Helical Motion / 螺旋运动

Knowledge Point 25: Oblique Entry Splits into Circular and Straight Motion

若 velocity 与 $\vec{B}$ 有夹角：

• $v_{\perp }$ 产生 circular motion；
• $v_{\parallel }$ 保持 constant。

合成后为 helix：

$$\boxed{r=\frac{m{v}_{\perp }}{|q|B}}$$

pitch：

$$\boxed{p=v_{\parallel }T=\frac{2\pi m{v}_{\parallel }}{|q|B}}$$

若 $v_{\perp }=0$，轨迹退化成沿 field 的 straight line。

16. Determining the Curved Path / 判断弯曲方向

Knowledge Point 26: Force Points Toward the Instantaneous Center

轨迹判断步骤：

1. 画 $\vec{v}$；
2. 画 $\vec{B}$；
3. 对 positive charge 求 $\vec{v}\times \vec{B}$；
4. 若 charge negative，反向；
5. force direction 指向 circular path 的 local center。

若 particle 向右、$\vec{B}$ into page：

• positive charge curves upward；
• negative charge curves downward。

不要把 force 画成切向；velocity 才是 tangent，force 指向曲率中心。

17. Velocity Selector / 速度选择器

Knowledge Point 27: Crossed E and B Fields Can Select One Speed

若 electric force 与 magnetic force 相反，并希望 particle undeflected：

$$|q|E=|q|vB$$

所以：

$$\boxed{v=\frac{E}{B}}$$

A velocity selector filters by speed because the charge cancels from the force-balance equation.

中文理解：正负电荷的两种力会同时反向，所以满足 $v=E/B$ 的粒子都能直线通过；该装置筛 speed，不直接筛 charge sign。

Knowledge Point 28: Faster and Slower Particles Deflect in Opposite Directions

设目标 speed 为 $E/B$：

• $v>E/B$：magnetic force magnitude 较大；
• $v<E/B$：electric force magnitude 较大；
• $v=E/B$：net force 为零。

判断哪边偏必须结合实际 $\vec{E}$、$\vec{B}$ 与 charge sign。

课堂数值：

$$E=2.0\times 10^{4}N/C,B=0.50\mathrm{T}$$ $$v=\frac{E}{B}=4.0\times 10^{4}m/s$$

18. Mass Spectrometer / 质谱仪

Knowledge Point 29: Magnetic Radius Separates Mass-to-Charge Ratios

典型过程：

1. ionize sample；
2. electric field accelerates ions；
3. velocity selector 统一 speed；
4. uniform magnetic field bends trajectories；
5. detector records different radii。

因为：

$$r=\frac{mv}{|q|B}$$

在 fixed $v$、$B$ 下：

$$\boxed{r\propto \frac{m}{|q|}}$$

因此可以分离 isotopes 或测量 mass-to-charge ratio。

The velocity selector removes speed as a variable, so magnetic radius reveals mass-to-charge ratio.

19. Hall Effect / 霍尔效应

Knowledge Point 30: Magnetic Deflection Creates a Transverse Electric Field

current-carrying conductor 放入 perpendicular magnetic field 后，moving charge carriers 受到 magnetic force，向材料一侧偏转。

charge separation 建立 transverse electric field ${\vec{E}}_H$。

随着 separation 增强，electric force 增大，直到：

$$|q|E_H=|q|v_{d}B$$

所以：

$$\boxed{E_H=v_{d}B}$$

若样品 transverse width 为 $d$：

$$E_H=\frac{V_H}{d}$$

因此：

$$\boxed{V_H=v_{d}Bd}$$

Knowledge Point 31: Hall Geometry Uses Three Mutually Perpendicular Directions

理想 Hall geometry：

$$\text{current direction}\perp \text{magnetic field}\perp \text{Hall voltage direction}$$

The Hall voltage appears because magnetic deflection continues until an opposing electric force balances it.

中文理解：Hall voltage 不是外加的第二个电源，而是 carriers 横向积累后自己建立出来的 voltage。

Knowledge Point 32: Hall Polarity Reveals the Sign of Charge Carriers

判断步骤：

1. 用 actual carrier velocity，不要直接用 conventional current 代替 electron velocity；
2. 对 positive charge 求 $\vec{v}\times \vec{B}$；
3. 根据 carrier sign 修正；
4. carriers 积累的一侧具有其 charge sign；
5. 另一侧形成 opposite potential。

因此 Hall effect 可用于：

• magnetic-field sensing；
• current sensing；
• determining carrier sign；
• measuring carrier density。

20. Electric Field vs Magnetic Field / 电场与磁场对比

Feature	Electric field	Magnetic field
force	${\vec{F}}_E=q\vec{E}$	${\vec{F}}_B=q\vec{v}\times \vec{B}$
stationary charge	may feel force	no magnetic force
force direction	along/opposite $\vec{E}$	perpendicular to $\vec{v}$ and $\vec{B}$
work	can change kinetic energy	does no work by itself
field lines	may begin/end on charge	form closed loops
path effect	can change speed and direction	changes direction, not speed

Electric fields can do work; magnetic fields steer.

中文理解：电场可以给粒子增加或减少 kinetic energy；纯磁场主要负责弯转轨迹。

21. Deep Phrases / 深句对应表

English core sentence	中文对应理解
Magnetic field is a vector field.	每一点既有磁场大小，也有方向。
Magnetic field lines form closed loops.	磁感线没有已知的独立起点或终点。
Current is moving charge, so current creates magnetic field.	电流的微观本质是运动电荷，因此会产生磁场。
The magnetic force is perpendicular to both velocity and field.	洛伦兹力同时垂直于 $\vec{v}$ 和 $\vec{B}$。
A stationary charge feels no magnetic force.	只有运动电荷的 perpendicular velocity component 才参与 magnetic force。
Magnetic force changes direction, not speed.	磁力不做功，只弯曲轨迹。
The sign of charge reverses the magnetic-force direction.	手定则先按正电荷，负电荷整体反向。
Circular radius measures momentum per unit charge.	$r=p/(
A velocity selector filters speed, not charge sign.	$q$ 在 force balance 中约掉。
A mass spectrometer converts mass-to-charge ratio into path radius.	不同 $m/
Hall voltage is a self-generated balancing voltage.	carriers 横向积累，直到 electric force 抵消 magnetic force。
Microscopic moments are not enough; macroscopic magnetism requires organized alignment.	有原子磁矩不等于材料必然成为永久磁铁。

22. Common Mistakes / 易错点

1. 把 magnetic field direction 当成 magnetic force direction。
2. 忘记 $\vec{B}$ 与 ${\vec{F}}_B$ 都是 vectors。
3. 把 field line 当成 charged particle 的实际轨迹。
4. 认为 magnetic field lines 从 N 出发后在 S 永久终止。
5. 把 geographic north 直接叫作 Earth’s magnetic north。
6. 把 dot $\odot$ 与 cross $\otimes$ 记反。
7. 用 conventional current direction 代替 electron drift velocity 判断 Hall polarity。
8. 把 straight-wire field rule 与 Lorentz-force rule 混在一起。
9. 交换 $\vec{v}\times \vec{B}$ 的顺序却不改变符号。
10. 忘记 negative charge 要反向。
11. 把 magnitude 写成 $qvB$ 而忽略 $\sin \theta$。
12. 认为 $\vec{v}\parallel \vec{B}$ 时 force 最大。
13. 认为 stationary charge 会受到 magnetic force。
14. 认为 pure magnetic field 能提高 particle speed。
15. 把 centripetal force 当成额外的一种力，再与 magnetic force 相加。
16. 在 $|q|vB=m{v}^2/r$ 中没有约掉一个 $v$。
17. 误判相同 $v,q,B$ 下 larger mass 的 radius 更小。
18. trajectory direction 正确，但把 velocity arrow 画向圆心。
19. helical motion 中把 $v_{\parallel }$ 也放进 radius 公式。
20. velocity selector 忘记要求 electric 与 magnetic forces opposite。
21. 把 $v=E/B$ 写成 $B/E$。
22. mass spectrometer 未先控制 velocity，却直接用 radius 比较 mass。
23. Hall equilibrium 写成 $E_H=B/v_d$。
24. 混淆 velocity $v$ 与 voltage $V$。
25. 把 ${\mu }_0$ 与 permittivity ${ϵ}_0$ 混淆。

23. Problem-Solving Templates / 题型动作

A. Magnetic-force direction

1. 标 $\vec{v}$。
2. 标 $\vec{B}$。
3. 暂按 positive charge 求 $\vec{v}\times \vec{B}$。
4. 若 $q<0$，方向反转。
5. 确认答案同时垂直于 $\vec{v}$ 与 $\vec{B}$。

B. Magnetic-force magnitude

1. 找 $|q|$、$v$、$B$、$\theta$。
2. 写：

$$F_B=|q|vB\sin \theta$$

3. $\theta =0^{\circ }$ 时先判断 force 为零。
4. 用 tesla unit 检查。

C. Circular path

1. 确认 $\vec{v}\perp \vec{B}$。
2. 令 magnetic force 等于 centripetal requirement：

$$|q|vB=\frac{m{v}^2}{r}$$

3. 求：

$$r=\frac{mv}{|q|B}$$

4. 另用 direction rule 判断顺/逆时针弯曲。
5. 检查 magnetic force does no work。

D. Helical path

1. 分解 $v_{\parallel }$ 与 $v_{\perp }$。
2. radius 只用 $v_{\perp }$。
3. forward motion 用 $v_{\parallel }$。
4. 如需 pitch，使用 $p=v_{\parallel }T$。

E. Velocity selector

1. 画 electric force。
2. 画 magnetic force。
3. 要求两力 opposite。
4. 令：

$$|q|E=|q|vB$$

5. 得：

$$v=\frac{E}{B}$$

F. Mass spectrometer

1. velocity selector 求 $v$。
2. magnetic region 使用 $r=mv/(|q|B)$。
3. 比较 $m/|q|$。
4. 若 ions charge state 不同，不能只按 mass 比 radius。

G. Hall effect

1. 判断 actual carrier velocity。
2. 判断 magnetic deflection。
3. 标两侧 accumulated charge。
4. equilibrium 写 $E_H=v_{d}B$。
5. 用 $V_H=E_{H}d$ 得 $V_H=v_{d}Bd$。

24. After-Class Compression / 课后压缩版

1. magnetic field $\vec{B}$ 是 vector field。
2. compass N pole 指向 $\vec{B}$。
3. magnetic field lines 是 closed loops。
4. current 是 moving charge，所以 current creates magnetic field。
5. straight wire：thumb along $I$，fingers curl along $\vec{B}$。
6. current loop/solenoid：fingers along $I$，thumb along axial $\vec{B}$。
7. Lorentz force：

$${\vec{F}}_B=q\vec{v}\times \vec{B}$$

8. magnitude：

$$F_B=|q|vB\sin \theta$$

9. force perpendicular to $\vec{v}$ and $\vec{B}$。
10. negative charge reverses direction。
11. magnetic force does no work。
12. perpendicular entry：

$$r=\frac{mv}{|q|B}$$

13. oblique entry：helical motion。
14. velocity selector：

$$v=\frac{E}{B}$$

15. mass spectrometer：$r\propto m/|q|$ at fixed $v,B$。
16. Hall effect：

$$E_H=v_{d}B,V_H=v_{d}Bd$$

25. Video Companion / 搭配课堂观看

Timestamp	内容
00:00-00:06	从 electrostatics/circuits 过渡到 magnetism
00:06-00:12	bar magnet、磁化、磁单极子与闭合磁场
00:12-00:20	magnetic field lines、compass 与 Earth’s field
00:20-00:28	atomic magnetic dipoles 与 material magnetism
00:28-00:32	permeability $\mu$ 与 ${\mu }_0$
00:32-00:38	solenoid、电机与电刷的课堂延伸
00:38-00:47	Oersted experiment 与 current-field right-hand rules
00:47-00:53	Lorentz force 与 cross product
00:53-01:03	force-direction exercises、positive/negative charge
01:03-01:05	magnitude、tesla 与 total electromagnetic force
01:17-01:22	magnetic force does no work、circular radius
01:22-01:29	isotope separation 与 helical motion
01:29-01:39	velocity selector 与数值题
01:39-01:44	electron direction combinations
01:44-01:47	mass spectrometer
01:47-01:53	Hall effect 的 charge-separation mechanism
01:53-01:57	全课总结与下一节 Ampere’s law 预告

26. Connections / 知识网络

Lecture Sequence

• Previous: AP电磁学第10次正课-等效电容与RC电路
• Next: AP电磁学第12次正课-载流导线力与安培定律

Magnetic Branch

• Magnetic Fields -> closed field lines and fields generated by currents
• Lorentz Force -> ${\vec{F}}_B=q\vec{v}\times \vec{B}$
• Charged-Particle Motion in Magnetic Fields -> circular / helical paths
• Hall Effect -> transverse charge separation and voltage

Electric-Magnetic Bridge

• Electric Field -> electric force can change speed
• Electric Current -> organized moving charge creates magnetic field
• Electric Force -> compare $q\vec{E}$ with $q\vec{v}\times \vec{B}$

Mechanics and Mathematics Bridge

• Vectors -> cross product and three-dimensional direction
• Newton’s Second Law -> magnetic force supplies centripetal acceleration

本课完成了从“电荷产生场”到“运动电荷产生磁场、磁场再改变运动电荷方向”的闭环。后续 Ampere’s law 会进一步计算 current distribution 所产生的 magnetic field。

第 12 课已经把这条线展开为 Force on a Current-Carrying Wire、Biot-Savart Law、Ampere’s Law 与 Solenoids and Toroids。