Exponential Functions

Core Sentence / 核心句

An exponential function turns additive changes in its input into multiplicative changes in its output.

中文理解：输入每增加相同的量，输出就乘以相同的倍数；这就是指数函数的结构核心。

Formula / 公式

$$f(x)=a^x,a>0$$ $$a^{x+h}=a^x{a}^h$$ $$\frac{d}{dx}{a}^x=(\ln a)a^x$$

Memory Sentence / 记忆句

Every exponential function has a derivative proportional to itself.

中文：指数函数越大，它的绝对变化速度也按同一比例越大。

When To Use / 什么时候用

看到 constant percentage growth、repeated multiplication、doubling、half-life 或 $y^{\prime }=ky$ 时，考虑 exponential model。

Watch Out / 易错点

• $a^x$ 的导数不是总等于 $a^x$；必须乘 $\ln a$。
• $a^x$ 与 $x^a$ 的变量位置不同，求导规则不同。
• 指数模型表达 constant relative rate，不是 constant absolute increase。

Search and Source Mentions / 搜索与出现位置

Mentioned In / 出现位置

• Chapter 5 · The Key Exponential Property
  • exponent addition becomes output multiplication
• Chapter 5 · General Exponential Derivative
  • $(a^x{)}^{\prime }=(\ln a)a^x$
• 第10次正课 · exponential charging
• 第10次正课 · exponential discharge

Connected Notes / 连接

• 05 - What’s So Special About Euler’s Number e
• Euler’s Number e
• Natural Logarithm
• Exponential Growth
• Derivatives
• AP电磁学第10次正课-等效电容与RC电路
• RC Circuits
• Chain Rule
• Taylor Series