AP物理C力学第1次正课 - 位移速度加速度与运动图像

Reading Guide / 阅读说明

这节课从 vector language 开始，建立完整的一维运动学链条，并用 $x$-$t$、$v$-$t$、$a$-$t$ graphs 把 derivative 和 integral 变成可见的物理关系。结尾进入 constant acceleration 与 free fall，为下一课的二维抛体运动做准备。

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一句话主线

Position tells where an object is; velocity tells how position changes; acceleration tells how velocity changes. Slopes differentiate this chain, and signed areas integrate it backward.

位置告诉你物体在哪里；速度告诉你位置怎样变；加速度告诉你速度怎样变。图像斜率沿链条向下求导，带符号面积沿链条向上累积。

1. Class Flow / 课堂脉络

1. scalar 与 vector。
2. position、displacement 与 distance。
3. vector equality、opposite vectors、head-to-tail addition、components。
4. average velocity 与 average speed。
5. instantaneous velocity 与 tangent slope。
6. average / instantaneous acceleration。
7. $x$-$t$、$v$-$t$、$a$-$t$ graph 的 slope-area dictionary。
8. 用 derivative 和 integral 在 $x,v,a$ 之间转换。
9. constant-acceleration equations。
10. Free Fall 作为 constant acceleration 的特例。

2. Scalars and Vectors / 标量与矢量

A scalar has magnitude only; a vector has both magnitude and direction.

• scalar examples: distance, speed, time, mass。
• vector examples: position, displacement, velocity, acceleration, force。

向量可写成 components：

$$\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$$

其中 $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ 是沿坐标轴的 unit vectors，大小均为 1。

Vector addition

几何上用 head-to-tail rule 或 parallelogram rule；代数上逐分量相加：

$$\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x)\hat{i}+(A_y+B_y)\hat{j}+(A_z+B_z)\hat{k}$$

课堂强调的路径写法：

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

这将在下一课的 Relative Motion 中再次出现。

Vector subtraction

$$\vec{A}-\vec{B}=\vec{A}+(-\vec{B})$$

如果两个向量起点相同，$“末减初”$ 的差向量由初向量箭头指向末向量箭头。

3. Position, Displacement, and Distance / 位置、位移与路程

Position and Displacement 的核心定义：

$$\boxed{\Delta \vec{r}={\vec{r}}_f-{\vec{r}}_i}$$

Displacement is the change in position, not the path traveled.

distance 是实际路径总长度，是 scalar；displacement 只看起点到终点，是 vector。

$$\boxed{\text{distance}\ge |\text{displacement}|}$$

只有沿直线且不反向时取等号。绕一圈回到起点时：

$$\Delta \vec{r}=0,\text{distance}>0$$

一维中：

$$\Delta x=x_f-x_i$$

$\Delta x>0$ 只表示末位置相对初位置更靠正方向，不代表运动过程中从未反向。

4. Average Velocity and Average Speed / 平均速度与平均速率

$$\boxed{{\vec{v}}_{\text{avg}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}}$$ $$\boxed{\text{average speed}=\frac{\text{total distance}}{\Delta t}}$$

因此：

$$\text{average speed}\ge |{\vec{v}}_{\text{avg}}|$$

Average velocity depends on displacement; average speed depends on total distance.

中文抓手：一个看首尾净变化，一个看整个路径。

5. Instantaneous Velocity / 瞬时速度

$$\boxed{v(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}}$$

在 position-time graph 上：

• finite interval secant slope = average velocity；
• tangent slope at one time = instantaneous velocity。

instantaneous speed 是 instantaneous velocity 的 magnitude：

$$\boxed{\text{speed}=|v|}$$

注意：这与 average speed 的定义不同。后者不能写成 $|v_{\text{avg}}|$，除非运动没有反向。

6. Acceleration / 加速度

$$\boxed{a_{\text{avg}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}}$$ $$\boxed{a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}}$$

Acceleration describes how velocity changes, not how fast an object is moving.

速率变化判断：

• $v$ 与 $a$ 同号：speeding up；
• $v$ 与 $a$ 异号：slowing down。

negative acceleration 不等于 slowing down。若 $v<0,a<0$，速度数值更负，但 speed 反而增大。

7. Kinematics Graphs / 运动图像字典

Kinematics Graphs 的核心不是“认形状”，而是准确说出 ordinate、slope 和 signed area 各代表什么。

Graph	Height / 纵坐标	Slope / 斜率	Signed area / 带符号面积
$x$-$t$	position $x$	velocity $v$	通常无直接基础含义
$v$-$t$	velocity $v$	acceleration $a$	displacement $\Delta x$
$a$-$t$	acceleration $a$	jerk（本课不重点）	change in velocity $\Delta v$

Reading an $x$-$t$ graph

• graph above axis: position positive，不代表一定向右运动；
• slope positive: $v>0$；slope negative: $v<0$；
• slope zero: momentarily at rest；
• slope becoming steeper: $|v|$ increasing。

Reading a $v$-$t$ graph

• height sign gives direction；
• slope gives acceleration；
• crossing the axis means $v=0$ and may indicate reversal；
• area above axis positive, below axis negative。

$$\Delta x={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$$

若求 total distance：

$$\text{distance}={\int }_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt$$

Reading an $a$-$t$ graph

$$\Delta v={\int }_{t_1}^{t_2}a(t)dt$$

area 给的是 velocity change，不是 final velocity：

$$v_f=v_i+{\int }_{t_i}^{t_f}a(t)dt$$

8. Initial Conditions / 初始条件为什么不可少

积分 acceleration：

$$v(t)=\int a(t)dt=v_{\text{family}}(t)+C$$

$C$ 由 initial velocity 确定。再积分得到 position 时，还需要 initial position。

A rate of change determines how motion evolves, but an initial condition determines which motion occurs.

见 Initial Conditions。

9. Constant-Acceleration Motion / 匀加速运动

当 $a$ 在所研究区间内恒定，Constant-Acceleration Motion 给出：

$$\boxed{v=v_0+at}$$ $$\boxed{x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2}$$ $$\boxed{v^2=v_0^2+2a(x-x_0)}$$

以及：

$$v_{\text{avg}}=\frac{v_0+v}{2},\Delta x=v_{\text{avg}}t$$

Formula selection / 选公式的方法

先列已知与未知变量，再选不含多余未知量的 equation：

• 没有 time：优先考虑 $v^2=v_0^2+2a\Delta x$；
• 已知 $t$、$v_0$、$a$ 求 $v$：用 $v=v_0+at$；
• 已知 $t$ 求 position：用 $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$。

不要把公式选择变成关键词匹配；先确认 constant acceleration assumption。

10. Free Fall / 自由落体

忽略空气阻力、近地面时：

$$\vec{a}=\vec{g}$$

若 upward is positive：

$$a=-g,g\approx 9.8{\text{m/s}}^2$$

课堂计算有时按题目约定取 $g\approx 10{\text{m/s}}^2$。符号来自坐标选择，不是来自字母 $g$ 本身。

从静止释放只是 free fall 的一种：$v_0=0$；竖直上抛同样只受重力，也是 free fall，但 $v_0\ne 0$。

11. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文抓手
Position is a vector measured from an origin.	位置必须相对原点并带方向。
Displacement depends only on the endpoints.	位移只看首尾。
Velocity is the slope of a position-time graph.	$x$-$t$ 图的斜率是速度。
Displacement is the signed area under a velocity-time graph.	$v$-$t$ 图带符号面积是位移。
Negative acceleration means velocity is decreasing, not necessarily speed.	负加速度表示速度变小，不必然表示速率变小。
Gravity points downward regardless of the chosen positive direction.	重力方向向下，正负号由坐标决定。

12. Exam Communication / 作答语言

• “The slope of the position-time graph is the velocity.”
• “The signed area under the velocity-time graph from $t_1$ to $t_2$ equals the displacement.”
• “Because velocity and acceleration have opposite signs, the object’s speed is decreasing.”
• 写出单位；vector answer 还应写方向或带符号分量。

13. Next / 下一课

AP物理C力学第2次正课-抛体相对运动与力的开端 把一维匀加速模型分解到 $x,y$ 两个方向，并用 vector addition 处理 relative velocity。