AP电磁学第8次正课 - 介电质、电流与电阻

Reading Guide / 阅读说明

本笔记对应 the course transcript，是物理 C 电磁学第 8 次正课。它先完成 AP电磁学第7次正课-电容器与电容储能 留下的 energy density 与 dielectric，再于 00:51:52 进入 Electric Circuits。

本节的主线是把 electrostatics 里的“charge 被分开并停住”转向 circuits 里的“charge 在 field 驱动下持续漂移”：

capacitor energy
-> energy stored per unit volume
-> dielectric polarization changes capacitance
-> potential difference creates an internal field
-> field gives carriers a drift velocity
-> charge flow becomes current
-> material opposition becomes resistivity
-> geometry turns resistivity into resistance
-> circuit topology determines equivalent resistance

必须先分清两个状态：

Electrostatic equilibrium has no current and no electric field inside the conductor; steady conduction requires a nonzero internal field.

第 6 讲的 conductor 内 $E=0$ 只适用于 electrostatic equilibrium。接入电源并形成 steady current 后，导线内部必须有 field 驱动 charge carriers。

1. What This Lecture Is About / 这节课在讲什么

这节课有两个连续的部分。

第一部分完成 capacitor：

• electric energy density 为什么与 $E^2$ 成正比；
• dielectric constant 与 permittivity 的区别；
• dielectric polarization 如何削弱给定 free charge 产生的 net field；
• 插入 dielectric 后先判断 battery connected 还是 isolated；
• constant voltage 与 constant charge 下 $C,Q,\Delta V,E,U$ 的不同变化。

第二部分进入 circuits：

• current 是通过截面的 net charge flow rate；
• random thermal motion 与 drift velocity 如何共存；
• conventional current 与 electron drift 方向相反；
• $I=n|q|A{v}_d$ 的微观来源；
• resistance 的定义式 $R=\Delta V/I$ 与决定式 $R=\rho L/A$；
• current density $\vec{J}$ 如何去掉横截面积的几何影响；
• microscopic Ohm’s law：$\vec{E}=\rho \vec{J}$；
• series/parallel resistor 的分压、分流与 equivalent resistance。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 回顾 capacitance、parallel-plate geometry 与 capacitor energy。
2. 定义 electric energy density $u_E=U/(Ad)$。
3. 推导 vacuum 中 $u_E=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2$。
4. 区分 total energy 与 energy density。
5. 定义 permittivity $ϵ$ 与 relative permittivity $\kappa$。
6. 用 molecular polarization 解释 dielectric 的 induced field。
7. 比较 dielectric 与 conductor：部分抵消和完全静电屏蔽。
8. 推出 $C=\kappa C_0=\kappa {ϵ}_{0}A/d$。
9. 分析 constant $\Delta V$ 时插入 dielectric。
10. 分析 constant $Q$ 时插入 dielectric。
11. 结束 capacitor 单元，进入 electric circuits。
12. 定义 current $I=dQ/dt$。
13. 区分 thermal motion 与 net drift。
14. 定义 conventional current direction。
15. 推导 $I=n|q|A{v}_d$。
16. 识别 battery、switch、resistor、ammeter、voltmeter 等元件。
17. 区分 Ohmic 与 non-Ohmic element。
18. 定义 resistance：$R=\Delta V/I$。
19. 推出 $R=\rho L/A$，分析长度与半径缩放。
20. 说明 resistivity 的材料与温度依赖。
21. 定义 current density，并处理非均匀 $J(r)$ 的面积积分。
22. 建立 microscopic Ohm’s law：$\vec{E}=\rho \vec{J}$。
23. 推导 series/parallel resistance。
24. 用 voltage division 与 current division 解组合电路。

3. Electric Energy Density / 电场能量密度

Knowledge Point 1: Field Energy Is Stored Throughout Space

Transcript: 00:01:09-00:08:46

由第 7 讲：

$$U=\frac{1}{2}C(\Delta V{)}^2$$

理想 parallel-plate capacitor 中，field 主要存在于两板之间。若 plate area 为 $A$、separation 为 $d$，field region volume 为：

$$\mathcal{V}=Ad$$

electric energy density 定义为单位体积储存的能量：

$$u_E=\frac{U}{\mathcal{V}}$$

Electric energy density tells us how much field energy is stored per unit volume.

Knowledge Point 2: In Vacuum, Energy Density Is Proportional to E Squared

平行板 capacitor：

$$C=\frac{{ϵ}_{0}A}{d},E=\frac{|\Delta V|}{d}$$

因此：

$$u_E=\frac{\frac{1}{2}C(\Delta V{)}^2}{Ad}$$ $$=\frac{\frac{1}{2}({ϵ}_{0}A/d)(\Delta V{)}^2}{Ad}$$ $$=\frac{1}{2}{ϵ}_0{\left(\frac{\Delta V}{d}\right)}^2$$

得到：

$$\boxed{u_E=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2}$$

在线性 dielectric 中则为：

$$\boxed{u_E=\frac{1}{2}ϵE^2}$$

Knowledge Point 3: Stronger Field Means Greater Density, Not Necessarily Greater Total Energy

因为：

$$u_E\propto E^2$$

field strength 越大，说明该位置每单位体积储存的 energy 越多。但 total field energy 还要对整个空间积分：

$$\boxed{U=\int u_{E}d\mathcal{V}}$$

所以：

• 小区域内 $E$ 很强：energy density 高，但 total energy 未必大；
• 很大区域内 $E$ 较弱：total energy 仍可能很大。

Field strength tracks local energy density, while total energy also depends on the volume occupied by the field.

4. Dielectric Constant and Polarization / 介电常数与极化

Knowledge Point 4: Relative Permittivity Compares a Medium with Vacuum

Transcript: 00:09:12-00:18:57

absolute permittivity：

$$ϵ$$

vacuum permittivity：

$${ϵ}_0$$

relative permittivity / dielectric constant：

$$\boxed{\kappa =\frac{ϵ}{{ϵ}_0}}$$

所以：

$$\boxed{ϵ=\kappa {ϵ}_0}$$

$\kappa$ is dimensionless；vacuum 中 $\kappa =1$，ordinary dielectric 通常 $\kappa >1$。

The dielectric constant tells how strongly a material polarizes compared with vacuum.

Knowledge Point 5: A Dielectric Polarizes Without Conducting Freely

dielectric 通常是 Insulators。外加 field 使材料内部 bound charges 发生微小位移或使 permanent dipoles 转向：

• negative bound charge 稍向 positive plate 一侧偏移；
• positive bound charge 稍向 negative plate 一侧偏移。

由此形成 polarization charge，并产生与 applied field 相反的 induced field。

A dielectric reduces the net field by polarizing its bound charges, not by allowing free charge to cross the material.

这连接到 Polarization。

Knowledge Point 6: A Dielectric Partly Screens; a Conductor Reaches Electrostatic Cancellation

对 fixed free charge：

$$\boxed{E=\frac{E_0}{\kappa }}$$

dielectric 的 induced field 只部分抵消 free-charge field。conductor 在 electrostatic equilibrium 中则通过 free-charge redistribution 使内部 net field 为零。

课堂把 metal 说成“$\kappa \to \infty$”可作为 screening 的直观极限，但不要把 metal 当作普通 linear dielectric 直接代入 capacitor dielectric 公式；两者的 carrier physics 不同。

5. Dielectric Changes Capacitance / 介质如何改变电容

Knowledge Point 7: Filling the Gap Multiplies Capacitance by Kappa

Transcript: 00:18:57-00:25:29

完全填充 dielectric：

$$\boxed{C=\frac{ϵA}{d}}$$ $$=\frac{\kappa {ϵ}_{0}A}{d}$$

若 vacuum capacitance 为：

$$C_0=\frac{{ϵ}_{0}A}{d}$$

则：

$$\boxed{C=\kappa C_0}$$

polarization 降低了给定 free charge 对应的 voltage，因此同样 voltage 下 capacitor 可储存更多 free charge。

A dielectric increases capacitance because polarization lowers the voltage produced by a given free charge.

6. Insert a Dielectric: Two Different Constraints / 插入介质的两种条件

Knowledge Point 8: Battery Connected Means Constant Voltage

Transcript: 00:25:29-00:29:33 and 00:36:36-00:50:25

geometry 不变、dielectric 完全插入，且 capacitor 仍 connected to battery：

$$\Delta V=\text{constant}$$ $$C^{\prime }=\kappa C$$ $$Q^{\prime }=C^{\prime }\Delta V=\kappa Q$$

因为 $d$ 与 $\Delta V$ 都固定：

$$\boxed{E^{\prime }=\frac{\Delta V}{d}=E}$$

能量：

$$U^{\prime }=\frac{1}{2}{C}^{\prime }(\Delta V{)}^2=\kappa U$$

quantity	after insertion
$C$	multiplied by $\kappa$
$Q$	multiplied by $\kappa$
$\Delta V$	constant
net $E$	constant
$U$	multiplied by $\kappa$

这里最容易混淆：polarization field 确实反向，但 battery 会补充 free charge，使 plate-charge field 增大，最终 net field 仍由 fixed voltage 决定。

At constant voltage, the battery supplies extra free charge, so the net field remains $E=\Delta V/d$.

Knowledge Point 9: Isolated Capacitor Means Constant Free Charge

battery 断开后：

$$Q=\text{constant}$$ $$C^{\prime }=\kappa C$$ $$\Delta V^{\prime }=\frac{Q}{C^{\prime }}=\frac{\Delta V}{\kappa }$$ $$E^{\prime }=\frac{\Delta V^{\prime }}{d}=\frac{E}{\kappa }$$ $$U^{\prime }=\frac{Q^2}{2C^{\prime }}=\frac{U}{\kappa }$$

quantity	after insertion
$C$	multiplied by $\kappa$
$Q$	constant
$\Delta V$	divided by $\kappa$
net $E$	divided by $\kappa$
$U$	divided by $\kappa$

减少的 field energy 转化为 dielectric 被吸入 capacitor 的 mechanical work、热等，取决于插入过程。

At constant charge, polarization lowers both the field and the voltage by a factor of $\kappa$.

7. Electric Current / 电流

Knowledge Point 10: Current Is Net Charge Flow Rate

Transcript: 00:51:52-00:58:19

通过某一 oriented cross-section 的 current：

$$\boxed{I=\frac{dQ}{dt}}$$

若一段时间内 current constant：

$$I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$$

SI unit：

$$1\mathrm{A}=1\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{s}}$$

Electric current measures the net amount of charge crossing a surface per unit time.

current 有约定方向，但在普通 circuit analysis 中作为 signed scalar 使用，不是像 $\vec{E}$ 那样可任意做空间矢量分解的 vector quantity。

Knowledge Point 11: Random Thermal Motion Does Not Produce Net Current

conductor 内 electrons 即使没有 battery 也在快速 random thermal motion，但各方向平均抵消：

$$⟨{\vec{v}}_{\text{thermal}}⟩=0$$

接入 source 后，random motion 上叠加很小的 average drift velocity：

$$\vec{v}={\vec{v}}_{\text{thermal}}+{\vec{v}}_d$$

macroscopic current 来自 ${\vec{v}}_d$，不是来自巨大但方向随机的 thermal speed。

Current is the tiny directional drift left after random carrier motion averages out.

Knowledge Point 12: Conventional Current Is Opposite Electron Drift

conventional current direction 定义为 positive charge motion direction：

• conventional current：higher potential terminal toward lower potential through external circuit；
• electron drift in metal：opposite conventional-current direction。

计算 current magnitude 时常用 $|q|$，避免负电子电荷改变 magnitude。

8. Microscopic Current Formula / 电流的微观表达式

Knowledge Point 13: Count the Carriers Crossing a Slice

Transcript: 00:58:19-01:01:38

设：

• $n$：number density，单位体积内 carriers 数量，单位 ${\mathrm{m}}^{-3}$；
• $q$：每个 carrier 的 charge；
• $A$：wire cross-sectional area；
• $v_d$：drift-speed magnitude。

时间 $dt$ 内通过截面的 carrier volume：

$$d\mathcal{V}=A{v}_{d}dt$$

carrier 数量：

$$dN=nA{v}_{d}dt$$

通过的 charge magnitude：

$$dQ=n|q|A{v}_{d}dt$$

所以：

$$\boxed{I=n|q|A{v}_d}$$

电子电荷 magnitude：

$$\boxed{e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}}$$

transcript 在这里把 exponent 识别成了 $10^{-9}$；正确值是 $10^{-19}$。

Current grows with carrier density, charge per carrier, cross-sectional area, and drift speed.

9. Circuit Model and Instruments / 电路与仪表模型

Knowledge Point 14: A Steady Circuit Needs a Closed Path and an Energy Source

Transcript: 01:02:04-01:05:01

最基本 steady circuit 需要：

• closed conducting path；
• source / battery 提供 EMF；
• load，例如 resistor；
• switch 可控制是否闭合。

EMF 不是 mechanical force，而是 source 每单位 charge 提供的 energy：

$$\mathcal{E}=\frac{W_{\text{source}}}{q}$$

单位仍是 volt。

Knowledge Point 15: Ideal Meters Are Extreme Resistance Models

• ideal ammeter 串联测 current：

$$R_A=0$$

• ideal voltmeter 并联测 potential difference：

$$R_V\to \infty$$

ammeter 不能显著阻碍 current；voltmeter 不能显著抽走 current。

10. Resistance and Ohm’s Law / 电阻与欧姆定律

Knowledge Point 16: Ohmic Behavior Means a Linear V-I Relationship

Transcript: 01:07:53-01:10:50

对于 Ohmic element 且 physical conditions fixed：

$$\boxed{\Delta V=IR}$$ $$\boxed{R=\frac{\Delta V}{I}}$$

SI unit：

$$1\Omega =1\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}$$

在 $I$ versus $V$ graph 上：

$$\text{slope}=\frac{I}{V}=\frac{1}{R}$$

在 $V$ versus $I$ graph 上：

$$\text{slope}=\frac{V}{I}=R$$

An Ohmic element has a linear voltage-current relation under fixed physical conditions.

diode 等 non-Ohmic element 的 $V-I$ curve 非线性，ratio $V/I$ 可能随 operating point 改变。

Knowledge Point 17: Resistance Is Not Caused by the Applied Voltage

$R=\Delta V/I$ 是 operational definition。对理想 Ohmic resistor，增大 voltage 会按比例增大 current，$R$ 保持不变。

这与 capacitance 的逻辑平行：

quantity	definition relation	determined mainly by
capacitance	$C=Q/	\Delta V
resistance	$R=\Delta V/I$	geometry + resistivity

11. Resistivity and Geometry / 电阻率与几何

Knowledge Point 18: Length Raises Resistance; Area Lowers It

Transcript: 01:10:50-01:20:58

uniform wire：

$$\boxed{R=\rho \frac{L}{A}}$$

• $L$ larger：carriers travel through more material，$R$ larger；
• $A$ larger：more parallel conducting paths，$R$ smaller；
• $\rho$：resistivity，描述 material 的本征阻碍程度。

unit：

$$[\rho ]=\Omega \cdot \mathrm{m}$$

Resistance combines a material property, resistivity, with the conductor’s geometry.

Knowledge Point 19: Radius Changes Resistance Quadratically

cylindrical wire：

$$A=\pi r^2$$

若 $L\to 3L$ 且 $r\to 3r$：

$$A\to 9A$$ $$R^{\prime }=\rho \frac{3L}{9A}=\frac{R}{3}$$

不要把 radius 的倍数直接当 area 的倍数。

Knowledge Point 20: For Nonuniform Material, Add Differential Resistances

若 $\rho$ 或 $A$ 随位置变化：

$$dR=\rho (x)\frac{dx}{A(x)}$$ $$\boxed{R=\int \rho (x)\frac{dx}{A(x)}}$$

这把均匀公式推广为 Integrals 形式。

Knowledge Point 21: Resistivity Usually Depends on Temperature

在有限温区内，许多 metals 可近似：

$$\rho (T)={\rho }_0[1+\alpha (T-T_0)]$$

温度升高通常使 lattice vibration 增强，electron scattering 增多，resistivity 上升。但并非所有 material 都遵循同一趋势，semiconductors 与 non-Ohmic devices 需单独分析。

12. Current Density / 电流密度

Knowledge Point 22: Current Density Removes the Size of the Cross Section

Transcript: 01:21:45-01:28:58

uniform flow perpendicular to area：

$$\boxed{J=\frac{I}{A}}$$

vector form：

$$\boxed{I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}}$$

SI unit：

$$[J]=A/{\mathrm{m}}^2$$

current $I$ 描述整个 cross-section 的 total flow；current density $\vec{J}$ 描述局部每单位面积的 flow。

Current is total flow through a cross section; current density is local flow per unit area.

Knowledge Point 23: Microscopic Current Density Is Carrier Charge Flow

由：

$$I=n|q|A{v}_d$$

除以 $A$：

$$\boxed{J=n|q|v_d}$$

vector form 若保留 signed carrier charge：

$$\boxed{\vec{J}=nq{\vec{v}}_d}$$

对 electrons，$q<0$，所以 $\vec{J}$ 与 electron drift velocity 方向相反。

Knowledge Point 24: Nonuniform Current Density Requires an Area Integral

若 radius 为 $a$ 的 circular cross-section 中：

$$J(r)=\beta r^2$$

取 thin annulus：

$$dA=2\pi rdr$$

总 current：

$$I={\int }_0^{a}J(r)dA$$ $$={\int }_0^a(\beta r^2)(2\pi rdr)$$ $$=2\pi \beta {\int }_0^a{r}^{3}dr$$ $$\boxed{I=\frac{\pi \beta a^4}{2}}$$

关键不是直接写 $J\pi a^2$，因为 $J$ 随 $r$ 变化；必须把 disk 拆成 concentric annuli。

13. Microscopic Ohm’s Law / 微观欧姆定律

Knowledge Point 25: Resistivity Relates Field to Current Density

Transcript: 01:40:19-01:43:20

local Ohm’s law：

$$\boxed{\vec{E}=\rho \vec{J}}$$

等价地定义 conductivity ${\sigma }_c=1/\rho$：

$$\boxed{\vec{J}={\sigma }_c\vec{E}}$$

这里写 ${\sigma }_c$ 是为了避免与 surface charge density 的 $\sigma$ 混淆。

Resistivity measures how much electric field is required to produce a given current density.

同样 $\vec{E}$ 下：

• larger $\rho$ -> smaller $\vec{J}$；
• smaller $\rho$ -> larger $\vec{J}$。

Knowledge Point 26: Macroscopic Ohm’s Law Follows from the Local Law

uniform wire：

$$E=\frac{\Delta V}{L},J=\frac{I}{A}$$

代入 $E=\rho J$：

$$\frac{\Delta V}{L}=\rho \frac{I}{A}$$ $$\Delta V=I\left(\rho \frac{L}{A}\right)$$

由于：

$$R=\rho \frac{L}{A}$$

得到：

$$\boxed{\Delta V=IR}$$

这条推导说明：macroscopic resistance 是 local material response 在特定 geometry 上的整体结果。

14. Series and Parallel Resistors / 电阻串并联

Knowledge Point 27: Series Resistors Carry the Same Current

Transcript: 01:43:20-01:45:33

series circuit 只有一条 current path：

$$I_1=I_2=\cdots =I$$

总 potential difference：

$$\Delta V=\sum _i\Delta V_i$$

由 $\Delta V_i=I{R}_i$：

$$\boxed{R_{\text{eq}}=\sum _i{R}_i}$$

voltage division：

$$\boxed{\Delta V_i=\frac{R_i}{R_{\text{eq}}}\Delta V}$$

Series resistors share current and divide voltage in proportion to resistance.

Knowledge Point 28: Parallel Resistors Share the Same Voltage

parallel branches connect to the same two nodes：

$$\Delta V_1=\Delta V_2=\cdots =\Delta V$$

total current：

$$I=\sum _i{I}_i$$

由 $I_i=\Delta V/R_i$：

$$\boxed{\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\sum _i\frac{1}{R_i}}$$

current division for two branches：

$$\boxed{\frac{I_1}{I_2}=\frac{R_2}{R_1}}$$

Parallel resistors share voltage and divide current inversely with resistance.

parallel equivalent resistance 必小于最小 branch resistance，因为并联增加了额外 conduction paths。

Knowledge Point 29: Reduce the Network Step by Step

Transcript: 01:45:33-01:49:35

组合电路动作：

1. 先找最内层明确 series 或 parallel 的 group；
2. 替换为 equivalent resistance；
3. 重复化简直到只剩 $R_{\text{eq}}$；
4. 用 source voltage 求 total current；
5. 从外向内还原各 group 的 voltage/current；
6. 用 junction current conservation 检查。

课堂例子中，$6\Omega$ 与 $3\Omega$ 并联：

$$R_p=2\Omega$$

再与 $4\Omega$ 串联：

$$R_{\text{eq}}=6\Omega$$

$18\mathrm{V}$ source 给出：

$$I_{\text{total}}=3\mathrm{A}$$

parallel section voltage 为 $6\mathrm{V}$，所以 branch currents 为 $1\mathrm{A}$ 与 $2\mathrm{A}$，相加回到 $3\mathrm{A}$。

15. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文对应理解
Field strength tracks local energy density.	场强反映单位空间内储存多少场能，不直接等于总能量。
A dielectric polarizes but does not freely conduct.	介质中的束缚电荷发生微小偏移，但不会像金属自由穿过材料。
Polarization opposes the applied field.	极化产生反向场，削弱给定自由电荷造成的净场。
A dielectric increases capacitance.	同样电势差下，介质使电容器能容纳更多自由电荷。
The battery fixes voltage; isolation fixes charge.	插介质题第一步先判断接电源还是断电。
Current is net charge flow, not random microscopic motion.	热运动各方向抵消，只有平均漂移形成宏观电流。
Conventional current points opposite electron drift.	电流方向按正电荷定义，金属电子实际向反方向漂移。
Drift velocity is much smaller than thermal speed.	电子运动很快，但定向平均漂移通常很慢。
Resistance combines material and geometry.	电阻既看电阻率，也看长度和横截面积。
Current density removes the cross-sectional size effect.	$J=I/A$ 描述局部单位面积电流，比总电流更接近材料响应。
The local Ohm’s law is $\vec{E}=\rho \vec{J}$.	产生一定电流密度需要多少场强，由电阻率决定。
Series divides voltage; parallel divides current.	串联同流按阻分压，并联同压按阻反比分流。

16. Common Mistakes / 易错点

1. 把 energy density $u_E$ 与 total energy $U$ 混淆。
2. 认为 $u_E\propto E$；正确是 $u_E\propto E^2$。
3. 把 relative permittivity $\kappa$ 写成有单位的量；它是 dimensionless ratio。
4. 认为 dielectric polarization 与 conductor induction 完全相同；前者是 bound-charge displacement，后者有 free-charge redistribution。
5. 插 dielectric 后不先判断 constant $\Delta V$ 还是 constant $Q$。
6. 接电源且 gap fixed 时仍写 net $E\to E/\kappa$；正确是 $E=\Delta V/d$ 不变。
7. 把 electrostatic conductor 内 $E=0$ 无条件套到 carrying-current wire；steady current 需要 internal $E$。
8. 把 random thermal electron motion 当成 net current。
9. 让 electron drift 与 conventional current 同向。
10. 把 number density $n$ 当成 total number 或 charge density。
11. 把 electron charge magnitude 写成 $10^{-9}\mathrm{C}$；正确是 $1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$。
12. 看到 current 有方向就直接称它为 ordinary vector；circuit current 通常是带方向约定的 scalar。
13. 用 $R=V/I$ 推断“加大 voltage 使 resistance 改变”；对 Ohmic element 这是定义关系。
14. 半径扩大三倍时只让 area 扩大三倍；正确是九倍。
15. 非均匀 $J(r)$ 直接乘总面积；应写 $I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$。
16. 在 current-density integral 中把 $dA$ 直接当 $dr$；圆面应使用 $dA=2\pi rdr$。
17. 混淆 resistivity $\rho$ 与 resistance $R$。
18. 把 ammeter 并联或 voltmeter 串联。
19. 认为 parallel equivalent resistance 大于某个 branch；它一定小于最小 branch resistance。
20. 串联按阻值反比分压或并联按阻值正比分流；两者正好相反。

17. Problem-Solving Templates / 题型动作

A. Insert a dielectric

1. 用 $C^{\prime }=\kappa C$ 判断 capacitance。
2. 看 battery 是否 connected。
3. connected：$\Delta V$ constant；isolated：$Q$ constant。
4. 用 $Q=C\Delta V$ 求另一个量。
5. 用 $E=\Delta V/d$ 判断 net field。
6. 选 $U=\frac{1}{2}C(\Delta V{)}^2$ 或 $U=Q^2/(2C)$。

B. Microscopic current

1. 写 $I=n|q|A{v}_d$。
2. 检查 $n$ 单位为 ${\mathrm{m}}^{-3}$。
3. 用 $A=\pi r^2$。
4. electron charge 使用 $1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$。
5. 若问方向，electron drift 与 conventional current 相反。

C. Resistance scaling

1. 写 $R=\rho L/A$。
2. material、temperature 不变才可令 $\rho$ 不变。
3. 对 circular wire 写 $A=\pi r^2$。
4. 分别比较 $L^{\prime }/L$ 与 $A^{\prime }/A$。
5. 组合成 $R^{\prime }/R$。

D. Nonuniform current density

1. 画 cross-section。
2. 根据 symmetry 选择 differential area。
3. circular symmetry：$dA=2\pi rdr$。
4. 写 $I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$。
5. 代入 $J(r)$ 后再积分。

E. Resistor network

1. 标出 nodes，不只看线条外形。
2. 找相同 current path 的 series group。
3. 找连接同一对 nodes 的 parallel group。
4. 逐层化简 $R_{\text{eq}}$。
5. 求 total current 后反向展开。
6. 用 branch-current sum 与 loop voltage sum 检查。

18. After-Class Compression / 课后压缩版

只记住十四句话：

1. vacuum field energy density：$u_E=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2$。
2. total field energy：$U=\int u_{E}d\mathcal{V}$。
3. $ϵ=\kappa {ϵ}_0$，$\kappa$ 衡量相对真空的极化响应。
4. dielectric 通过 bound-charge polarization 产生反向场。
5. fully filled capacitor：$C^{\prime }=\kappa C$。
6. 接电源插介质：$\Delta V,E$ 不变，$C,Q,U$ 增大 $\kappa$ 倍。
7. 断电插介质：$Q$ 不变，$C$ 增大 $\kappa$ 倍，$E,\Delta V,U$ 变为 $1/\kappa$。
8. current：$I=dQ/dt$。
9. microscopic current：$I=n|q|A{v}_d$。
10. conventional current 与 electron drift 方向相反。
11. Ohmic element：$\Delta V=IR$。
12. uniform wire：$R=\rho L/A$。
13. current density：$I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$，local Ohm’s law 为 $\vec{E}=\rho \vec{J}$。
14. series 同 current、阻值相加；parallel 同 voltage、conductance 相加。

19. Video Companion / 搭配课堂观看

时间	观看重点
00:01:09-00:03:44	回顾 capacitance 与 capacitor energy
00:03:44-00:09:12	electric energy density 与 $u_E=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2$
00:09:12-00:18:57	dielectric constant、polarization 与材料直觉
00:18:57-00:25:29	$E=E_0/\kappa$ 的条件与 $C=\kappa C_0$
00:25:29-00:40:43	插入 dielectric：constant voltage 与 constant charge
00:40:43-00:51:32	dielectric 选择题讲解与概念纠错
00:51:52-00:58:19	current 定义、thermal motion 与 drift velocity
00:58:19-01:01:38	推导 $I=n
01:02:04-01:05:01	circuit symbols、closed path 与 short circuit
01:07:53-01:10:50	Ohmic/non-Ohmic behavior 与 $R=V/I$
01:10:50-01:14:48	$R=\rho L/A$、材料与温度
01:15:15-01:20:58	wire geometry scaling 与 resistivity ratio
01:21:45-01:28:58	current density、drift speed 与面积积分
01:28:58-01:40:19	FRQ：由 $J(r)$ 积分求 total current
01:40:19-01:43:20	microscopic Ohm’s law：$\vec{E}=\rho \vec{J}$
01:43:20-01:49:35	series/parallel resistance、分压与分流

20. Connections / 知识网络

Lecture Sequence

• AP电磁学第6次正课-等势面与静电平衡
• AP电磁学第7次正课-电容器与电容储能

Capacitor and Material Branch

• Capacitors
• Dielectric Constant
• Polarization
• Insulators
• Conductors
• Electric Field
• Electric Potential

Current and Circuit Branch

• Electric Current
• Current Density
• Resistance and Resistivity
• Electric Circuits
• Charge Conservation

Mathematical Bridge

• Integrals connect local density to total quantity:

$$U=\int u_{E}d\mathcal{V},I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A},R=\int \rho \frac{dx}{A(x)}$$

本节把三种“总量来自局部密度的积分”放在同一张图里：field energy 来自 energy density，current 来自 current density，nonuniform resistance 来自 differential resistance。

Next Lecture / 下一讲

• AP电磁学第9次正课-电功率电表与基尔霍夫定律 从 resistor combinations 继续到 electric power、real batteries、meter conversion、Wheatstone bridge 与 Kirchhoff circuit analysis。