AP电磁学第9次正课 - 电功率、电表与基尔霍夫定律

Reading Guide / 阅读说明

课程内容表明第 9 节课讲 circuit simplification、Kirchhoff current/junction rule、voltage/loop rule 与计算技巧；the course transcript 的内容与此完全吻合。

transcript 开头又逐项回顾 AP电磁学第8次正课-介电质电流与电阻：

• macroscopic and microscopic Ohm’s law；
• $\vec{E}=\rho \vec{J}$；
• $I=n|q|A{v}_d$ 与 $J=n|q|v_d$；
• series/parallel resistors。

随后自然进入：

potential difference transfers energy to moving charge
-> electric power
-> real source = ideal EMF + internal resistance
-> meters are resistor networks built around a galvanometer
-> Wheatstone bridge uses equal-potential nodes
-> complex circuits cannot always be reduced by series/parallel inspection
-> Kirchhoff junction rule enforces charge conservation
-> Kirchhoff loop rule enforces energy conservation

因此，第 8 → 第 9 讲的知识衔接是连续的。第 9 讲也是目前第一节有用户明确 topic confirmation 的 official lecture number。

1. What This Lecture Is About / 这节课在讲什么

本节把“会化简简单电阻网络”提升为“能系统求解复杂多支路、多电源电路”。

前半段建立实际电路元件模型：

• charge 穿过 potential difference 时如何转移 energy；
• electric power 的三个常用公式及使用边界；
• 为什么 bulb brightness 看 power，不只看 current 或 voltage；
• real battery 为什么要建模为 EMF 与 internal resistance；
• terminal voltage 为什么随 current 改变；
• galvanometer 如何改造成 ammeter 与 voltmeter；
• Wheatstone bridge 如何用 zero-current condition 测 unknown resistance。

后半段进入 Kirchhoff’s Rules：

• junction rule 是 Charge Conservation；
• loop rule 是 energy conservation；
• unknown branch current 可以任意假设方向；
• negative current 只表示真实方向与假设相反；
• battery 与 resistor 的 loop sign 如何判断；
• 为什么多个 loops 中只选 independent equations；
• 如何从联立方程求 currents、unknown resistance、terminal voltage 和 component power。

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 回顾第 8 讲的 local Ohm’s law、current density 与 resistor combinations。
2. 从 $dU=dq\Delta V$ 推出 $P=I\Delta V$。
3. 对 Ohmic resistor 推出 $P=I^{2}R=(\Delta V{)}^2/R$。
4. 用 power 判断 identical bulbs 的 brightness。
5. 比较 bulbs 的 series 与 parallel connection。
6. 分析 parallel branch 中一个 bulb 断路后，其他 branch 为什么不受影响。
7. 引入 EMF：source 每单位 charge 提供的 energy。
8. 建立 real battery = ideal source + internal resistance。
9. 推出 discharging battery 的 terminal voltage：$V_{\text{term}}=\mathcal{E}-Ir$。
10. 用 ammeter 与 voltmeter 从两条路径计算同一 terminal voltage。
11. 区分 ideal 与 real meters。
12. 用 shunt resistor 把 galvanometer 改成大 range ammeter。
13. 用 series resistor 把 galvanometer 改成 voltmeter。
14. 练习 meter range conversion。
15. 用 Wheatstone bridge 的 zero-current condition 测 unknown resistance。
16. 说明复杂 bridge 或多电源电路不能总靠 series/parallel reduction。
17. 定义 Kirchhoff junction rule。
18. unknown branch currents 任意设方向。
19. 定义 Kirchhoff loop rule。
20. 建立 source 与 resistor 的 loop sign table。
21. 对含 internal resistance 与多个 sources 的 loop 列方程。
22. 由任意路径计算两节点 potential difference。
23. 识别 battery supplying power 与 being charged 的符号。
24. 联立 junction equations 与 independent loop equations 解复杂网络。

3. From Electric Energy to Power / 从电能到功率

Knowledge Point 1: Potential Difference Transfers Energy per Unit Charge

Transcript: 00:04:40-00:08:35

electric potential difference 定义：

$$\Delta V=\frac{\Delta U}{q}$$

一小段 charge $dq$ 穿过 potential difference：

$$dU=dq\Delta V$$

这表示 source 或 component 每搬运一份 charge，会发生多少 electric energy transfer。

Voltage tells how much energy is transferred per unit charge.

Knowledge Point 2: Electric Power Is Energy Transfer per Unit Time

两边除以 $dt$：

$$\frac{dU}{dt}=\frac{dq}{dt}\Delta V$$

因为：

$$P=\frac{dU}{dt},I=\frac{dq}{dt}$$

得到：

$$\boxed{P=I\Delta V}$$

unit：

$$1\mathrm{W}=1J/s=1\mathrm{V}\cdot \mathrm{A}$$

Electric power is the rate at which a circuit element transfers energy.

Knowledge Point 3: Energy Comes from Integrating Power

constant power：

$$\Delta U=P\Delta t$$

time-dependent power：

$$\boxed{\Delta U={\int }_{t_i}^{t_f}P(t)dt}$$

这连接到 Integrals：power 是 energy 的 time derivative，energy 是 power 的 time accumulation。

4. Power in Resistors / 电阻上的功率

Knowledge Point 4: Ohm’s Law Produces Three Equivalent Power Forms

Transcript: 00:08:35-00:11:19

general component：

$$P=I\Delta V$$

对 Ohmic resistor，$\Delta V=IR$：

$$\boxed{P=I^{2}R}$$

或 $I=\Delta V/R$：

$$\boxed{P=\frac{(\Delta V{)}^2}{R}}$$

三式：

$$\boxed{P=I\Delta V=I^{2}R=\frac{(\Delta V{)}^2}{R}}$$

后两式依赖 Ohm’s law，不能无条件用于 motor、battery 或 non-Ohmic device。

Use $P=IV$ generally; use $I^{2}R$ or $V^2/R$ only for resistive dissipation.

Knowledge Point 5: Joule Heating Comes from Carrier Collisions

charge carriers 在 electric field 下 drift，并与 lattice ions 碰撞。electrical energy 转化为 microscopic random motion，也就是 thermal energy。

$$P_{\text{thermal}}=I^{2}R$$

resistive heater 就利用这种 Joule heating。superconducting state 的 resistance 趋近于零，因此 steady-current resistive loss 也趋近于零。

5. Bulb Brightness and Circuit Changes / 灯泡亮度与电路变化

Knowledge Point 6: Brightness Tracks Power

Transcript: 00:11:19-00:28:39

bulb brightness 反映单位时间内转换成 light and heat 的 energy，因此应比较 power，而不是单独比较 current 或 voltage。

For comparable bulbs, brightness is determined by power, not by current or voltage alone.

对于 identical bulbs：

• series：same current，可用 $P=I^{2}R$；
• parallel：same voltage，可用 $P=(\Delta V{)}^2/R$。

Knowledge Point 7: Two Identical Bulbs on an 8 V Source

每个 bulb $R=2\Omega$。

series：

$$R_{\text{eq}}=4\Omega ,I=\frac{8}{4}=2\mathrm{A}$$

每个 bulb：

$$\Delta V=IR=4\mathrm{V}$$ $$P=I^{2}R=8\mathrm{W}$$

parallel：

$$\Delta V_{\text{each}}=8\mathrm{V}$$ $$I_{\text{each}}=\frac{8}{2}=4\mathrm{A}$$ $$P_{\text{each}}=32\mathrm{W}$$

因此同一 ideal voltage source 下，parallel bulbs 更亮。

Knowledge Point 8: An Open Branch Does Not Change Other Ideal Parallel Branches

parallel circuit 中一个 bulb 断路：

• broken branch current 变成 zero；
• 其他 branch 仍跨接同一 source voltage；
• 其他 branch 的 current 与 power 不变；
• source total current 与 total output power 减小。

不要说“少了分流，所以另一个 bulb current 增大”；ideal voltage source 固定的是 branch voltage。

Knowledge Point 9: Treat a Parallel Subnetwork as One Equivalent Component

复杂但仍可化简的 network：

1. 先把 parallel subsection 化成 $R_p$；
2. 把 $R_p$ 与其余 series component 比较；
3. 用 series voltage division 求 subsection voltage；
4. 回到 parallel subsection 求 branch currents/powers。

当新 parallel branch 接入时：

$$R_p\downarrow$$

但不能直接说“某个元件得到的 power 被分走”。source current 与 total source power 都可能变化，必须重新计算整个 network。

6. EMF and Real Batteries / 电动势与真实电源

Knowledge Point 10: EMF Is Energy Supplied per Unit Charge

Transcript: 00:28:39-00:34:50

电源内部把 positive charge equivalent 从 low potential 搬运回 high potential，代价来自 chemical、mechanical 或其他 non-electrostatic energy。

EMF 定义：

$$\boxed{\mathcal{E}=\frac{d{W}_{\text{source}}}{dq}}$$

unit 是 volt。

EMF is energy supplied per unit charge; despite its name, it is not a mechanical force.

external circuit 中，conventional current 自 high potential 流向 low potential；source 内部的 non-electrostatic process 把 charge 重新提升到 high potential。

Knowledge Point 11: A Real Battery Is an Ideal Source Plus Internal Resistance

Transcript: 00:34:50-00:42:26

用 circuit model 表示 real battery：

ideal EMF source E
in series with internal resistance r

discharging current $I$ 时：

$$\boxed{V_{\text{term}}=\mathcal{E}-Ir}$$

external load $R$：

$$V_{\text{term}}=IR$$

因此 single-loop circuit：

$$\mathcal{E}-Ir-IR=0$$ $$\boxed{I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}}$$

Internal resistance makes terminal voltage fall below EMF while the battery supplies current.

Knowledge Point 12: Terminal Voltage Can Be Found from Either Side

课堂例子：

$$\mathcal{E}=12\mathrm{V},r=2\Omega ,R=4\Omega$$ $$I=\frac{12}{2+4}=2\mathrm{A}$$

source side：

$$V_{\text{term}}=12-(2)(2)=8\mathrm{V}$$

load side：

$$V_{\text{term}}=IR=(2)(4)=8\mathrm{V}$$

两条路径必须一致，因为 ideal wires 上没有 potential drop。

Knowledge Point 13: Source Power Splits into Useful Output and Internal Heating

source conversion rate：

$$P_{\text{source}}=\mathcal{E}I$$

internal heating：

$$P_{\text{internal}}=I^{2}r$$

terminal output：

$$P_{\text{out}}=I{V}_{\text{term}}=I(\mathcal{E}-Ir)$$

所以：

$$\boxed{\mathcal{E}I=I{V}_{\text{term}}+I^{2}r}$$

7. Ideal and Real Meters / 理想与真实电表

Knowledge Point 14: Ammeter Goes in Series; Voltmeter Goes in Parallel

Transcript: 00:37:21-00:44:36

ideal ammeter：

$$R_A=0$$

必须 series connection，才能让被测 branch current 穿过 meter。

ideal voltmeter：

$$R_V\to \infty$$

必须 parallel connection，读取两节点 potential difference，同时尽量不抽走 current。

An ammeter should not impede the measured current; a voltmeter should not draw current from the measured circuit.

real meters 有 finite resistance，因此接入后会改变原 circuit。精确测量需要把 meter resistance 一并纳入 network。

8. Converting a Galvanometer / 灵敏电流计改装

Knowledge Point 15: A Galvanometer Is the Physical Core

Transcript: 00:42:26-00:55:59 and 00:58:58-01:11:25

galvanometer 有：

• internal resistance $R_g$；
• full-scale current $I_g$。

当 through-coil current 达到 $I_g$，pointer 达到 full-scale deflection。通过外接 resistor，可以让盒子端口表现为更大量程的 ammeter 或 voltmeter。

Knowledge Point 16: Add a Parallel Shunt to Make an Ammeter

目标 full-scale current $I_A>I_g$。让 excess current 通过 parallel shunt：

$$I_{\text{sh}}=I_A-I_g$$

parallel voltage equality：

$$I_g{R}_g=I_{\text{sh}}{R}_{\text{sh}}$$

所以：

$$\boxed{R_{\text{sh}}=\frac{I_g{R}_g}{I_A-I_g}}$$

$R_{\text{sh}}$ 很小，使 overall ammeter resistance 也很小。

A shunt resistor bypasses most of the current around the sensitive galvanometer.

课堂例子：$I_g=1\mathrm{mA}$、$R_g=20\Omega$，改成 $50\mathrm{mA}$ ammeter：

$$R_{\text{sh}}=\frac{(1\mathrm{mA})(20\Omega )}{49\mathrm{mA}}=0.408\Omega$$

Knowledge Point 17: Add a Series Resistor to Make a Voltmeter

目标 full-scale voltage $V_V$。需要 total resistance：

$$R_{\text{total}}=\frac{V_V}{I_g}$$

series resistor：

$$\boxed{R_s=\frac{V_V}{I_g}-R_g}$$

$R_s$ 很大，使 overall voltmeter resistance 很大。

A large series resistor limits the galvanometer current while the meter spans a large voltage.

课堂例子：$I_g=1\mathrm{mA}$、$R_g=20\Omega$，改成 $10\mathrm{V}$ voltmeter：

$$R_s=\frac{10}{0.001}-20=9980\Omega$$

Knowledge Point 18: Meter Range and Resistance Move in Opposite Ways

• larger-range ammeter -> smaller shunt -> smaller total resistance；
• larger-range voltmeter -> larger series resistor -> larger total resistance。

这解释了理想模型：ammeter 趋近 short wire，voltmeter 趋近 open branch。

9. Wheatstone Bridge / 惠斯通电桥

Knowledge Point 19: Balance Means the Midpoints Have Equal Potential

Transcript: 01:12:14-01:18:24

bridge galvanometer current 为 zero：

$$I_g=0$$

说明两个 midpoint equipotential：

$$V_C=V_D$$

在标准 labeling 下，balance condition：

$$\boxed{\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_x}}$$

因此：

$$\boxed{R_x=\frac{R_2{R}_3}{R_1}}$$

具体 ratio 必须与图中 resistor position 对应，不能脱离 labeling 死背交叉乘法。

A balanced Wheatstone bridge detects equality of midpoint potentials through a zero-current condition.

Knowledge Point 20: Null Measurement Removes Meter Loading

balance 时 galvanometer branch 无 current，因此 galvanometer resistance 不影响 balance equation。这是 null measurement 的优势：不依赖 meter 的精确 resistance，也能测 unknown resistor。

10. Why Kirchhoff’s Rules Are Needed / 为什么需要基尔霍夫定律

Knowledge Point 21: Not Every Network Can Be Reduced by Inspection

Transcript: 01:29:07-01:32:21

simple network 可反复识别 series/parallel；但 bridge network、multiple sources、nested branches 中：

• 某些 resistors neither clearly series nor parallel；
• branch-current direction 可能不能凭直觉判断；
• multiple sources 可能相互推动或相互对抗。

此时不再依靠“看起来像串并联”，而是对 nodes 与 loops 写 conservation equations。

Kirchhoff’s rules solve complex circuits by enforcing charge conservation at nodes and energy conservation around loops.

11. Kirchhoff’s Junction Rule / 基尔霍夫节点定律

Knowledge Point 22: Net Current into a Junction Is Zero

Transcript: 01:32:21-01:35:48

steady state 中，junction 不持续积累 charge：

$$\boxed{\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}}$$

signed form：

$$\boxed{\sum _k{I}_k=0}$$

只要提前统一 convention，例如 entering positive、leaving negative。

The junction rule is charge conservation applied to steady current.

若 node 持续有 more current in than out，charge would accumulate，local potential 会改变，系统就不是 steady state。

Knowledge Point 23: Unknown Current Direction May Be Chosen Arbitrarily

对无法判断的 branch：

1. 任意画一个 current arrow；
2. 全程按该 arrow 写方程；
3. 解得 $I>0$：真实方向与 arrow 一致；
4. 解得 $I<0$：真实方向与 arrow 相反，magnitude 是 $|I|$。

A negative current is not a failure; it corrects the assumed direction.

不要在解题中途因为“感觉方向不对”随意翻 arrow，会破坏方程的 sign consistency。

12. Kirchhoff’s Loop Rule / 基尔霍夫回路定律

Knowledge Point 24: Potential Changes Sum to Zero Around a Closed Loop

Transcript: 01:35:48-01:38:02

沿 closed loop 回到原点，potential 是 single-valued state quantity：

$$\boxed{\sum \Delta V=0}$$

等价于每单位 charge 的 energy conservation：source 提升的 energy 等于 components 消耗或转换的 energy。

The loop rule is energy conservation written as a sum of potential rises and drops.

Knowledge Point 25: Choose a Loop Direction Before Assigning Signs

loop traversal 可 clockwise 或 counterclockwise，未必与任一 branch current 同向。方向选定后始终保持一致。

Crossing an ideal source

traversal	potential change
negative terminal -> positive terminal	$+\mathcal{E}$
positive terminal -> negative terminal	$-\mathcal{E}$

Crossing a resistor

traversal	potential change
along assumed current	$-IR$
opposite assumed current	$+IR$

internal resistance $r$ 与普通 resistor 使用同一规则。

For a resistor, follow the current for a drop and move against the current for a rise.

Knowledge Point 26: Reversing the Loop Direction Reverses Every Sign

若一个方向得到：

$$+\mathcal{E}-I(R+r)=0$$

反向 traversal：

$$-\mathcal{E}+I(R+r)=0$$

两式相差整体负号，给出同一 physical result。方向本身无所谓，重要的是每个 element sign consistency。

13. Kirchhoff Calculation Strategy / 基尔霍夫计算技巧

Knowledge Point 27: Label Nodes, Branches, and Independent Currents First

推荐动作：

1. 标出 essential nodes；
2. 每条 branch 只定义一个 current variable；
3. arrow 可任意，但一个 branch 只保留一个方向；
4. 标出每个 source 的 polarity；
5. 标出 internal resistance 与 external resistance；
6. 再开始写 equations。

Knowledge Point 28: Use Only Independent Equations

connected network 若有 $N$ 个 essential nodes、$B$ 条 branches：

• independent junction equations：$N-1$；
• independent loop equations：$B-N+1$。

总 independent equations：

$$(N-1)+(B-N+1)=B$$

刚好可解 $B$ 个 branch currents。

课堂强调的“三个 loops 只需选两个”就是 equation dependency：第三个 loop equation 可由前两个线性组合得到。

Knowledge Point 29: Solve Symbols Before Interpreting Direction

将方程整理成 linear system：

$$a_1{I}_1+b_1{I}_2+c_1{I}_3=d_1$$ $$a_2{I}_1+b_2{I}_2+c_2{I}_3=d_2$$ $$a_3{I}_1+b_3{I}_2+c_3{I}_3=d_3$$

先按代数求 signed currents，最后再解释 direction。不要为了避免 negative answer 提前改变 equation。

Knowledge Point 30: Compute Node Voltage by Any Convenient Path

求 $V_B-V_A$：

1. 从 A 选一条到 B 的 path；
2. 沿路累加 sources 与 resistor rises/drops；
3. 得到 signed potential difference；
4. 若问 voltmeter reading，通常报告 magnitude。

不同 path 必须给出相同 $V_B-V_A$；这也是检查 Kirchhoff signs 的强方法。

14. Batteries Supplying Power or Being Charged / 电池放电与被充电

Knowledge Point 31: Current Direction at the Positive Terminal Determines Power Role

对 battery：

• current leaves positive terminal：battery supplies electric power；
• current enters positive terminal：battery absorbs power and is being charged。

使用 passive sign convention：

$$p=vi$$

current entering positive-labeled terminal 时 $p>0$ 表示 absorption；$p<0$ 表示 delivery。

A source can have negative delivered power when another source drives current into its positive terminal.

Knowledge Point 32: Multiple Sources Can Oppose One Another

若 two sources oppose，net driving EMF 不是简单相加，而由 loop traversal 的 polarities 决定：

$$\sum \mathcal{E}={\mathcal{E}}_1-{\mathcal{E}}_2$$

larger source 可驱动 current through smaller source，使 smaller source 被充电。remaining energy 由 external/internal resistors dissipate。

15. Deep Phrases / 深句对应表

English sentence	中文对应理解
Voltage is energy transferred per unit charge.	每库仑 charge 经过元件时转移多少焦耳能量，就是电压。
Power is the rate of energy transfer.	功率不是总能量，而是每秒转化多少能量。
Bulb brightness is controlled by power.	灯泡亮度看单位时间放出的能量，不单看电流或电压。
EMF is not a force.	电动势单位是 volt，本质是 source 每单位电荷提供的能量。
Internal resistance reduces terminal voltage under load.	电池输出电流时，内阻先消耗一部分电压。
An ammeter uses a low-resistance shunt.	并联小电阻让大部分 current 绕过灵敏表头。
A voltmeter uses a high series resistance.	串联大电阻限制表头电流，从而承受较大 voltage。
A balanced bridge connects equal-potential nodes.	电桥中间支路零电流意味着两个中点同电势。
The junction rule is charge conservation.	节点不能持续积累 charge，因此流入等于流出。
The loop rule is energy conservation.	绕闭合回路一圈回到原点，电势升降代数和为零。
Negative current reverses an assumption.	电流算成负值不是算错，只说明真实方向与箭头相反。
Loop direction is arbitrary; sign consistency is not.	回路顺逆时针都可以，但每个元件的正负号必须一致。

16. Common Mistakes / 易错点

1. 用 current 或 voltage 单独判断 bulb brightness；应比较 power。
2. 把 $P=I^{2}R$ 和 $P=V^2/R$ 用在所有 devices；它们要求 Ohmic/resistive relation。
3. 认为 parallel 新增元件只是“分走固定 power”；ideal source 的 total current 与 total power 会改变。
4. 把 EMF 当 mechanical force。
5. real battery 输出时仍令 terminal voltage 等于 EMF。
6. 忘记 internal resistance 也产生 $I^{2}r$ heating。
7. ammeter 并联或 voltmeter 串联。
8. 把 real voltmeter 当 infinite resistance，忽略 loading effect。
9. 改 ammeter 时串联小电阻；正确是 parallel shunt。
10. 改 voltmeter 时并联大电阻；正确是 series resistor。
11. Wheatstone bridge ratio 不看图中 resistor positions 就机械交叉相乘。
12. 把 bridge middle current zero 误解为整个 circuit current zero。
13. 对复杂 network 强行找 series/parallel，忽略 shared nodes 与 branches。
14. 不知道 current direction 就停止；可任意假设并由 sign 修正。
15. negative current 被当成 algebra error。
16. junction equation 同时把同一 current 写成 in 与 out。
17. 写 loop equation 前没有固定 traversal direction。
18. 穿过 source 时不看 terminal polarity。
19. 穿过 resistor 时不比较 traversal 与 current direction。
20. 重复写 dependent loop equations，却以为增加了新信息。
21. 求 $V_B-V_A$ 时只报告 absolute value，丢失题目要求的顺序符号。
22. battery 被充电时仍把它当作 supplying positive power。

17. Problem-Solving Templates / 题型动作

A. Power and brightness

1. 先化简 circuit 求 branch $I$ 或 $\Delta V$。
2. identical series bulbs：优先 $P=I^{2}R$。
3. identical parallel bulbs：优先 $P=(\Delta V{)}^2/R$。
4. 开关变化后重新计算 source total current，不假设 total power fixed。
5. 比较每个 bulb 的 power ratio。

B. Real battery

1. 画 ideal EMF $\mathcal{E}$ 与 series internal resistance $r$。
2. single loop：$I=\mathcal{E}/(R+r)$。
3. discharging：$V_{\text{term}}=\mathcal{E}-Ir$。
4. 用 $V_{\text{term}}=IR$ 交叉检查。
5. 检查 $\mathcal{E}I=I^{2}R+I^{2}r$。

C. Meter conversion

1. 写 galvanometer $I_g,R_g$。
2. ammeter：parallel shunt，$I_{\text{sh}}=I_A-I_g$。
3. 用 $I_g{R}_g=I_{\text{sh}}{R}_{\text{sh}}$。
4. voltmeter：series resistor。
5. 用 $R_s=V_V/I_g-R_g$。
6. 检查 ammeter total resistance small、voltmeter total resistance large。

D. Kirchhoff network

1. 标 nodes、branches、source polarities。
2. 每条 unknown branch 任意设 current arrow。
3. 写 $N-1$ 个 independent junction equations。
4. 选 $B-N+1$ 个 independent loops。
5. 每个 loop 先标 traversal direction。
6. source：$-\to +$ 写 $+\mathcal{E}$，$+\to -$ 写 $-\mathcal{E}$。
7. resistor：顺 current 写 $-IR$，逆 current 写 $+IR$。
8. 联立求 signed currents。
9. negative current 反转真实方向。
10. 用另一路径的 node voltage 或 power balance 检查。

E. Choose independent loops

1. 先画一个 spanning path，识别新增 branch 形成的基本 loops。
2. 不把“大外环”和内部两个小环全部当独立方程。
3. 若一个 loop equation 可由其他 equations 相加得到，就删除它。
4. equations 数量只需等于 unknown branch currents 数量。

18. After-Class Compression / 课后压缩版

只记住十五句话：

1. $dU=dq\Delta V$。
2. $P=I\Delta V$；resistor 中还有 $P=I^{2}R=(\Delta V{)}^2/R$。
3. bulb brightness 比较 power。
4. $\Delta U=\int Pdt$。
5. EMF 是 source 每单位 charge 提供的 energy，不是 force。
6. real battery = ideal EMF + internal resistance。
7. discharging：$V_{\text{term}}=\mathcal{E}-Ir$。
8. ammeter series and low resistance；voltmeter parallel and high resistance。
9. galvanometer 并联 shunt 变 ammeter，串联 large resistor 变 voltmeter。
10. balanced Wheatstone bridge 中 midpoint potentials equal，middle current zero。
11. junction rule：$\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}$。
12. loop rule：$\sum \Delta V=0$。
13. source $-\to +$ 是 rise；resistor 顺 current 是 drop。
14. unknown current direction 可任意设，negative result 自动反向。
15. complex circuit 的核心是独立 junction/loop equations，而不是强行识别串并联。

19. Video Companion / 搭配课堂观看

时间	观看重点
00:01:00-00:04:40	第 8 讲回顾：微观 Ohm’s law、电流密度、串并联
00:04:40-00:11:19	从 energy 推出 electric power 三公式
00:11:19-00:18:23	identical bulbs 的 series/parallel power
00:20:31-00:28:39	开关变化、等效电阻、分压与 brightness
00:28:39-00:34:50	EMF 的物理意义与 source 内部能量提升
00:34:50-00:42:26	internal resistance 与 terminal voltage
00:42:26-00:55:59	ideal/real meters 与表头改装推导
00:58:58-01:11:25	ammeter/voltmeter range conversion 练习
01:12:14-01:18:24	Wheatstone bridge 与 balance condition
01:29:07-01:32:21	为什么复杂 circuit 需要 Kirchhoff rules
01:32:21-01:35:48	junction rule 与任意假设 branch direction
01:35:48-01:41:15	loop rule、能量守恒与完整 sign table
01:43:29-01:53:00	multiple sources、internal resistance 与 node voltage
01:53:00-02:04:29	junction + two independent loops 联立求解

20. Connections / 知识网络

Lecture Sequence

• AP电磁学第8次正课-介电质电流与电阻
• Next: AP电磁学第10次正课-等效电容与RC电路

Core Circuit Branch

• Electric Circuits
• Electric Current
• Resistance and Resistivity
• Electric Power
• EMF and Internal Resistance
• Electrical Meters and Wheatstone Bridge
• Kirchhoff’s Rules

Conservation and Potential Branch

• Charge Conservation -> junction rule
• Electric Potential -> loop potential rises and drops
• energy conservation -> loop rule and power balance

Calculus Bridge

• Integrals turns variable power into total energy:

$$\Delta U=\int P(t)dt$$

本节把 circuit analysis 统一成两类守恒：节点上守恒 charge，回路中守恒 energy。 电流方向和回路方向都可由我们选择，但 equation signs 必须忠实于这个选择。