AP电磁学第12次正课 - 载流导线力、毕奥-萨伐尔定律与安培定律

Reading Guide / 阅读说明

the course transcript 开头明确回顾上一节的 Lorentz Force、velocity selector 与 Hall Effect，随后从 moving charge 的受力推广到 current-carrying wire，再从 current 作为磁场源进入 Biot-Savart law 与 Ampere’s law。

因此本课与 AP电磁学第11次正课-磁场洛伦兹力与带电粒子运动 连续，记为第 12 次正课。结尾明确预告下一课进入 electromagnetic induction。

一句话主线

Current is moving charge, so it both experiences magnetic force and creates magnetic field.

电流本质上是定向运动的电荷，因此本课完成两个方向：磁场如何作用于电流，以及电流如何产生磁场。

1. What This Lecture Is About / 这节课在讲什么

本课把第 11 课的粒子图景扩展到连续电流：

magnetic force on one moving charge
-> force on a current-carrying wire
-> torque on a current loop
-> electric motor
 
moving charge creates magnetic field
-> field of a long straight wire
-> force between parallel wires
-> Biot-Savart law
-> Ampere's law
-> solid wire / coaxial cable / solenoid / toroid

两个方向最终由同一个事实连接：

An electric current is organized moving charge.

2. Class Flow / 课堂脉络

1. 用 Hall effect 回顾 magnetic force 与 electric force 的平衡。
2. 从单个 charge 的 Lorentz force 推出载流导线受力。
3. 训练 $\vec{L}\times \vec{B}$ 的方向判断与有效长度。
4. 处理弯曲导线的合力。
5. 推出 current loop 的 magnetic torque。
6. 用电动机解释 magnetic torque 的应用。
7. 回顾 current creates magnetic field。
8. 给出 long straight wire 的 magnetic field。
9. 推出 parallel current-carrying wires 之间的力。
10. 进行多导线 magnetic-field superposition。
11. 引入 Biot-Savart Law。
12. 引入 Ampere’s Law 并类比 Gauss’s Law。
13. 求 uniform solid wire 内外的 magnetic field。
14. 处理 enclosed current 的正负号与叠加。
15. 求 cylindrical shell 与 coaxial cable 的分区 magnetic field。
16. 求 long solenoid 与 toroid 的 magnetic field。
17. 预告 electromagnetic induction。

3. Hall Effect Review / 霍尔效应回顾

课堂先用一根载流导体复习第 11 课：

1. conventional current 给出 positive-charge-equivalent velocity；
2. 用 ${\vec{F}}_B=q\vec{v}\times \vec{B}$ 判断 carriers 的偏转；
3. 两侧积累相反电荷；
4. transverse electric field 逐渐建立；
5. equilibrium 时：

$$q{E}_H=q{v}_{d}B$$

所以：

$$\boxed{E_H=v_{d}B}$$

Hall equilibrium occurs when electric force balances magnetic deflection.

注意实际 metal carriers 往往是 electrons。若题目问哪一侧 electric potential 较高，必须先判断实际 carrier velocity 与 accumulated charge，不能只把 conventional current 当作 electron velocity。

4. Force on a Current-Carrying Wire / 载流导线的磁力

Knowledge Point 1: Add the Forces on All Moving Charges

单个 charge：

$${\vec{F}}_B=q{\vec{v}}_d\times \vec{B}$$

设长度 $\vec{L}$ 的直导线中载流子数密度为 $n$、横截面积为 $A$。这段导线中的载流子数：

$$N=nAL$$

总 magnetic force：

$${\vec{F}}_B=Nq{\vec{v}}_d\times \vec{B}$$

又因为：

$$I=nqA{v}_d$$

得到：

$$\boxed{{\vec{F}}_B=I\vec{L}\times \vec{B}}$$

这里 $\vec{L}$：

• magnitude 是 magnetic-field region 内的导线长度；
• direction 沿 conventional current；
• 只适用于 straight segment 或 uniform $\vec{B}$ 下的等效 displacement。

Knowledge Point 2: Magnitude Uses the Sine of the Angle

$$\boxed{F_B=ILB\sin \theta }$$

$\theta$ 是 $\vec{L}$ 与 $\vec{B}$ 的夹角：

• parallel / antiparallel：$F_B=0$；
• perpendicular：$F_B=ILB$；
• oblique：只取 perpendicular component。

A current element parallel to the magnetic field experiences no magnetic force.

Knowledge Point 3: Direction Comes from L Cross B

对 conventional current：

1. fingers point along $\vec{L}$；
2. curl toward $\vec{B}$；
3. thumb gives ${\vec{F}}_B$。

若从 microscopic electron motion 分析：

• electron velocity 与 conventional current 反向；
• electron charge 为 negative；
• 两次反向后，整根导线受力仍与 $I\vec{L}\times \vec{B}$ 一致。

Knowledge Point 4: Use Only the Length Inside the Field

若导线只有一部分处于 magnetic field：

$$\boxed{L=L_{\text{inside field}}}$$

场外部分不受该 magnetic force。

这是数值题最常见的读取错误之一。

5. Coupled-Variable Problems / 公式中的量也可能变化

课堂给出一个重要反例：导线长度变成两倍，不一定能只看 $F=ILB$ 中的 $L$。

若 wire material 与 cross-sectional area 不变：

$$R=\rho \frac{L}{A}$$

若 ideal battery 保持 voltage 不变：

$$I=\frac{V}{R}\propto \frac{1}{L}$$

在 uniform field 中若整段导线都处于 field：

$$F=ILB=\frac{V}{\rho L/A}LB=\frac{VAB}{\rho }$$

所以这种特定条件下 $F$ 与 $L$ 无关。

但 transcript 的课堂图似乎保持 magnetic-field region 长度不变，而只增加整根 resistor wire 的总长度，因此：

• total resistance doubles；
• current halves；
• length inside field stays fixed；
• force halves。

先辨认哪个长度变化

resistance length 与 length inside the magnetic field 可能不是同一个量。必须先画清 circuit 与 field region，再判断 $R$、$I$、$L_{\text{field}}$ 分别如何变化。

6. Net Force on Bent Wires / 弯曲导线的合力

Knowledge Point 5: Start from a Differential Current Element

一般导线：

$$d\vec{F}=Id\vec{\ell }\times \vec{B}$$

总力：

$$\vec{F}=I\int d\vec{\ell }\times \vec{B}$$

若 $\vec{B}$ uniform：

$$\vec{F}=I\left(\int d\vec{\ell }\right)\times \vec{B}$$

而：

$${\int }_A^{B}d\vec{\ell }={\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A$$

所以：

$$\boxed{\vec{F}=I({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A)\times \vec{B}}$$

In a uniform magnetic field, the net force on a wire segment depends on its endpoint displacement, not on the detailed shape of the wire.

这就是课堂半圆弧“等效为端点连线”的严格版本，不是把弧长直接拉直。

Knowledge Point 6: A Closed Loop Has Zero Net Force in Uniform Field

closed loop 的起点与终点相同：

$$\oint d\vec{\ell }=\vec{0}$$

因此 uniform $\vec{B}$ 中：

$$\boxed{{\vec{F}}_{\text{net}}=I\oint d\vec{\ell }\times \vec{B}=\vec{0}}$$

但 net force 为零不代表每一段没有力，也不代表 net torque 为零。

7. Magnetic Torque on a Current Loop / 载流线圈的磁力矩

Knowledge Point 7: Opposite Forces Can Form a Couple

rectangular current loop 放在 uniform magnetic field 中：

• opposite sides 可受到 equal and opposite forces；
• net force 可以为零；
• forces 的作用线不同，所以形成 torque。

这正是 electric motor 的基础。

Knowledge Point 8: Define the Magnetic Dipole Moment

单匝 planar loop：

$$\boxed{\vec{\mu }=IA\hat{n}}$$

• $I$：current；
• $A$：loop area；
• $\hat{n}$：按 right-hand grip rule 确定的 area normal。

$N$ 匝线圈：

$$\boxed{\vec{\mu }=NIA\hat{n}}$$

Knowledge Point 9: Torque Is a Cross Product

$$\boxed{\vec{\tau }=\vec{\mu }\times \vec{B}}$$

magnitude：

$$\boxed{\tau =\mu B\sin \theta =NIAB\sin \theta }$$

$\theta$ 是 $\vec{\mu }$ 与 $\vec{B}$ 的夹角，不是 loop plane 与 $\vec{B}$ 的夹角。

• $\vec{\mu }\perp \vec{B}$：torque maximum；
• $\vec{\mu }\parallel \vec{B}$：torque zero；
• torque tends to align $\vec{\mu }$ with $\vec{B}$。

Knowledge Point 10: Maximum Torque and Maximum Speed Are Different Moments

在 idealized motor rotation 中：

• torque maximum 时，angular acceleration magnitude maximum；
• 经过加速后，torque 可能降到 zero，但 angular speed 可达到较大值；
• torque zero 不代表 speed zero。

这与 simple harmonic motion 中 acceleration 与 speed 不同时达到 maximum 类似。

Knowledge Point 11: A Commutator Maintains Rotation Direction

若 current direction 固定，loop 转过 half-turn 后 torque 会反向，趋向来回摆动。

DC motor 使用 split-ring commutator 在适当时刻反转 current，使 torque 继续推动同一 rotation direction。brushes 保持外部 circuit 与 rotating commutator 的滑动接触。

课堂延伸的修正

“现代电机基本都是有刷”不准确。brushed DC motors、brushless DC motors 与 AC motors 都很常见；本课真正需要掌握的是 magnetic torque 与 current switching 的物理作用。

8. Current Creates Magnetic Field / 电流产生磁场

Knowledge Point 12: Straight-Wire Field Forms Circles

long straight wire 周围的 magnetic field lines 是以 wire 为圆心的 concentric circles。

right-hand grip rule：

• thumb along conventional current；
• curled fingers give $\vec{B}$。

field magnitude：

$$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$$

适用条件：

• wire 可近似 infinitely long；
• observation point 距离 wire 为 $r$；
• medium 为 vacuum / air，或使用相应 permeability。

趋势：

$$B\propto I,B\propto \frac{1}{r}$$

Knowledge Point 13: Combine Source Field and Force in Two Stages

典型链式题：

1. wire current 产生 magnetic field：

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$

2. moving charge 在该场中受力：

$$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$

或第二根 wire 受力：

$$\vec{F}=I_2\vec{L}\times {\vec{B}}_1$$

必须区分：

• source current；
• field point；
• object experiencing force。

9. Force Between Parallel Wires / 平行载流导线之间的力

Knowledge Point 14: One Wire Creates the Field, the Other Feels the Force

两根相距 $d$ 的 long parallel wires：

wire 1 在 wire 2 处产生：

$$B_1=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d}$$

wire 2 长度 $L$ 受到：

$$F_{21}=I_{2}L{B}_1$$

所以：

$$\boxed{\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}}$$

Knowledge Point 15: Same-Direction Currents Attract

• currents same direction：attract；
• currents opposite directions：repel。

不要只背结论。可对任意一根 wire 执行：

1. right-hand grip rule 求另一根 wire 产生的 $\vec{B}$；
2. 用 $I\vec{L}\times \vec{B}$ 求 force direction。

Knowledge Point 16: Newton’s Third Law Still Holds

虽然可选择 wire 1 作为 source、wire 2 作为受力对象，也可反过来分析：

$${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$$

两根 wire 的 current 与距离相同地进入公式，因此 force magnitudes 相等。

若 $I_1$ 与 $I_2$ 都 doubled：

$$\frac{F}{L}\propto I_1{I}_2$$

所以 force per length 变为 four times。

10. Magnetic-Field Superposition / 磁场叠加

Knowledge Point 17: Magnetic Fields Add as Vectors

多根 wire 在 point $P$ 产生：

$$\boxed{{\vec{B}}_{\text{net}}=\sum _i{\vec{B}}_i}$$

每一项先独立求：

1. magnitude；
2. direction；
3. components；
4. 再做 vector sum。

Knowledge Point 18: Zero-Field Points Need Both Opposite Direction and Equal Magnitude

两根 long wires 的 cancellation point 必须同时满足：

$${\vec{B}}_1=-{\vec{B}}_2$$

以及：

$$\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi r_1}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi r_2}$$

即：

$$\boxed{\frac{I_1}{r_1}=\frac{I_2}{r_2}}$$

先用 right-hand rule 找“方向可能相反”的区域，再解 magnitude equation。

“larger current 要 farther away 才能抵消 smaller current”是有用直觉，但不能代替方向判断。

11. Biot-Savart Law / 毕奥-萨伐尔定律

Knowledge Point 19: Each Current Element Contributes a Small Field

Biot-Savart Law：

$$\boxed{d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{\ell }\times \hat{r}}{r^2}}$$

等价形式：

$$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{\ell }\times \vec{r}}{r^3}$$

magnitude：

$$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\ell \sin \theta }{r^2}$$

Knowledge Point 20: Geometry Determines Which Components Survive

完整 field：

$$\boxed{\vec{B}=\int d\vec{B}}$$

处理 curved wire 或 current loop 时：

1. 选 current element $d\vec{\ell }$；
2. 定义从 source element 到 field point 的 $\vec{r}$；
3. 用 $d\vec{\ell }\times \hat{r}$ 判断 $d\vec{B}$；
4. 用 symmetry 判断哪些 components cancel；
5. 对 surviving component integrate。

Knowledge Point 21: Field at the Center of a Circular Loop

radius $R$、current $I$ 的 single circular loop，在 center：

$$\boxed{B_{\text{center}}=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}}$$

$N$ turns：

$$\boxed{B_{\text{center}}=\frac{{\mu }_{0}NI}{2R}}$$

semicircle 的 arc contribution：

$$\boxed{B_{\text{semicircle}}=\frac{{\mu }_{0}I}{4R}}$$

若 radial straight segments 指向 center，则其中 $d\vec{\ell }\parallel \hat{r}$，对 center 的 contribution 为 zero。

Knowledge Point 22: The Axis Field Does Depend on Distance

radius $R$ 的 circular loop，在 axis 上距 center 为 $x$：

$$\boxed{B(x)=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}}$$

方向沿 loop axis。

Transcript correction

课堂中“轴线上磁场与 $x$ 无关”的表述不正确。只有在 center $x=0$ 时才化为 ${\mu }_{0}I/(2R)$；离中心越远，field 越弱。

12. Ampere’s Law / 安培环路定律

Knowledge Point 23: Circulation of B Tracks Enclosed Current

magnetostatics 中：

$$\boxed{{\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enc}}}$$

• $C$：closed Amperian loop；
• $d\vec{\ell }$：沿 loop tangent；
• $I_{\text{enc}}$：穿过由 loop 围成 surface 的 signed current。

这是 dot product：

$$\vec{B}\cdot d\vec{\ell }=Bd\ell \cos \theta$$

只累计 $\vec{B}$ 沿 path tangent 的 component。

Knowledge Point 24: Ampere and Gauss Use Different Geometries

Gauss’s Law：

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{{ϵ}_0}$$

Ampere’s law：

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enc}}$$

law	integration object	enclosed source
Gauss	closed surface	charge
Ampere	closed loop	current through a spanning surface

Knowledge Point 25: The Law Is General, the Easy Calculation Needs Symmetry

Ampere’s law always constrains circulation in magnetostatics，但要从 integral 中直接提出 $B$，需要：

• symmetry makes $B$ constant along selected portions；
• $\vec{B}$ parallel or perpendicular to $d\vec{\ell }$；
• other path portions contribute zero or known terms。

适合：

• infinitely long straight wire；
• long solenoid；
• ideal toroid；
• highly symmetric current distributions。

不适合直接求：

• finite wire near its end；
• arbitrary bent wire；
• off-axis loop field；
• asymmetric current distribution。

这些情况通常回到 Biot-Savart Law 或 numerical methods。

Knowledge Point 26: Zero Circulation Does Not Generally Mean Zero Field

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell }=0$$

只表示沿该 loop 的 signed tangential contributions 总和为 zero；它不普遍推出：

$$\vec{B}=\vec{0}$$

Transcript correction

“loop 没圈住 current，所以该处没有 magnetic field”只有在额外 symmetry 足以证明 field pointwise 为零时才成立。没有 enclosed current 可推出 circulation 为零，但 external currents 仍可能在 loop 上产生非零 $\vec{B}$。

Knowledge Point 27: Static Form Versus Maxwell-Ampere Law

本课使用的是 steady-current form：

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enc}}$$

time-varying electric field 中，完整形式需要 displacement-current term：

$$\boxed{\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enc}}+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{d{\Phi }_E}{dt}}$$

这会在后续 Maxwell equations / electromagnetic induction 语境中更重要。

13. Long Straight Wire from Ampere’s Law / 用安培定律推直导线

以 wire 为中心取 radius $r$ 的 circular Amperian loop。

由 cylindrical symmetry：

• $\vec{B}$ tangent to circle；
• $B$ 在 circle 上 constant；
• $\vec{B}\parallel d\vec{\ell }$。

所以：

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell }=B\oint d\ell =B(2\pi r)$$

若 loop 包围 total current $I$：

$$B(2\pi r)={\mu }_{0}I$$

得到：

$$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$$

14. Field Inside a Uniform Solid Wire / 均匀实心导线内部

wire radius 为 $R$，total current $I$ uniform over cross-sectional area。

Outside: $r\ge R$

$$I_{\text{enc}}=I$$ $$\boxed{B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}$$

Inside: $0\le r<R$

uniform current density：

$$J=\frac{I}{\pi R^2}$$

enclosed current：

$$I_{\text{enc}}=J\pi r^2=I\frac{r^2}{R^2}$$

Ampere’s law：

$$B(2\pi r)={\mu }_{0}I\frac{r^2}{R^2}$$

所以：

$$\boxed{B(r)=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}}$$

field profile：

• center $r=0$：$B=0$；
• inside：$B\propto r$；
• surface $r=R$：maximum；
• outside：$B\propto 1/r$。

continuity check：

$$B(R^{-})=B(R^{+})=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}$$

15. Signed Enclosed Current / 包围电流的符号

先选 Amperian-loop direction，再用 right-hand rule 确定 positive surface normal：

• current along positive normal：positive；
• current opposite normal：negative。

$$\boxed{I_{\text{enc}}=\sum _k{s}_k{I}_k}$$

$s_k=\pm 1$。

只计算穿过 chosen spanning surface 的 currents。loop 外的 current 不进入 $I_{\text{enc}}$，但仍可能影响 loop 上 local magnetic field；这是上一节“zero circulation 不等于 zero field”的关键。

16. Cylindrical Shell and Coaxial Cable / 圆柱壳与同轴电缆

Knowledge Point 28: A Thin Cylindrical Current Shell

ideal infinite cylindrical shell radius $R$，surface current 沿 axis。

• $r<R$：by symmetry and $I_{\text{enc}}=0$，$B=0$；
• $r>R$：

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$

这里能推出 inside $B=0$，是因为 ideal infinite cylindrical symmetry，不是只因为 integral 为 zero。

Knowledge Point 29: Coaxial Cable Is Piecewise

若 inner conductor 携带 $I_1$，outer conductor 携带 opposite current $I_2$：

1. center conductor 内：按 enclosed current fraction；
2. conductors 之间：

$$B=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi r}$$

3. outer conductor material 内：逐步加入 outer enclosed current；
4. outside：

$$B=\frac{{\mu }_0|I_1-I_2|}{2\pi r}$$

若 equal and opposite：

$$I_1=I_2\Rightarrow B_{\text{outside}}=0$$

这解释了 coaxial geometry 为什么能把 magnetic field 主要限制在 conductors 之间。

17. Solenoids and Toroids / 螺线管与环形螺线管

Knowledge Point 30: Long Solenoid

对 turn density：

$$n=\frac{N}{L}$$

ideal long solenoid：

$$\boxed{B_{\text{inside}}\approx {\mu }_{0}nI}$$

有 magnetic material core：

$$\boxed{B_{\text{inside}}\approx {\mu }_0{\mu }_{r}nI}$$

外部：

$$B_{\text{outside}}\approx 0$$

这是 long-solenoid approximation；near ends 会有 fringing field。

Notation correction

若 $N$ 表示 total turns，则必须写 $n=N/L$。只有把 $N$ 明确定义成 turns per unit length 时，${\mu }_{0}NI$ 才与 ${\mu }_{0}nI$ 同义。

Knowledge Point 31: Right-Hand Rule for Solenoid

• fingers curl along current around turns；
• thumb points along internal $\vec{B}$ and magnetic dipole moment $\vec{\mu }$。

solenoid 的一端表现为 magnetic north、另一端为 magnetic south。

Knowledge Point 32: Toroid

toroid 有 $N$ turns、current $I$。

对 core 内 radius $r$ 的 circular Amperian loop：

$$B(2\pi r)={\mu }_0{\mu }_{r}NI$$

所以：

$$\boxed{B(r)=\frac{{\mu }_0{\mu }_{r}NI}{2\pi r}}$$

ideal toroid：

• central hole：$B\approx 0$；
• core：$B(r)={\mu }_0{\mu }_{r}NI/(2\pi r)$；
• outside：$B\approx 0$。

Transcript correction

toroid core field 不是统一的 ${\mu }_{0}NI$；它随 $1/r$ 变化，并包含 $2\pi r$。只有在 thin-toroid approximation 下，才可用某个 mean radius 近似为 nearly uniform。

18. Choosing the Right Law / 什么时候用哪个定律

Use Force Law

已知 external $\vec{B}$，求：

• moving charge force：Lorentz Force；
• wire force：Force on a Current-Carrying Wire；
• loop torque：Magnetic Torque on a Current Loop。

Use Biot-Savart Law

已知 current geometry，求 $\vec{B}$，且：

• geometry 不具足够 symmetry；
• finite wire；
• circular arc；
• loop axis；
  -需要 element-by-element integration。

Use Ampere’s Law

已知 current distribution，求 $\vec{B}$，且：

• infinite / ideal symmetry；
• long straight wire；
• long solenoid；
• ideal toroid；
• uniform cylindrical distribution。

Use Superposition

多个 independent current sources：

$${\vec{B}}_{\text{net}}=\sum _i{\vec{B}}_i$$

Ampere’s law、Biot-Savart law 与 superposition 不是互斥的；它们分别提供 constraint、direct integration 与 multi-source combination。

19. Problem-Solving Templates / 题型模板

A. Wire in an External Magnetic Field

1. 标 current direction。
2. 只取 field region 内的 $\vec{L}$。
3. 写 $\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}$。
4. right-hand rule 判 direction。
5. 检查 current 是否因 resistance / circuit change 而变化。

B. Bent Wire in Uniform Field

1. 写 $d\vec{F}=Id\vec{\ell }\times \vec{B}$。
2. 用 symmetry 消去 components，或直接用：

$$\vec{F}=I({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A)\times \vec{B}$$

3. closed loop 时检查 net force 是否 zero。
4. net force zero 后仍检查 torque。

C. Current Loop Torque

1. 用 right-hand rule 求 $\vec{\mu }=NIA\hat{n}$。
2. 写 $\vec{\tau }=\vec{\mu }\times \vec{B}$。
3. angle 是 $\vec{\mu }$ 与 $\vec{B}$ 的夹角。
4. maximum / zero torque 用 $\sin \theta$。

D. Straight-Wire Field

1. 标 source current。
2. right-hand grip rule 判 $\vec{B}$。
3. 写 $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$。
4. 多 wire 做 vector sum。

E. Parallel-Wire Force

1. wire 1 产生 $B_1$。
2. wire 2 使用 $F=I_{2}L{B}_1$。
3. 得 $F/L={\mu }_0{I}_1{I}_2/(2\pi d)$。
4. same direction attract，opposite repel。

F. Ampere’s-Law Problem

1. 识别 symmetry。
2. 选择 Amperian loop。
3. 标出哪些 path portions 与 $\vec{B}$ parallel / perpendicular。
4. 计算 signed $I_{\text{enc}}$。
5. 写 $\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enc}}$。
6. 分区域写 piecewise result。
7. 检查 boundary continuity 与 limiting behavior。

20. Deep Phrases / 深句对应表

English core sentence	中文对应
Current is moving charge, so it both feels magnetic force and creates magnetic field.	电流既是受磁场作用的对象，也是磁场的来源。
The vector $\vec{L}$ points in the direction of conventional current.	$\vec{L}$ 的方向按约定电流定义。
In a uniform field, the net force on a wire depends on endpoint displacement.	均匀磁场中，弯曲导线的合力由端点位移决定。
Equal and opposite forces can produce zero net force but nonzero torque.	一对等大反向力可使合力为零而力矩不为零。
Same-direction parallel currents attract; opposite-direction currents repel.	同向平行电流相吸，反向相斥。
Biot-Savart adds the field contributions of current elements.	毕奥-萨伐尔定律逐段累加电流元产生的磁场。
Ampere’s law relates magnetic circulation to enclosed current.	安培定律把磁场环流与包围电流连接起来。
Zero circulation does not generally imply zero field.	环流为零一般不能推出场处处为零。
Symmetry turns Ampere’s law into a direct field calculation.	对称性使安培定律可以直接求出磁场。
A long solenoid confines an approximately uniform field to its interior.	长螺线管把近似均匀的磁场主要限制在内部。

21. Common Failure Modes / 常见失误

1. 把 $I\vec{L}\times \vec{B}$ 写成错误的 cross-product order。
2. 同时写 cross product 和额外 $\sin \theta$，造成重复。
3. 把 total wire length 当作 field-region length。
4. 只看到 $L$ 变了，却忘记 $R$ 与 $I$ 也会变。
5. curved wire 使用 arc length 代替 endpoint displacement。
6. net force zero 就误判 torque zero。
7. 把 loop plane 与 $\vec{B}$ 的夹角直接代入 $\tau =\mu B\sin \theta$。
8. 混淆 source wire 与 force-experiencing wire。
9. magnetic fields 只加 magnitudes，不看 direction。
10. zero-field point 只解大小，不先判断方向能否相反。
11. Biot-Savart 中把 $\hat{r}$ 方向写反。
12. Ampere’s law 把 dot product 写成 cross product。
13. 把 $I_{\text{enc}}$ 当成附近所有 currents 的总和。
14. 认为 $I_{\text{enc}}=0$ 必然意味着 $\vec{B}=0$。
15. solid wire 内仍使用 total current。
16. solenoid 混淆 total turns $N$ 与 turn density $n$。
17. toroid 漏掉 $2\pi r$。
18. 把 ideal infinite / long approximation 当作所有真实装置的精确结果。

22. Transcript Corrections / 原文口误修正

1. Circular-loop axis field

$$B(x)=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$$

它随 $x$ 变化，不是与距离无关。

2. Ampere circulation

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell }=0$$

不普遍推出 $\vec{B}=0$；还需 symmetry。

3. Long solenoid

$$B\approx {\mu }_{0}nI,n=N/L$$

不是在 $N$ 表示总匝数时直接写 ${\mu }_{0}NI$。

4. Toroid

$$B(r)=\frac{{\mu }_0{\mu }_{r}NI}{2\pi r}$$

core 中一般随 $r$ 变化。

5. Maxwell equations

steady current 的 Ampere law 是本课范围；time-varying electric flux 需要 Maxwell correction。

6. Motor types

brushed、brushless 与 AC motors 均实际存在；课堂电刷例子用于理解 current reversal。

23. Self-Check / 自测

1. 为什么 $\vec{L}$ 指 conventional current 而不是 electron drift？
2. 一根弯曲导线在 uniform field 中的 net force 为什么只取决于 endpoints？
3. closed current loop 为什么 net force 可为 zero 而 torque 不为 zero？
4. $\vec{\mu }$ 的方向如何判断？
5. 两根同向 parallel wires 为什么相吸？
6. 求 zero-field point 为什么先判断方向区域？
7. Biot-Savart 与 Ampere’s law 的适用几何有什么区别？
8. 为什么 Ampere’s law 中是 dot product？
9. 为什么 $I_{\text{enc}}=0$ 不足以证明 $\vec{B}=0$？
10. uniform solid wire 内为什么 $B\propto r$？
11. coaxial cable 外部 field 何时为 zero？
12. solenoid 的 $n$ 与 $N$ 有什么区别？
13. toroid core field 为什么含 $1/r$？
14. 什么时候需要 Maxwell-Ampere correction？

24. After-Class Compression / 课后压缩版

1. wire force：

$$\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}$$

2. bent wire in uniform field：

$$\vec{F}=I({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A)\times \vec{B}$$

3. magnetic moment：

$$\vec{\mu }=NIA\hat{n}$$

4. loop torque：

$$\vec{\tau }=\vec{\mu }\times \vec{B}$$

5. long straight wire：

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$

6. parallel wires：

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}$$

7. Biot-Savart：

$$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{\ell }\times \hat{r}}{r^2}$$

8. Ampere：

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enc}}$$

9. solid wire inside：

$$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}$$

10. long solenoid：

$$B\approx {\mu }_{0}nI$$

11. toroid：

$$B(r)=\frac{{\mu }_0{\mu }_{r}NI}{2\pi r}$$

25. Video Companion / 搭配课堂观看

Timestamp	内容
00:00-00:06	Hall effect 回顾
00:06-00:11	从 particle force 推到 wire force
00:11-00:17	field-region length 与 resistance/current 联动题
00:17-00:25	导线合力、半圆弧与等效端点位移
00:25-00:38	current loop torque 与 motor
00:38-00:44	straight-wire magnetic field
00:44-00:47	wire field 再作用于 moving charge
00:47-00:59	parallel-wire force
00:59-01:07	multiple-wire superposition 与 zero-field points
01:20-01:28	Biot-Savart law、circular loop 与半圆作业
01:28-01:34	Ampere’s law 与 straight-wire derivation
01:34-01:43	enclosed-current signs 与练习
01:43-01:55	cylindrical shell、coaxial cable、zero-field region
01:55-02:00	solenoid、toroid 与下一课预告

26. Connections / 知识网络

Lecture Sequence

• Previous: AP电磁学第11次正课-磁场洛伦兹力与带电粒子运动
• Next: AP电磁学第13次正课-动生电动势磁通量与法拉第定律

Force Branch

• Lorentz Force -> microscopic charge force
• Force on a Current-Carrying Wire -> $I\vec{L}\times \vec{B}$
• Magnetic Torque on a Current Loop -> $\vec{\mu }\times \vec{B}$
• Newton’s Second Law -> translational response

Field-Source Branch

• Electric Current -> organized moving charge
• Magnetic Fields -> current-generated vector field
• Biot-Savart Law -> direct current-element integration
• Ampere’s Law -> symmetric circulation method
• Solenoids and Toroids -> concentrated magnetic fields

Mathematics Branch

• Vectors -> cross product, dot product, superposition
• Integrals -> current-element accumulation and circulation
• Symmetry -> select surviving components and useful Amperian loops
• Gauss’s Law -> structural analogy with enclosed-source laws

本课完成了 magnetic interaction 的双向闭环：current 在 magnetic field 中受力，同时 current 又创造 magnetic field。下一课的 electromagnetic induction 会进一步加入“changing magnetic flux creates electric effects”。

第 13 课先完成本课留下的 circular-loop / semicircular-arc Biot-Savart Law 积分，再进入 Motional EMF、Magnetic Flux 与 Faraday’s Law。